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2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第11章 比例与相似试题2 新人教版1125在锐角三角形中，是是一点，满足，过作，为垂足，证明：解析 由条件知，且，又，故，于是1126已知正方形，点和分别在上，且，与垂直于，求的取值范围解析 易知，故有又，故，1127在中，点是内的一点，使得，且，求解析 由条件易知，又，故因此，1128如图，在直角三角形中，斜边的长为35，有一个边长为12的正方形内接于，求的周长解析 设，则又，所以，即，故所以，解得(另一个解-25舍去)所以三角形的周长为841129是正方形的边的中点，点分对角线的比为，证明：解析 如图，连结、，交于，则，而，故，这是顺相似，所以，11210如图，与分别是与的高，点与分别为与的垂心，求证：被平分解析 本题即是证明，这可以转化为求证或很容易看出，故由于四边形是矩形，有，于是结论成立11211已知，向外作正方形和正方形若，求证：解析 如图，不妨设与、分别交于、，于是，两边同时减去，得，于是评注 本题也可通过、向直线作垂线，并通过全等三角形来证明与或不相交是不可能的，这样、将在直线的异侧11212中，求的取值范围解析 如图，设三对应边分别为、，延长至，使，于是，故，即，从而接下去考虑三角形不等式，显然，也显然，即，或，故又，故因此，的取值范围是11213已知正三角形，在上，在上，求证：解析 如图，不妨设，则又设，则，解得于是，故有11214已知锐角，是高，是中点，作与延长线垂直且交于，若在的中垂线上，求解析 如图，设中点为，由于，故，所以，设，则由，得，所以，11215如图，直角三角形中，是角平分线，于，则；解析 延长与交于，易知由于，故，于是又作关于之对称点，则由于，故11216能否把任意两个直角三角形各划分成两个三角形，使它们分别对应相似?解析 如图，设若两三角形相似，结论显然成立否则可不妨设，则于是可在上取一点，使；在上取一点，使易知，11217设凸四边形的对角线、的交点为过点作的平行线分别交、于点、，交的延长线于点是以为圆心，为半径的圆上一点求证：解析 延长、交于点由得，即同理，得，即所以由条件得，所以，因此可得，则有11218证明：三角形的一条高线的垂足和它在另外两条高线上的射影组成的三角形，与原三角形相似解析 如图，中，、是高，在、上的射影分别是、则又，故，故有评注 本题亦可用四点共圆证明又本题将画成锐角三角形，若为非锐角三角形，结论不变11219点、分别在、上，与交于，若，且，求解析 如图，延长至，使，连结于是由，得，故、共圆，有，于是11220已知一个红三角形与一个蓝三角形，试将每个三角形用两刀分成三个三角形，使每个盛色的部分与一个相应的红色部分相似(或全等)解析 如果两个三角形可以分别划分成个小三角形，使对应的组三角形均相似(或全等)，则称这两个三角形是“相似”的，于是，立刻可以得出如下结论：“1相似”即“相似(或全等)”“相似”可推出“相似”以下先证一个结论：对与，若，则它们是“2相似”的证明如下：由前知，则其“2相似”，否则，不妨设，则，可在、上分别找点，使，于是，,结论证毕现对于一般的与，不妨设以最大，最小；中最大，而且(就不要做了)，则，如图，今在同侧作，使，则在外，设与交于，则与“2相似”，故与“3相似”；又，故与“3相似”11221如图(a)，现有点在直线上，并且满足条件：与相似，求的长度解析 设分三种情况讨论：(1)在延长线上时，如图(b)，只能是，则，即，解得；（2）在延长线上，如图(c)，是或，则或，即或，解得或2或8.4；(3)在延长线上，如图(d)，是或，则或，即或，解得或；综上所述，这样的点有六个，的长分别为，2，8.4，12，42或+711222设四边形的对角线交于点，点、分别是、的中点，点、(不重合)分别是与的垂心，求证：解析 如图，不妨设（）(其余情形请读者自己讨论)，并不妨设与的延长线交于点取中点，连结、易见，从而，同理可得，于是对于与来说，对应角已有一组相等，对应边已有两组垂直，如能证明它们是(顺向)相似的，则立得第三组对应边垂直，即于是，问题归结为求证或设，于是，此处点和分别为点及点在上的垂足又，故，同理，即得11223菱形中，在上，与延长后交于，延长后与交于，求解析 连结，如图由平行成比例及菱形性质知，于是，而，故，所以从而11224如图(a)，在梯形中，对角线的交点为，、分别是边、上的点，使得，求证：解析 如图(b)延长至，使得，则，于是，故，所以又因为，所以同理可得而，所以，故11225证明拿破仑定理：以每边为边分别向外作正三角形，则这3个正三角形的中心是另一个正三角形的顶点解析 如图，设、与均为正三角形，、是各自的中心连结、易知，又，故，同理，于是同理，于是为正三角形11226四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点证明：解析 设与交于点，由，得，所以又，故，所以从而，即又，故，从而，又，故所以11227在中，设是边的中点，点、分别在边、上，交于点，于点，交的延长线于，求证：(1)；(2)解析 (1)因为，所以，又，所以，因此，从而，故(2)延长交于点，则是平行四边形，在直角三角形中，是斜边的中点，所以，于是11228不等边锐角三角形中，是底边上一点，上有一点，延长、，分别交、于、，若平分，求证：解析 如图，连结，交于，又作，、在上，设与交于，与交于则，故，故，于是，又，故评注 本题也可用塞瓦定理加以证明11229等边的三条边、上分别有三条相等的线段、求证：直线、，所构成的三角形上，三条线段、与包含它们的边成比例解析 设直线、所构成的三角形为(如图)，过、分别作、的平行线，相交于点，则是等边三角形，且，可得，即，所以11230已知，是中点，直线是上任一点，延长后交直线于，、分别是、中点，求证：平分解析 如图，连结、，与交于，则由角平分线及平行线性质，知，故，又，故平分11231设直角三角形中，是斜边上的高，、的内心分别是、，延长，交两直角边于、，证明：，并用、来表示解析 如图，连结、因为，、为对应线段，故，且，于是，从而又，故，同理于是11232分别以锐角三角形的边、为斜边向外作等腰直角三角形、求证：(1)；(2)解析 (1)延长至点，使，连结、因为是等腰直角三角形，所以=又，所以因为是等腰直角三角形，所以，于是，即又在和中,有，所以，即所以，(2)因为，所以=又由，得,于是所以，11233已知，向外作正三角形与，、分别是、的中点，是上一点，求的三个内角值解析 如图，作于，连结、，则，于是，又，故，且是顺相似，于是，所以的内角依次为、评注 时结论不变11234已知：，向外作正三角形和正三角形，与依次是它们的中心，是中点，求证：解析 如图，设、的中点分别为、，连结与，则，又，故，于是，同理，由，可得，于是11235已知锐角三角形，、为高，是垂心，、延长后交于，为中点，求证：解析 如图，设与交于，与交于由面积知、是调和点列，即，又由梅氏定理，即又，且顺相似，、是对应点，故，即评注 调和点列见15165，此题是一个一般结果之特例11236已知中，、在上，在上，在上，(为中点)，交于，求证：解析 如图，延长、，设交于，连结由于，故，于是，又由，故，同理于是，由于，故11237为的边上一点，和分别为线段和上的点满足再设、为线段和上的点，使得求证：解析 如图，在上取点，使，连结、易知与位似，故，而，故，从而，所以、共圆(与不重合)，于是又，加之，即得11238已知中，、上各有一点、，直线与延长线交于点，求证：解析 在上取，使、共圆，则，又在上取，使、共圆，则，于是，于是问题变成求证显见，又，故，欲证式成为，或，这是梅氏定理，故结论成立11239如图，和是两个全等的正三角形，六边形的边长分别是，求证：（1）；(2)解析 (1)不妨设、的面积分别为、由，可得(由得，同理可得其余)因为，所以，则(2)不妨设、的周长分别为、可得(由，得，因此，同理可得其余)又设、的周长均为，由上面等式可得，化得，而，因此，即11240已知平行四边形，在边、上的射影分别是、，延长后与延长线交于，求证：解析 延长，交于，则，下面就来证明此式延长，交延长线于，又延长，交延长线于于是，于是欲证式变为，而这显然成立11241已知内有一点，上有一点，、在外，(即，)，求证：解析 如图，延长至，使，连结于是，而且是顺相似，故故，又，故，于是又，故，于是，同时由，得、三点共线
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