2019-2020年中考数学 正确熟练地掌握辅助线的作法和规律教案.doc

2019-2020年中考数学 正确熟练地掌握辅助线的作法和规律教案正确熟练地掌握辅助线的作法和规律，也是迅速解题的关键，如何准确地作出需要的辅助线，简单介绍几种方法：方法一：从已知出发作出辅助线：DABCEFMN例1已知：在ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=分析：题设中含有D是BC中点，E是AD中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密切联系的中位线，所以，可有如下2种辅助线作法：（1）过D点作DNCA，交BF于N，可得N为BF中点，由中位线定理得DN=，再证AEFDEN，则有AF=DN，进而有AF=（2）过D点作DMBF，交AC于M，可得FM=CM，FM=AF，则有AF=方法二：分析结论，作出辅助线ABDCE 例2：如图，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径，求证：ABAC=AEAD分析：要证ABAC=AEAD，需证（或），需证ABEADC（或ABDAEC），这就需要连结BE（或CE），形成所需要的三角形，同时得ABE=ADC=900(或ADB=ACE=900)又E=C（或B=E）因而得证。方法三：“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线ABCDEFM例3：过ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E；求证：AEED=2AFFB分析：已知D是BC中点，那么在三角形中可过中点作平行线得中位线；若要出现结论中的AEED，则应有一条与EF平行的直线。所以，过D点作DMEF交AB于M，可得，再证BF=2FM即可。方法四：找出辅助线的一般规律，将对证题时能准确地作出所需辅助线有很大帮助。例如：在“圆”部分就有许多规律性辅助线：（1）有弦，作“垂直于弦的直径”ABCDEO例4：已知，如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC=BD分析：过O点作OEAB于E，则AE=BE，CE=DE，即可证得AC=BDABCDE12O（2）有直径，构成直径上的圆周角（直角）例5：已知：如图，以ABC的AC边为直径，作O交BC、BA于D、E两点，且，求证：B=C 分析：连结AD，由于AC为直径，则有ADBC，又，有1=2，由内角和定理得B=C（3）见切线，连半径，证垂直ABCDO123例6：如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分DAB分析：连结OC，由于CD为切线，可知OCCD，易证：1=2，又因为2=3，所以1=3，则可得AC平分DAB（4）证切线时，“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”例7：已知，直线AB经过O上的一点，并且OA=OB，CA=CB；ABCO求证：直线AB是O的切线分析：连结OC，要证AB是O的切线，需证OCAB，由已知可证OACOBC，可得OCA=OCB=900，结论得证。例8：已知，梯形ABCD中，ABCD，A=900，BC是O的直径，BC=CD+AB，ABCDOE求证：AD是O的切线分析：过O点作OEAD，垂足为E，要证AD是O的切线，只要证OE是O的半径即可，也就是说需要证OE=，由于A=900，ABCD，可得ABCDOE，再由平行线等分线段定理得DE=EA，进而由梯形中位线定理得OE=，所以E点在O上，AD是O的切线。（二）练习1、已知： 如图，在ABC中，ADDB，AEEC求证： DEBC，DEBC2、已知： 如图27.3.12所示，在梯形ABCD中，ADBC，AEBE，DFCF求证： EFBC，EF（ADBC）3、已知：如图27.3.13所示,在ABC中.AD=DB,BE=EC,AF=FC.求证：AE、DF互相平分。4、如图：已知：AB为O的直径，弦CDAB，M为上一点，AM的延长线交DC的延长线于F，求证：AMD=FMC与圆有关的辅助线常规作法解析与圆有关的几何问题，几乎涵盖了初中几何的各种基本图形与基本性质，题型的复杂程度可想而知。为此，常常需要添加适当的辅助线将复杂的图形转化为基本图形，从而方便求解。为帮助大家正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法，现就圆中辅助线的常规作法分类总结如下，供同学们学习时参考一、圆中有弦，常作弦心距（或者作垂直于弦的半径或直径，有时还要连结过弦端点的半径）例1.如图，以RtABC的直角顶点A为圆心，直角边AB为半径的A分别交BC、AC于点D、E, 若BD=10cm，DC=6cm，求A的半径。解：过A作AHBD于H，则。BAAC，CAB=AHB=90。又ABH=CBA，ABHCBA，。 例2.如图，AB是O的直径,POAB交O于点P，弦PN与AB相交于点M，求证：。证明：过O作OCNP于点C，则。OCNP，POAB，POM=PCO=90。又OPM=CPO，OPMCPO，即。评析：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来沟通弦、弧、弦心距之间的联系。二、圆中有直径，常作直径所对的圆周角（在半圆中，同样可作直径所对的圆周角）例3.如图，AB为半圆的直径，OHAC于H，BH与OC交于E，若BH=12，求BE的长。解：连结BC。 AB为直径， ACBC。又OHAC，AO=BO， OHBC， OHE=CBE，HOE=BCE，OHECBE，。例4.如图,AB是半圆的直径, C为圆上的一点, CDAB于D, 求证:。证明：连结AC、BC。 AB为直径， ACB=90，1+2=90。又CDAB，ADC=CDB=90，1+3=90，3=2，BCDCAD，即。评析：由于直径所对的圆周角为直角，所以在有关圆的证明或计算问题中，利用该性质极易构造出直角三角形，从而可以很方便地将问题转化到直角三角形中进行解决。三、圆中有切线，常作过切点的半径（若无切点，则过圆心作切线的垂线）例5.如图，已知MN为O的直径，AP是O的切线，P为切点，点A在MN的延长线上，若 PA=PM，求A的度数。解：连结OP，设A的度数为x。PA=PM，M=A，同理可得OPM=M，POA=OPM+M=2M=2A=2x。又AP切O于点P，APOP，A+POA=90，即x+2x=90，解之得x=30，A=30。例6.如图,AB为O的直径,C为O上的一点,AD和过C点的切线垂直,垂足为D，求证1=2。证明：连结OC。DC切O于点C，OCDC。又ADDC，OCAD，1=3。OA=OC,2=3，1=2。评析：当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。四、圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形（若题中有三角函数但无直角三角形，则也需作直径构造直角三角形）例7.如图, 点A、B、C在O上（AC不过O点），若ACB=60,AB=6，求O半径的长。解：作直径AD，连结BD。ACB与D都是所对的圆周角，D=ACB=60。又AD是直径，ABD=90，。例8.如图，在锐角ABC中，若BC=a，CA=b，AB=c，ABC的外接圆半径为R，求证：。证明：作直径CD，连结BD。CD为直径，CBD=90，。又A=D，即，同理可得，。评析：当题设中未告诉有直角三角形但却含有30、45、60、90等特殊角或某个角的三角函数值时，通常需要作直径构造直角三角形来帮助求解。五、两圆相切，常作公切线（或者作两圆的连心线）例9.如图，O1和O2外切于点A，BC是O1和O2外公切线，B、C为切点，求证：ABAC。证明：过点A作O1与O2的公切线AM交BC于点M。MA和MB分别切O1于点A、B，MA=MB，同理可得MA=MC，MA=MB=MC，即点A、B、C同在以M为圆心，BC为直径的圆周上，ABAC。例10.如图，A和B外切于点P，CD为A、B的外公切线，C、D为切点，若A与B的半径分别为r和3r,求：CD的长；B的度数。解：连结AB，连结AC、BD，过点A作AEBD于E。、CD是A和B的外公切线，C、D为切点，ACCD，BDCD。又AEBD，四边形ACDE为矩形，CD=AE，DE=AC=r，BE=BD-DE=3r-r=2r。AB=r+3r=4r，。、在RtAEB中，B=60。评析：在解决有关两圆相切的问题时，常常需作出两圆的公切线或连心线，利用公切线垂直于经过切点的半径、切线长相等、连心线长等于两圆半径之和（或差）等性质来沟通两圆间的联系。六、两圆相交，常作公共弦（或者作两圆的连心线）例11.如图，O1和O2相交于A、B两点，AD是O1的直径，且圆心O1在O2上，连结DB并延长交O2于点C，求证：CO1AD。证明：连结AB。 AD为O1的直径，ABD=90，D+BAD=90。又C和BAO1都是O2中所对的圆周角，C=BAO1，即C=BAD，D+C=90，CO1AD。例12.如图，O1和O2相交于A、B两点，两圆半径分别为和，公共弦AB的长为12，求O1AO2的度数。解：连结AB、O1O2，使之交于H点。AB为O1与O2的公共弦，连心线O1O2垂直平分AB，O1AH=45，O2AH=30，O1AO2=O1AH+O2AH=75。评析：在解决有关两圆相交的问题时，最常见的辅助线是两圆的公共弦或连心线，公共弦可以联通两圆中的弦、角关系，而连心线则垂直平分公共弦。全等三角形作辅助线的常用方法一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1、 已知如图1-1：D、E为ABC内两点,求证:AB+ACBD+DE+CE.证明：（法一）将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N， （法二：图1-2） 延长BD交 AC于F，廷长CE交BF于G，二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1：已知D为ABC内的任一点，求证：BDCBAC。分析：因为BDC与BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使BDC处于在外角的位置，BAC处于 在内角的位置；证法一：延长BD交AC于点E证法二：连接AD，并廷长交BC于F注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三 角 形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图3-1：已知AD为ABC的中线，且1=2,3=4,求证：BE+CFEF。分析：要证BE+CFEF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知1=2， 3=4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC，注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。四、 有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图4-1：AD为ABC的中线，且1=2，3=4，求证：BE+CFEF证明：廷长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。五、 在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图5-1：AD为 ABC的中线，求证：AB+AC2AD。分析：要证AB+AC2AD，由图想到： AB+BDAD,AC+CDAD，所以有AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去 证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE （常延长中线加倍，构造全等三角形）练习：已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF=2AD。 六、 截长补短法作辅助线。例如：已知如图6-1：在ABC中，ABAC，1=2，P为AD上任一点 求证：AB-ACPB-PC。 分析：要证：AB-ACPB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN， 再连接PN，则PC=PN，又在PNB中，PB-PNPB-PC。证明：（截长法） 在AB上截取AN=AC连接PN 证明：（补短法） 延长AC至M，使AM=AB，连接PM，七、 延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1：已知AC=BD，ADAC于A ，BCBD于B， 求证：AD=BC分析：欲证 AD=BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：ADC与BCD，AOD与BOC，ABD与BAC， 但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图8-1：ABCD，ADBC 求证：AB=CD。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明：连接AC（或BD） 九、 有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图9-1：在RtABC中，AB=AC，BAC=90，1=2，CEBD的延长于E 。求证：BD=2CE 分析：要证BD=2CE，想到要构造线段2CE， 同时CE与ABC的平分线垂直，想到 要将其延长。 证明：分别延长BA，CE交于F。十、 连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图10-1；AC、BD相交于O点，且AB=DC，AC=BD，求证：A=D。分析：要证A=D，可证它们所在的三角形ABD和DCO全等，而只有AB=DC和对顶角 两个条件，差一个条件，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB=DC，AC=BD，如连接BC，则ABD和DCO全等，所以，证得A=D。证明：连接BC 在ABC和DCB中十一、 取线段中点构造全等三有形。例如：如图11-1：AB=DC，A=D 求证：ABC=DCB。分析：由AB=DC，A=D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有ABNDCN，故BN=CN，ABN=DCN。下面只需证NBC=NCB，再取BC的中点M，连接MN， 则由SSS公理有NBMNCM，所以NBC=NCB。问题得证。证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。梯形问题中的辅助线1、连结对角线例1如图1，梯形ABCD中，ABCD，ADBC，延长AB到E，使BECD，试说明ACCE.解：如图1，连结BD，由BDCE可证得BDCE，由等腰梯形ABCD性质得ACBD，所以ACCE.2、平移一腰，即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个平行四边形和一个三角形 例2如图2，梯形ADCB中，ABCD，AB2cm，CD8cm，AD4cm，求BC的取值范围.解析：过点B作BEAD，交CD于点E，则四边形ADEB是平行四边形，可知BEAD4cm，DEAB2cm.于是ECCDDE826cm. 在ABC中，ECBEBCECBE，所以2cmBC10cm.3、平移两腰，将两腰转化到同一个三角形中例3如图3，在梯形ABCD中，ADBC，BC90，E、F分别为AD、BC的中点，BC8，AD4，试求EF. 解：过点E分别作EMAB，ENCD，交BC于M、N，则EMFB，ENFC，所以MEN90，AEBM，DECN，所以MFNF，所以EFMN(BCAD)(84)2.4、作梯形的高，即从同一底的两端作另一底的垂线，把梯形转化为一个矩形和两个直角三角形例4已知，如图4，梯形ABCD中，ADBC，BC45，梯形ABCD是等腰梯形吗？解：过点A作AEBC于点E，过点D作DFBC于点F，则AEBDFC90，AEDF，又BC45.于是ABE与DCF能够完全重合，即ABCD.5、延长两腰，即延长两腰交于一点，得到两个三角形例5如图5，梯形ABCD中，ADBC，AD5，BC9，B80，C50.求AB的长.解：延长BA、CD交于点E，因为ADBC，所以ADEC50.因为E180BC50，所以EADEC.所以AEAD5，BEBC9.所以ABBEAE954.6、平移对角线，即过底的一个端点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中例6如图6所示，在梯形ABCD中，上底AD1cm，下底BC4cm，对角线BDAC，且BD3cm，AC4cm.求梯形ABCD的面积解：过点D作DEAC交BC的延长线于点E，因为在梯形CD中，ADBC，所以四边形ACED是平行四边形.则ACDE，ADCE.又因为ACBD，所以BDDE，即BDE是直角三角形.因为BDE与梯形ABCD同高，且梯形ABCD中ADBCBCCEBE，所以S梯形ABCDSBDE246(cm2).7、利用中点，割补三角形如图7，梯形ABCD，E为一腰AB的中点，将AED绕点E旋转180，到BEF的位置，拼成DFC，把问题置于三角形中解决例7如图7梯形ABCD中，ADBC，E为AB的中点，DECE.试说明CDBCAD.解析：按上述方法拼成DFC，同时AED与BEF关于点E中心对称，故EFED，ADBF.又因为CEDF，故CDCFBCBFBCAD初中几何中常见辅助线的作法在几何学习中，如何添加辅助线是许多同学感到头疼的问题，许多同学常因辅助线的添加方法不当，造成解题困难。在老师的帮助下，我根据自己的学习经验把初中几何中常见的辅助线作法编成了一些“顺口溜” 歌诀，现将该歌诀写出来奉献给同学们，但愿能给大家的学习、复习带来一些帮助。人人都说几何难，难就难在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。