画法几何直线直线的相对位置直角投影定理直角三角性法.ppt

同学们好！,大家好!,第三章直线,第二节各种位置直线,第一节直线的投影,第三节一般位置线段的实长及其对投影的倾角,第四节两直线的相对位置,第五节直角投影定理,H,直线的投影仍为直线，两点确定一条直线，直线上两点的投影用直线连接，就得到直线的投影。,b,第一节直线的投影,直线垂直于投影面其投影积聚为一点(积聚性),作CB/ab,则ABC为直线AB对投影面H的倾角.,直线倾斜于投影面其投影比实长短:ab=ABcos(类似性）,直线平行于投影面其投影反映线段实长:fg=FG（真实性）,投影特性,F,A,B,a,e(d),D,E,(c),g,f,G,C,投影面平行线,平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜,投影面垂直线,正平线（只平行于面）,侧平线（只平行于面）,水平线（只平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,与三个投影面都倾斜的直线,垂直于某一投影面(平行于另两投影面),返回,第二节各种位置直线,特殊位置直线,一、直线的分类：,二、相对投影面各种位置直线的投影,一般位置直线的三个投影仍为直线；三个投影都倾斜于投影轴；投影长度小于线段的实长；投影与投影轴的夹角，不反映直线对投影面的倾角。,一般位置直线AB,X,Z,YH,YW,O,直线上点的投影，必在直线的同面投影上；（cab,cab,cab)线段上的点分割线段之比，投影后保持不变。AC/CB=ac/cb=ac/cb=ab/cb),1.一般位置直线上点的投影,X,YW,YH,C是直线AB上的点,例1如图中黑色的图形所示，作出分线段AB为3:2的点c的两面投影。,0,作法：1.过点a任作一条直线ae；2.在ae上截取五等分；3.连接be；4.在离点a三等分点处作直线平行于be，交ab上一点c；5.过点c作直线垂直于ox,交ab于点c。点C(c,c)即为所求。,a,b,a,b,c,c,e,x,2.投影面平行线,b,a,1)正平线（投影面V的平行线AB）,投影特性：1.ab/OZ，ab/OX；2.ab=AB；3.正面投影反映、角的真实大小。,投影特性：1.ab/OX，ab/OYw；2.ab=AB；即：水平投影反映线段实长及、角的真实大小。,a,a,b,a,b,b,2)水平线（投影面H的平行线AB）,3)侧平线（投影面W的平行线AB）,（小结）投影面平行线的投影特性：1.在直线所平行的投影面上的投影，反映线段实长；它与投影轴的夹角，分别反映直线与另两投影面夹角的真实大小。2.在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，长度缩短。,3.投影面垂直线,1)正垂线(投影面V的垂直线AB),A,B,b,a,(b),a,投影特性：1.a(b)积聚成一点2.abOx；abOz3.ab=ab=AB,z,x,yH,yH,o,(投影面H的垂直线AB),投影特性：1、ab积聚成一点2、abox,aboyw3、ab=ab=AB,2)铅垂线,(投影面W的垂直线AB),投影面垂直线的投影特性：1.在与直线垂直的投影面上的投影积聚成一点。2.在另外两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴且反映线段实长。,3)侧垂线,z,z,1,z1,z,o,x,a,b,a,b,k,k,1,2,例2侧平线上的点,已知AB的两面投影及其上面的点K的正面投影，求点K的水平投影。,利用点在线上分割线段成定比，投影后不变的性质作图。,第三节一般位置线段的实长及其对投影面的倾角,方法是：以线段在某一投影面上的投影长为一直角边，两端点与这个投影面的距离差为另一直角边形成的直角三角形。其斜边是线段的实长，斜边与投影长的夹角就是该直线与这个投影面的倾角。,b,a,b,a,b,a,在正面投影上求线段实长与倾角,在水平投影上求线段实长与倾角,在侧面投影上求线段实长与倾角,实长,实长,实长,直角三角形法,Bo,直角三角形求线段实长及其与投影面的倾角中的三个三角形,设所求线段为AB在三个直角三角形中，斜边为线段实长；一个直角边为某投影长，该投影与斜边的夹角为该直线与投影面的夹角；夹角所对的边为线段两端点相应的坐标差。,AB线段实长,ZAB,ab的长,AB线段实长,XAB,ab的长,AB线段实长,YAB,ab的长,例1已知线段的实长AB，求它的水平投影。,a,根据已知条件，要求得ab，其方法一是求得A、B两点的Y坐标差(YAB)；方法二是求得ab的长。此题有两解(多解时一般只画一解）,b,x,a,o,b,方法二已知线段的实长AB，求它的水平投影。,a,此题有两解,b,x,a,o,b,解法二,方法三：求出ab的长,b,x,a,o,b,x,a,b,B,a,ZAB,1,2,以AB两点的Z坐标差为一直角边的直角三角形中，另一直角边为AB水平投影ab的长。即：12=ab,ZAB,例2已知直线AB的=30求作AB的正面投影。,o,x,a,b,a,b,ZAB,30,1.分析要求得ab，其实就是求b；要求得b也就是想办法找到A、B两点的Z坐标差或者求出ab的长。,B0,2.作图1）作abB0,使=30A的对边为ZAB2）过a作直线平行于Ox轴，与过b而垂直于ox轴的直线交于一点b03）以b0为圆心以ZAB为半径画圆弧，交bb0的延长线于点b4）用直线连接ab即为所求。,b0,o,x,a,a,b,k,b,c,d,6,8,2,0,d,c,6,8,2,0,k,例3已知CDAB=K，CDH，求CD的正面投影。,求k同前。由于CDH所以cdox轴。,同学们好！,第四节两直线的相对位置,分析：1.已知ABCD,根据正投影图的作图法可知：(AaPBbPCcPDcP)P面，则平面ABbPaPCDdPcP；2.两个平行平面（ABbPaP与CDdPcP）与第三平面（P可被看作是H、V、W面）相交，交线平行；3.综上所述，我们可以得出：若空间两直线平行那么他们的同面投影也对应平行（如：abcd、abcd、abcd）,一.两平行直线,X,YH,X,Z,YW,O,a,b,a,b,a,b,c,d,d,c,d,c,例1判断两直线是否平行,a,a,b,d,c,b,c,d,o,x,方法一：看直线的方位：由投影图可以看出ab、cd同向（均由后向前）；ab与cd反向（ab由上向下，cd由下向上）由此看出AB与CD不平行。,方法二：看比例：ab/cd1,ab/cd1,由此可知，AB不平行于CD。,例2如图所示，判断两侧平线的相对位置。,b,X,0,a,c,d,d,c,b,a,作辅助直线AD与BC的两面投影,判断：AD与BC是两相交直线,则AB与CD共面.,只要证明AB与CD共面则有ABCD。,X,0,a,b,c,c,b,a,b,c,d,c,c,c,a,b,c,b,c,a,a,b,c,b,c,d,YW,X,0,a,b,c,c,b,a,b,c,d,c,c,c,a,b,c,b,c,a,a,b,c,b,c,d,YW,X,0,a,b,c,c,a,b,c,d,c,c,c,a,b,c,c,a,a,b,c,c,d,YW,X,0,a,b,c,c,a,c,d,c,a,b,c,a,a,b,d,c,d,YW,YH,a,Z,方法三：求第三投影(三个投影都互相平行，则ABCD),方法四：看已知的二直线是否共面,a,b,c,d,c,a,b,d,例3判断图中两条直线是否平行。,由此可知：对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,即AB/CD,返回,ab:cd=ab:cd,abcd,abcd,ab11cd;ab11cd;,a1:1d=a1:1d,aa11dd,AB与CD共面,abcd,abcd,o,x,二、两相交直线,因此，三对同面投影都相交，且交点符合点的三面投影特规律,Z,YH,a,b,P,A,B,C,D,E,ap,bp,cp,dp,e,两直线相交有且仅有一个交点（E）交点是相交两直线的公有点（P面可以看作H、V、W面）,例1已知AB与CD相交，又知AB的两面投影及CD的正面投影cd，且CD平行于V面。求CD的水平投影,a,b,c,d,a,b,o,x,k,分析：ABCD=KKAB，KCDkab，kcdak/kb=ak/kb又因为AB平行于W面，所以cd/ox轴。用定比分点法求k。解：1.过a任作一条直线ae；2.在ae上截取a1=ab；a2=ak的长度3.连接1b4.作2k1b,与ab交于点k5.过k作直线平行于ox轴6.过c、d作直线垂直于ox,交上述直线于点c、d,e,1,2,ak的长,c,d,三、交错直线,交错两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性，也不符合相交两直线的投影特性。,X,X,X,X,YH,X,X,X,X,b,a,a,e,e,c,c,f,b,a,a,e,e,c,c,f,b,a,a,e,e,c,c,f,b,a,a,e,c,c,f,b,a,a,e,c,c,f,b,a,a,e,c,c,f,b,a,a,e,c,c,f,b,a,a,e,c,c,f,b,a,a,e,c,c,f,b,a,a,c,c,AB与CD交错，为什么他们在P面上的投影相交呢？因为直线AB上的点F和直线CD上的点E位于指向P面的同一条投射线上，所以点F、E在P面上的投影重合，点F的投影可见而点E的投影不可见。,dp,bp,(f),A,B,D,ap,F,E,fp,（ep）,P,S,cp,a,a,e,e,f,a,a,e,e,f,a,a,e,e,f,a,a,e,f,a,a,e,f,a,a,e,f,a,a,e,f,a,a,e,f,a,a,e,f,a,a,c,AB与CD交错，为什么他们在P面上的投影相交呢？因为直线AB上的点F和直线CD上的点E位于指向P面的同一条投射线上，所以点F、E在P面上的投影重合，点F的投影可见，本题中点E、F是对V面的一对重影点；点E在前，所以点F的正面投影f不可见。,(f),C,例1判断两直线的相对位置,d,a,c,b,y,解法1:作出侧面投影,由三面投影可知,两直线交错,例2判断两直线的相对位置(解法2),用点分割直线段之比，投影后保持不变的性质判断。由水平投影可判断，点不属于直线AB，故两直线交错。,第五节直角投影定理,直角投影定理：互相垂直的两直线，当一边为某投影面的平行线时，他们在该投影面上的投影是直角。逆定理也是成立的。,ABBC，直角边AB平行于投影面P(P面可以被看作是H、V、W面）,ABP，BbpPABBbp又ABBC，ABQ，即ABbpcpabAB,abQ,即apbpbpcp,a,b,c,X,0,a,c,b,P,直角投影定理：交错二直线,互相垂直的两直线，当一边为某投影面的平行线时，他们在该投影面上的投影是直角。,例1作直线AB垂直于直线EF。,1,1,例2作直线EF，使其垂直于直线AB和直线CD。,e,e,f,b,o,x,a,b,k,1,a,k,Y,K,1,Y,K,例3求点K到直线AB的距离（投影和实长）。,分析1.abox,ABV则有k1ab2.用直角三角形法求出K1的实长便得解。,例4作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BC:AB=2:3。,m,x,m,n,o,n,MN平行于投影面V，BC在MN上，直角边BC平行于投影面V，又因为ABC=90，所以有：bc=BC,abbc,用直角三角形法求线段AB实长,|YA-B|,AB,ab,bc的长,2份,3份,例5过点A作等边三角形ABC，使B、C两点属于直线KM。,d,A,D,实,长,o,x,d,边,实,长,2,2,.,1,2,2,.,1,3,0,k,b,a,b,a,c,m,m,k,c,Y,AD,Y,A,D,分析：1.KMV面cb=BCadkm2.只要求得过顶点A的高，则ABC可作出；也就是说ABC的边长就求出来了，即求得了cb,o,b,a,b,7,5,e,e,7,5,a,b,的,长,c,c,a,例6作等腰直角ABC,使AC=AB，C点在AE上。,x,