2019高中数学 第3章 数系的扩充与复数 3.1.3 复数的几何意义学案 新人教B版选修2-2.doc

3.1.3复数的几何意义1掌握复数的几何意义，即能够掌握复数与复平面内的点的对应关系，掌握向量、复数及复平面上点的坐标之间的转化关系2能够利用复数的几何意义解决一些较简单的题目1复数的几何表示根据复数相等的定义，复数zabi被一个有序实数对(a，b)所_确定，而每一个有序实数对(a，b)，在平面直角坐标系中有唯一确定一点Z(a，b)(或一个向量)这就是说，每一个复数，对应着平面直角坐标系中唯一的_(或一个向量)；反过来，平面直角坐标系中每一个点(或每一个向量)，也对应着唯一的一个有序实数对这样我们通过有序实数对，可以建立复数zabi和点Z(a，b)(或向量)之间的一一对应关系点Z(a，b)或向量是复数z的_表示(如图)复数zabi有序实数对(a，b)点Z(a，b)【做一做11】对于复平面，下列命题中是真命题的是()A虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的B实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限内的点的集合是一一对应的C实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的D实轴上方的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的【做一做12】设z(2a25a3)(a22a3)i(aR)，则下列命题中正确的是()Az的对应点Z在第一象限Bz的对应点Z在第四象限Cz不是纯虚数Dz是虚数2复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做_在复平面内，x轴叫做_，y轴叫做_x轴的单位是1，y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.(1)复数与向量建立一一对应关系的前提是起点都是原点(2)复数z的几何表示为我们用向量方法解决复数问题或用复数方法解决向量问题创造了条件(3)为了方便起见，我们常把复数zabi(a，bR)说成点Z或说成向量，并规定：相等向量表示同一个复数【做一做2】下面有关复平面的命题，其中正确的有_实轴与虚轴无交点；实轴上的点对应的复数为实数，虚轴上的点对应的复数为虚数；实轴与虚轴的单位都是1；实数对应的点在实轴上，纯虚数对应的点在虚轴上3复数的模、共轭复数(1)设abi(a，bR)，则向量的长度叫做复数abi的_(或绝对值)，记作|abi|，|abi|_.(2)如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为_复数复数z的共轭复数用表示说明：复数z的模即有向线段的长度或两点间的距离在数轴(一元坐标)上我们叫实数的绝对值，在直角坐标系(二元坐标)上我们叫向量的模，但叫绝对值也可以其本质都是线段的长由|z|，得|z|2a2b2，而由a2b2(abi)(abi)，可得公式z|z|2|2，这一公式在分解因式、复数与实数的互化、模及共轭复数的运算中都应用很广泛【做一做31】复数i2i2的共轭复数是()A2i B2iC2i D2i【做一做32】满足条件|z|34i|的复数z在复平面上对应的点的轨迹是()A一条直线 B两条直线C圆 D椭圆1如何理解复数的两种几何形式？剖析：这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径复数zabi(a，bR)对应的点的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)复数zabi(a，bR)对应的向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个2复数的模、共轭复数有什么联系？剖析：(1)复数zabi(a，bR)的模用|z|表示，其公式为|z|，它既是z对应的向量的长度又是其对应的点Z(a，b)到原点的距离(2)复数zabi(a，bR)的共轭复数为abi，它们对应的点关于实轴对称当b0时，z，此时z与对应的点是实轴上的同一个点如果z，可以推得z为实数由此可得zz为实数|z|2z.题型一 复数的几何表示【例题1】已知aR，则z(a22a4)(a22a2)i所对应的点在第几象限？复数z所对应的点的轨迹是什么？分析：根据复数与复平面上点的对应关系知，复数z对应的点在第几象限与复数z的实部和虚部的符号有关；求复数z对应的点的轨迹问题，首先把z表示成为zxyi(x，yR)的形式，然后寻求x，y之间的关系，但要注意参数限定的条件题型二 共轭复数【例题2】已知x1yi与i3x是共轭复数，求实数x与y的值分析：根据共轭复数及复数相等的概念列方程组求x，y.反思：复数z的共轭复数用来表示，即若zabi(a，bR)，则abi(a，bR)在复平面内，点Z(a，b)对应复数zabi(a，bR)；点(a，b)对应复数abi(a，bR)，点Z和关于实轴对称题型三 复数的模【例题3】已知复数z1i，z2i.(1)求|及|的值并比较大小；(2)设zC，满足条件|z2|z|z1|的点Z的集合是什么图形？分析：根据模的定义及几何意义来求解反思：复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，然后再利用公式进行计算，复数的模可以比较大小题型四 易错辨析易错点：复数的模是实数的绝对值概念的扩充，但在求解有关问题时，不能当成实数的“绝对值”加以求解，否则易丢解、漏解，造成答案不完整或错误【例题4】求方程5|x|60在复数集上解的个数错解：5|x|60，5|x|6，即|x|，x，故原方程在复数集上有两个解1如果复数abi在复平面内对应的点在第二象限，则()Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b02复数z3a6i的模为，则实数a的值为()A BC D3若a，bR，zabi，我们称复数abi为z的相反复数，则()A复平面上表示z和它的相反复数的点关于虚轴对称B复平面上表示z的共轭复数的点与表示z的相反复数的点关于虚轴对称Cz的共轭复数的相反复数是zDz的相反复数与不相等4复数z1itan 200的模是_5已知，复数z2cos isin ，则|z|的取值范围是_答案：基础知识梳理1唯一一个点几何【做一做11】D当虚数为纯虚数时，所对应的点位于虚轴上，不属于任何象限，因此选项A不正确；实、虚部都是负数的虚数的集合与第三象限内的点的集合是一一对应的，因此选项B不正确；实部是负数的实数所对应的点位于实轴上，不属于第二、三象限，因此选项C不正确；选项D正确【做一做12】D由2a25a3(2a1)(a3)，得其实部可正，可负也可以是零，而虚部a22a3(a1)220，故z是虚数2复平面实轴虚轴【做一做2】由于实轴与虚轴相交于原点，故错；由于原点也在虚轴上，它与复数0对应，故不正确；虚轴的单位为i，所以错；正确3(1)模(2)共轭【做一做31】Di2i22i，其共轭复数是2i.【做一做32】C|34i|5.故复数z的模为5，即点Z到原点的距离等于5，因此满足条件|z|5的点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆典型例题领悟【例题1】解：由于a22a4(a1)230，a22a2(a1)210，复数z的实部为正，虚部为负，即复数z对应的点在第四象限设zxyi(x，yR)，则上述两式相加，得xy2.又xa22a4(a1)233，复数z对应的点的轨迹是一条射线，其方程为xy20(x3)【例题2】解：i3x的共轭复数为3xi，所以x1yi3xi，从而解得【例题3】解：(1)|i|2.|i|1.所以|.(2)由|z2|z|z1|，得1|z|2.因为|z|1表示圆|z|1上及其外部所有点组成的集合，|z|2表示圆|z|2上及其内部所有点组成的集合，故符合题设条件的点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环(包括边界)，如图【例题4】错因分析：错解中将|x|看成了实数的绝对值，忽略在复数集上解方程而导致错误正解：设xabi(a，bR)，原方程可化为，即a2b2，在复平面上满足此条件的点有无数个，所以原方程在复数集上有无数个解随堂练习巩固1D2C(3a)2(6)240，a.3B选项A中应关于原点对称；选项C中因为abi，则的相反复数为abi，并非等于z；选项D中若z为纯虚数，则z的相反复数与相等4|z|.5|z|，又，cos 1，13cos24，故|z|2.