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课时规范练23解三角形基础巩固组1.(2018山西吕梁一模,4)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=6,c=3,cos A=,则b=()A.3B.1C.1或3D.无解2.在ABC中,已知acos A=bcos B,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.(2018湖南长郡中学四模,11)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,则角C=()A.56B.6C.4D.34.在ABC中,B=4,BC边上的高等于BC,则cos A=()A.31010B.1010C.-1010D.-310105.(2018湖南长郡中学五模,11)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosBb=-3cosCc,则角A的最大值为()A.6B.4C.3D.26.(2018河北衡水中学三模,14)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足asin B=bcos A,则2sin B-cos C的最大值是.7.(2018北京,文14)若ABC的面积为34(a2+c2-b2),且C为钝角,则B=;的取值范围是.8.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为,则坡度值tan =.9.(2018河北唐山一模,16)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若SABC=c24,则ab+ba的最大值是.10.在ABC中,A=60,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面积.综合提升组11.(2018河北衡水中学考前仿真,11)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=5,ABC的面积SABC=2534,且b2+c2-a2=accos C+c2cos A,则sin B+sin C=()A.3B.932C.3D.3312.(2018河北衡水中学月考,12)已知ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且(a2+b2-c2)(acos B+bcos A)=abc,若a+b=2,则c的取值范围为()A.(0,2)B.1,2)C.12,2D.(1,213.(2018河北衡水中学九模,14)如图,为了测量河对岸A、B两点之间的距离,观察者找到一个点C,从点C可以观察到点A、B;找到一个点D,从点D可以观察到点A、C;找到一个点E,从点E可以观察到点B、C;并测量得到一些数据:CD=2,CE=23,D=45,ACD=105,ACB=48.19,BCE=75,E=60,则A、B两点之间的距离为.其中cos 48.19取近似值14.(2018湖南长郡中学三模,17)在ABC中,B=3,BC=2,(1)若AC=3,求AB的长;(2)若点D在边AB上,AD=DC,DEAC,E为垂足,ED=62,求角A的值.创新应用组15.(2018江苏,13)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.16.已知岛A南偏西38方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h能截住该走私船?参考数据:sin38=5314,sin22=3314参考答案课时规范练23解三角形1.C由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即b2-4b+3=0,解得b=1或b=3.故选C.2.Dacos A=bcos B,sin Acos A=sin Bcos B,sin 2A=sin 2B,A=B,或2A+2B=180,即A+B=90,ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.3.Bsin B+sin A(sin C-cos C)=0,sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=0cos Asin C+sin Asin C=0cos A+sin A=0A=34,由正弦定理得2sinC=2sin34sin C=12,C0,2C=6,选B.4.C(方法一)设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD2+DC2=5AD,AB=2AD.由余弦定理,得cosBAC=AB2+AC2-BC22ABAC=2AD2+5AD2-9AD222AD5AD=-1010.故选C.(方法二)如图,在ABC中,AD为BC边上的高,由题意知BAD=4.设DAC=,则BAC=+4.BC=3AD,BD=AD.DC=2AD,AC=5AD.sin =25=255,cos =15=55.cosBAC=cos+4=cos cos4-sin sin4=22(cos -sin )=2255-255=-1010,故选C.5.A由题意结合正弦定理得cosBsinB=-3cosCsinC,所以tan C=-3tan B,因此B,C中有一钝角,角A必为锐角,tan A=-tan(B+C)=-tanB+tanC1-tanBtanC=2tanB1+3tan2B0,tan B0,tan A2tanB23tanB=330,0A.由正弦定理,得ca=sinCsinA=sin23-AsinA=sin23cosA-cos23sinAsinA=32tanA+12.0A3233+12,即ca(2,+).8.2315在ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且+ACB=.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(-),解得cos =516,则sin =23116,所以tan =sincos=2315.9.22SABC=c24= (a2+b2-2abcos C)= absin C,a2+b2=2ab(sin C+cos C).ab+ba=a2+b2ab=2(sin C+cos C)=22sinC+422,当且仅当C=4时取等号.10.解 (1)在ABC中,因为A=60,c=a,所以由正弦定理得sin C=csinAa=3732=3314.(2)因为a=7,所以c=377=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b312,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面积S=12bcsin A=128332=63.11.C(方法一)b2+c2-a2=accos C+c2cos A,cos A=accosC+c2cosA2bc=acosC+ccosA2b,cos A=sinAcosC+cosAsinC2sinB=sin(A+C)2sinB=12,A=3.SABC=12bcsin A=2534,bc=25.a2=b2+c2-2bccos A,b2+c2=a2+bc=50,则(b+c)2=100,b+c=10,b=c=5,ABC为等边三角形,sin B+sin C=3.(方法二)b2+c2-a2=accos C+c2cos A,b2+c2-a2=aca2+b2-c22ab+c2b2+c2-a22bc=c(a2+b2-c2+b2+c2-a2)2b=2b2c2b=bc,cos A=b2+c2-a22bc=12,A=3.SABC=12bcsin A=2534,bc=25.a2=b2+c2-2bccos A,b2+c2=a2+bc=50,则(b+c)2=100,b+c=10,b=c=5,ABC为等边三角形,sin B+sin C=3.12.B由题意可得:a2+b2-c22abacosB+bcosAc=,且cos C=a2+b2-c22ab,acosB+bcosAc=sinAcosB+sinBcosAsinC=sinCsinC=1,据此可得:cos C=12,即a2+b2-c22ab=12,a2+b2-c2=ab,据此有:c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=4-3ab4-3a+b22=1,当且仅当a=b=1时等号成立;三角形满足两边之和大于第三边,则ca+b=2,综上可得:c的取值范围为1,2).13.10依题意知,在ACD中,A=30,由正弦定理得AC=CDsin45sin30=22.在BCE中,CBE=45,由正弦定理得BC=CEsin60sin45=32.在ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=10,AB=10.14.解 (1)设AB=x,则由余弦定理有AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即32=x2+22-2x2cos3,解得x=6+1,所以AB=6+1.(2)因为ED=62,所以AD=DC=EDsinA=62sinA.在BCD中,由正弦定理可得:BCsinBDC=CDsinB,因为BDC=2A,所以2sin2A=62sinAsin3.所以cos A=22,所以A=4.15.9由题意可知,SABC=SABD+SBCD.由角平分线的性质和三角形面积公式得acsin 120=a1sin 60+c1sin 60,化简得ac=a+c, +=1.因此4a+c=(4a+c)1a+1c=5+4ac5+2ca4ac=9,当且仅当c=2a=3时取等号,故4a+c的最小值为9.16.解 设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为x n mile/h,则BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,依题意,BAC=180-38-22=120,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sinABC=ACsinBACBC=5327=5314,所以ABC=38.又BAD=38,所以BCAD.故缉私艇以14 n mile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5 h截住该走私船.
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