2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第18章 整数几何试题 新人教版.doc

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2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第18章 整数几何试题 新人教版18.1.1已知的两条高长分别是5、15,第三条高的长数,求这条高之长的所有可能值解析由面积知,三条高的倒数可组成三角形三边,这是它们的全部条件设第三条高为,则解得,可取4、5、6、7这四个值18.1.2已知的三边长分别为,且边上的高的长为,其中为正整数,且,问:满足上述条件的三角形有几个?解析注意为之最长边,故,设,则,而可正可负由,及,得,由勾股定理,知,展开得,由及为正整数,知,2,12,这样的三角形有12个18.1.3已知一个直角三角形的三条边均为正整数,其中一条直角边不超过20,其外接圆半径与内切圆半径之比为,求此三角形周长的最大值解析设该直角三角形直角边长为、,斜边为,则外接圆半径,内切圆半径,不妨设由条件知,平方,得,即,于是,或,周长为,为正整数的最大值为6,此时各边为18、24、30,周长最大值为18.1.4为不等边三角形,其他两边长均为整数,求的面积解析设,则由余弦定理,有由条件,不妨设,则为之最小边,只能取值1、2、3、4、5、6,分别代入,发现当或5时,其余情形均无整数解于是或18.1.5一点与半径为15的圆的圆心距离是9,求经过且长为整数的弦的条数解析如图,半径为,过的弦长为整数,为直径,则,因此又,故这样的弦共有条,其中与垂直的弦及各一条,其余的弦每种长度有两条(关于对称)18.1.6在直角三角形中,各边长都是整数,为边上的高,为垂足,且(奇素数),求的值(用表示)解析由知,故设(为正整数),则,又由勾股定理,知,故设,代入得,易知只能有,解得,于是18.1.7设正三角形,、分别在、上,两端延长,交外接圆于、,若、长均为正整数,求的最小值解析如图, 易知也是整数设,则,于是由相交弦定理,得,设,则,由于,故,要使达到最小,得取,于是由于,知当,时取到最小值3,此时18.1.8已知凸四边形的四边长是两两不相等的整数,对边乘积之和等于四边形面积的两倍,且,求该四边形面积、对角线长度解析不妨设,与交于,则,于是由托勒密定理,知、必共圆,且满足又由已知条件,经搜索知250表为平方和只有两组:和由对称性,不妨设,则由余弦定理,因,得,得,于是18.1.9是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角2倍的?证明你的结论解析存在满足条件的三角形当的三边长分别为,时,如图,当时,延长至点,使连结,为等腰三角形因为为的一个外角,所以由已知,所以所以为等腰三角形又为与的一个公共角,有,于是,即,所以而,所以此三角形满足题设条件,故存在满足条件的三角形评注满足条件的三角形是唯一的若,可得有如下三种情形:()当时,设,(为大于1的正整数),代入,得,解得,有,;()当时,设,(为大于1的正整数),代入,得解得,有,此时不能构成三角形;()当时,设,(为大于1的正整数),代入,得,即,此方程无整数解所以,三边长恰为三个连续的正整数,且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在,而且只有三边长分别为4、5、6构成的三角形满足条件18.1.10三边长为连续整数、周长不大于100、且面积是有理数的三角形共有多少个?解析设三角形三边依次为、,则,于是是平方数,令,得,则,又不可能是奇数,否则,得,则,又不可能是奇数,否则,将,4,6,8,10,12,14,16,18代入,发现仅当,8时满足要求因此这样的三角形共有两个,三边长依次为3、4、5与13、14、1518.1.11某直角三角形边长均为整数,一直角边比斜边小1575,求其周长的最小值解析设直角三角形直角边长、,斜边为,则,由于,设,则,设,则,于是的最小值为17,此时,此时的最小周长为380818.1.12已知,是角平分线,也是整数,求所有可取的值解析如图,作,在上,则易知又,故,故又当时,不难通过构造出,故所有可取的值为1,2,1718.1.13面积为的正方形内接于面积为1的正三角形,其中、是整数,且不能被任何质娄的平方整除,求的值解析设正方形的边长为,正三角形的边长为,则,由,可得解得于是由题意得,所以17.1.14如图,是的高,四边形是的内接正方形,若(即两位数),且、恰为从小到大的4个连续正整数,求的所有可能值解析易知,于是有,或,移项,得,或,解得或5于是有两解:易知这两组数据都符合要求,故或18.1.15已知中,是锐角从顶点向边或其延长线作垂线,垂足为;从顶点向边或其延长线作垂线,垂足为当和均为正整数时,是什么三角形?并证明你的结论解析设,、均为正整数,则,所以,2,3(1)当时,此时所以垂直平分,垂直平分,于是是等边三角形(2)当时,此时,或,所以点与点重合,或点与点重合故,或,于是是等腰直角三角形(3)时,此时,或,于是垂直平分,或垂直平分故,或,于是是顶角为的等腰三角形18.1.6某直角三角形两直角边长均为整数,周长是面积的整数倍(就数字上讲),问问这样的直角三角形有多少个?解析设直角边分别为、,则斜边,由条件知它是有理数,故必定是整数设,为正整数,于是由于也是正整数,故它只能为1、2或4,记作由,得,时无解;时,有,=3,4;时,=5,12或6,8,所以这样的直角三角形共有3个18.1.17在等腰中,已知,这里为大于1的自然数,点、依次在、上,且,与相交于,求使为有理数的最小自然数解析如图,连结,则,由于四边形为等腰梯形,则由托勒密定理(或过、作垂线亦可),又,于是,由于与互质,由题设知其必须均为平方数,适合,这是满足要求的最小自然数18.1.18对于某些正整数来说,只有一组解(不计顺序),这里,、是正整数且可构成三角形的三边长,这样的共有多少个?解析显然,当(素数)时无解;当或时只有一组解(1,)或(1,1,1);当(、为不同素数)时无解;当(为大于3的素数)时也无解剩下的数为8,12,16,18,24,27,30,32,36,40,42,45,48,50,54,56,60,63,64,66,70,72,75,78,80,81,84,88,90,96,98,99,100易验证,无解的有:30,42,54,56,63,66,70,78,88,99;唯一解的有:8,12,16,18,24,27,32,40,45,48,50,75,80,81,84,90,96,98;不止一组解的有:36,60,64,72,100注意:判定无解的主要依据是,时无解,困为因此,有解的共有23个18.1.19面积为整数的直角三角形周长为正整数,求的最小值,并求此时这个直角三角形的两条直角边的可取值(如不止一组解,只需举了一组即可)解析设该直角三角形的直角三角形周长分别为、,则,故下令,如有解,则可,平方得取,得因此、为方程的根,解得、为与,故的最小值是518.1.20若的三边长、均为整数,且,求内切圆半径解析不妨设,于是又,故,得于是只可能为7或10时,只可能,内切圆半径时,没有满足要求的解18.1.21证明:若、是一组勾股数,则存在正整数、,使得,而,;或,解析,设(,),则,易知、两两互质;与不可能同偶,否则,;与也不会同奇,否则,矛盾于是与必一奇一偶,不妨设奇而偶,于是为奇数从而,与必互质,否则有一奇素数,得,故(,),与(,)=1矛盾于是可设,(,)=1,且、均为奇数,解得,令,即得结论18.1.22如图,、在的边、上,的延长线与的延长线交于,求证:、的长度不可能是18的排列解析 如果,则,得,矛盾,故,同理、都不等于1因此1只可能等于或之长,不失对称性,设,则,作,在上,四边形乃一等腰梯形,于是为正整数又,故,但为等腰三角形的底角,为的最大内角,矛盾,因此结论证毕18.1.23已知梯形中,、分别在、上,如果、均为正整数,称该梯形为“整数梯形”现对于正整数,有正整数,+=,且、为一“整数梯形”的上、下底,、为另一“整数梯形”的上、下底,求的最小值解析 如图,由,得,得,于是问题变为求最小的,使与均为平方数、不可能都为4,故至少有一组9,显然另一组也不可能为4,于是,9如果或,则若或=9或16,则或于是的最小值为10,=2,=8,=918.1.24求证:存在无穷多个每边及对角线长均为不同整数的、两两不相似的凸四边形解析 如图,作圆内接四边形,与垂直于,设为一整数,则,由此知,而由,知,同时乘以系数,得,易知上述6个多项式无二者恒等,于是任两者相等只能得有限个,但正整数有无限个,因此有无限个,使6个多项式两两不等,又当时,因此有无限个这样的凸四边形两两不相似18.1.25已知、为圆的切线,割线过,与圆交于、,与交于,若、均为正整数,求的最小值解析 如图,易知有(调和点列)设,则,从而设,(,),则(,)=1,易见(,)=1,则、一奇一偶于是由(,)=1,得,且由为整数知,、为奇数因为,于是的最小值为,当1,2,3,4时,无解(即不是整数),故,又,于是15,当5,4,36时取到若(,)=2,此时、同奇,的最小值为,此时,当,3时,无使为整数,于是,又,所以,当,时取到10综上,的最小值是1018.1.26一圆内接四边形的四边长及对角线长都是整数,求这类四边形中周长最小者解析 显然长与宽为4、3的矩形满足要求,其周长=14若等腰梯形上、下底分别为3、4,腰为2,则由托勒密定理,对角线长为4,满足要求,此时周长为11故最小周长11显然对圆内接凸四边形,无边长为1否则若设,得,同理,于是、均在中垂线上,构不成凸四边形因此最小周长24=8四边均为2,得正方形,对角线为,不合要求;三边为2,另一边为3,得等腰梯形,对角线长为,亦不合要求故最小周长10当周长为10时,显然至少有两边为2若是2、2、2、4,则对角线为,不合;于是只能为2、2、3、3,四边形为矩形或筝形,总有对角线长为,亦不合故最小周长为1118.1.27在中,是高,已知的三边长都是整数,且,求与的周长之比解析 设的三边长分别为、由题设知,故于是设,得由勾股定理得是整数,所以是完全平方数,设为,则,由于,所以解得于是,因为,所以它们的周长比等于它们的相似比,即18.1.28已知锐角三角形中,是高,矩形的面积是的13,其顶点、在上,、分别在、上,且、及矩形的周长均为有理数,求的最小值解析 如图,设的三边长依次为、,则,及由条件,知、均为有理数由,得,因此只能有若过作的平行线,再作关于的对称点,则=,于是的最小值为,仅当时取到18.1.29整数边三角形中,是斜边上的高,也是整数若对同一个能长度,有两个不全等的直角整数边三角形满足要求,求的最小值解析 不妨设的三边长为、,首先为有理数,又为整数,因此也是整数又为整数,故也是整数又,故因此,只需正整数、满足及,这样的整数边三角形就存在因为此时是有理数,而为整数,从而为整数易知由可得设,、为正整数,且无平方因子,于是由及知,设,代入得,又由,得,今对的任一素因子,其在的指数不会比的指数高,否则,而最多为1,于是,这是不可能的于是,同理又令,代入得于是对有两组不同的、满足经计算,故当时,确实有满足要求的两组解:,和,故的最小值是6418.1.30试找一不等边三角形,使及边上的中线、角平分线、高的长度都是整数,可以是多少(此时的中线、角平分线、高的长度分别为多少)?若要求不是整数,但是整数,则可为多少(此时中线、角平分线、高的长度分别为多少)?解析 首先处理为整数的问题,我们选择的是直角三角形,对应边为、,中线,角平分线,高,又,得,故,于是为偶数,而,这个方程有解,得,乘以一个系数20,即得直角三角形,它的斜边为200,斜边上的中线为100,角平分线为35,高为28下面处理为无理数、为整数的情形,如图,延长,与交于,此处易知、共圆(是外接圆弧之中点)今从基本勾股数出发构造取,则,易知,于是,再乘以系数5,得所求三角形的高,角平分线,中线,边是无理数,但18.1.31作圆外切凸五边形,现知该五边形每边长均为整数,又圆与切于,求解析 如图,设、分别与圆切于、则为整数,于是由题设,亦为整数,而于是为整数,由于,故,
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