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第二章二次函数一、夯实基础1.（xx兰州中考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，点C在y轴的正半轴上，且OAOC，则（）A.ac+1=b B.ab+1=c C.bc+1=a D.以上都不是2.（xx陕西中考）下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a1)的图象与x轴交点的判断，正确的是（） A.没有交点B.只有一个交点，且它位于y轴右侧C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧3. (xx浙江金华中考)图是图中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y= 1400x802+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有ACx轴.若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为( ) A.16940米 B.174米 C.16740米 D.154米4.（重庆中考）已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，对称轴为直线x=-12.下列结论中，正确的是（ ）A.abc0B.a+b=0C.2b+c0D.4a+c2b二、能力提升5飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)与滑行的时间t(单位：秒)的函数关系式是s60t1.5t2，则飞机着陆后滑行_米才能停下来6如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点(3，0)，对称轴为直线x1，给出四个结论：b24ac；2ab0；abc0；若点B(，y1)，C(，y2)为函数图象上的两点，则y1y2，其中正确的是_ _.(只填序号)7如图，在RtAOB中，AOB90，且AO8，BO6，P是线段AB上一个动点，PEAO于E，PFBO于F.设PEx，矩形PFOE的面积为S.(1)求出S与x的函数关系式；(2)当x为何值时，矩形PFOE的面积S最大？最大面积是多少？8.某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润9.已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+32在x=0和x=2时的函数值相等.（1）求二次函数的表达式；（2）若一次函数y=kx+6(k0)的图象与二次函数的图象都经过点A（3,m），求m和k的值.10（哈尔滨中考）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化(1)请直接写出S与x之间的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围).(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?(参考公式：当x=-b2a时，二次函数y=ax2+bx+c（a0）有最小（大）值4ac-b24a)11.如图所示，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐 标系.（1）求抛物线的表达式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时）的变化满足函数关系h=-1128(t-19)2+8(0t40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？三、课外拓展12.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=x m.（1）若花园的面积为192 m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.13.已知二次函数y=x2-2mx+m2+3（m是常数）.（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？14国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元，花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相等，销售中发现A型汽车的每周销量yA(台)与售价x(万元/台)满足函数关系式yAx20，B型汽车的每周销量yB(台)与售价x(万元/台)满足函数关系式yBx14.(1)求A，B两种型号的汽车的进货单价；(2)已知A型汽车的售价比B型汽车的售价高2万元/台，设B型汽车售价为t万元/台，每周销售这两种车的总利润为W万元，求W与t的函数关系式，A，B两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？15 (xx河池)如图1，抛物线yx22x3与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过C交x轴于E(4，0)(1)写出D的坐标和直线l的解析式；(2)P(x，y)是线段BD上的动点(不与B，D重合)，PFx轴于F，设四边形OFPC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；(3)点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接CN，将CMN沿CN翻折，M的对应点为M，在图2中探究：是否存在点Q，使得M恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由四、中考链接1（xx四川内江）(12分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围2.（xx内蒙古包头）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度3（xx四川攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由【答案】1. A 解析：因为OA=OC，点C（0，c），所以点A（-c,0），即当x= -c时，y=0,则，所以a，b，c满足的关系式是ac-b+1=0,即ac+1=b.2.D 解析：当y=0时,得到（1），则=4a(a-1)，因为1，所以4a(a-1)0，即0，所以方程有两个不相等的实数根，即二次函数的图象与x轴有两个交点，设与x轴两个交点的横坐标为，由题意，得0，0，所以同号，且均为正数，所以这两个交点在y轴的右侧.所以选项D正确.3. B 解析： OA=10米， 点C的横坐标为10.把x=10代入y=1400x802+16得,y=-174,故选B.4. D 解析:由图象知a0,c0,又对称轴x=-b2a=-120, b0, abc0.又-b2a-12， ab，a+b0. a=b, y=ax2+bx+c=bx2+bx+c.由图象知,当x1时，y2b+c0，故选项A,B,C均错误. 2b+c0， 4a2b+c0. 4a+c2b,D选项正确.5 _600_ 6_7解：(1)在矩形PFOE中，OFPEx，AO8，BO6，tanB，即，解得PF(6x)，矩形PFOE的面积为SPEPFx(6x)x28x，即Sx28x(2)Sx28x(x3)212，当x3时，矩形PFOE的面积S最大，最大面积是128.分析：日利润=销售量每件利润，每件利润为（x-8）元，销售量为100-10（x-10） 件，据此得表达式解：设售价定为x元/件.由题意得，y=（x-8）100-10（x-10）=-10x-142+360， a=-100， 当x=14时，y有最大值360.答：将售价定为14元/件时，才能使每天所赚的利润最大，最大利润是360元9.分析：（1）根据抛物线的对称轴为直线x=0+22=1,列方程求t的值，确定二次函数表达式.（2）把x=3,y=m代入二次函数表达式中求出m的值，再代入y=kx+6中求出k的值.解：（1）由题意可知二次函数图象的对称轴为直线x1，则-2（t+2）2(t+1)=1， t=-32. y=-12x2+x+32.(2) 二次函数图象必经过A点， m=-12(-3)2+(3)+ 32=6.又一次函数y=kx+6的图象经过A点， 3k+6=6, k=4.10.析：（1）由三角形面积公式S=底高2得S与x之间的表达式为S=12x（40x）=-12x2+20x.（2）利用二次函数的性质求三角形面积的最大值.解：（1）S=-12x2+20x.（2）方法1： a=-120, S有最大值. 当x=-b2a=-202(-12)=20时，S有最大值为4ac-b24a=4(-12)0-2024(-12)=200. 当x为20 cm时,三角形面积最大，最大面积是200 cm2.方法2： a=-120, S有最大值. 当x=-b2a=-202(-12)=20时，S有最大值为S=-12202+2020=200. 当x为20 cm时，三角形面积最大，最大面积是200 cm2.点拨：最值问题往往转化为求二次函数的最值.11.分析：（1）设抛物线的表达式为y=ax2+b(a0),将(0,11)和（8，8）代入即可求出a,b;(2)令h=6,解方程-1128（t19）2+8=6得t1,t2，所以当h6时，禁止船只通行的时间为t2-t1.解：(1)依题意可得顶点C的坐标为（0，11），设抛物线表达式为y=ax2+11.由抛物线的对称性可得B(8,8), 8=64a+11，解得a=-364, 抛物线表达式为y=-364x2+11.(2)画出h=-1128 (t-19)2+8(0t40)的图象如图所示.当水面到顶点C的距离不大于5米时，h6,当h=6时，解得t1=3,t2=35.由图象的变化趋势得，禁止船只通行的时间为t2-t1=32(小时）.答：禁止船只通行的时间为32小时.12.分析：（1）根据矩形的面积公式列出方程x（28-x）=192，解这个方程求出x的值即可.（2）列出S与x的二次函数表达式，根据二次函数的性质求S的最大值.解：（1）由AB=x m，得BC=(28-x)m，根据题意，得x（28-x）=192，解得x1=12，x2=16.答：若花园的面积为192 m2，则x的值为12或16.（2）S=x（28-x）=-x2+28x=-(x-14)2+196，因为x6，28-x15，所以6x13.因为a=-10，所以该函数的图象开口向上.又因为y=x2-2mx+m2+3=（x-m）2+33，所以该函数的图象在x轴的上方.所以不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.（2）解：y=x2-2mx+m2+3=（x-m）2+3，把函数y=（x-m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x-m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点.所以把函数y=x2-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点14.解：(1)设A种型号的汽车的进货单价为m万元，依题意得，解得m10，经检验：m10是原分式方程的解，故m28，则A种型号的汽车的进货单价为10万元，B种型号的汽车的进货单价为8万元(2)根据题意得W(t210)(t2)20(t8)(t14)2t248t2562(t12)232.a20，抛物线开口向下，当t12时，t214，W有最大值为32，则A种型号的汽车售价为14万元/台，B种型号的汽车售价为12万元/台时，每周销售这两种车的总利润最大，最大总利润是32万元15解：(1)D(1，4)，直线l的解析式为yx3(2)yx22x3(x1)(x3)，A(1，0)，B(3，0)又D(1，4)，可求线段BD所在直线的解析式为y2x6(1x3)，梯形OFPC的面积S(PFCO)OF(2x63)x x2x(1x3)当x时，面积S取最大值，最大面积为S ()2(3)存在设Q(t，0)(t0)，则M(t，t3)，N(t，t22t3)，MN|t22t3(t3)|t2t|，CMt，CMN沿CN翻转，M的对应点为M，M落在y轴上，而QNy轴，MNCM，NMNM，CMCM，CNMCNM，MCNCNM，MCNCNM，CMNM，NMCM，|t2t|t，当t2tt，解得t10(舍去)，t24，此时Q点坐标为(4，0)；当t2tt，解得t10(舍去)，t2，此时Q点坐标为(，0)，综上所述，点Q的坐标为(，0)或(4，0)中考链接：1解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(302x)米依题意可列方程x(302x)72，即x215x360解得x13，x212 (2)依题意，得8302x18解得6x11面积Sx(302x)2(x)2(6x11)当x时，S有最大值，S最大；当x11时，S有最小值，S最小11(3022)88(3)令x(302x)100，得x215x500解得x15，x210 x的取值范围是5x102.解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为xcm，y=20x+212x2xx=3x2+54x，即y与x之间的函数关系式为y=3x2+54x；（2）根据题意，得：3x2+54x=2012，整理，得：x218x+32=0，解得：x1=2，x2=16（舍），x=3，答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm3.【分析】（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）连接BC，则ABC的面积是不变的，过P作PMy轴，交BC于点M，设出P点坐标，可表示出PM的长，可知当PM取最大值时PBC的面积最大，利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积；（3）设直线m与y轴交于点N，交直线l于点G，由于AGP=GNC+GCN，所以当AGB和NGC相似时，必有AGB=CGB=90，则可证得AOCNOB，可求得ON的长，可求出N点坐标，利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式【解答】解：（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x22x3；（2）如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，在y=x22x3中，令y=0可得0=x22x3，解得x=1或x=3，A点坐标为（1，0），AB=3（1）=4，且OC=3，SABC=ABOC=43=6，B（3，0），C（0，3），直线BC解析式为y=x3，设P点坐标为（x，x22x3），则M点坐标为（x，x3），P点在第四限，PM=x3（x22x3）=x2+3x，SPBC=PMOH+PMHB=PM（OH+HB）=PMOB=PM，当PM有最大值时，PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，PM=x2+3x=（x）2+，当x=时，PMmax=，则SPBC=，此时P点坐标为（，），S四边形ABPC=SABC+SPBC=6+=，即当P点坐标为（，）时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为；（3）如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，则AGP=GNC+GCN，当AGB和NGC相似时，必有AGB=CGB，又AGB+CGB=180，AGB=CGB=90，ACO=OBN，在RtAON和RtNOB中RtAONRtNOB（ASA），ON=OA=1，N点坐标为（0，1），设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得，解得，直线m解析式为y=x1，即存在满足条件的直线m，其解析式为y=x1
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