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2019-2020年高考数学 直线与圆锥曲线的位置关系练习1、已知抛物线的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，。（1）求抛物线的方程； （2）设点，（）是抛物线上的两点，APB的角平分线与x轴垂直，求PAB的面积最大时直线AB的方程。2、已知过点A（-4，0）的动直线与抛物线相交于B、C两点。当的斜率是。 （1）求抛物线C的方程； （2）设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围。3、已知椭圆的右顶点、上顶点分别为坐标原点到直线的距离为且 （1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，且该椭圆上存在点,使得四边形图形上的字母按此顺序排列）恰好为平行四边形，求直线的方程. 4、已知是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若为钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A BC D5、已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，且，过点向直线作垂线，垂足分别为，的面积分别为记为与，那么A. B. C. D.6、已知椭圆 的离心率为，长轴长为（）求椭圆C的标准方程；（）设为椭圆C的右焦点，T为直线上纵坐标不为的任意一点，过作的垂线交椭圆C于点P，Q.（）若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)，求的值；（）在（）的条件下，当最小时，求点T的坐标7、已知椭圆+=1，（ab0）的离心率e=，直线y=x与椭圆交于A，B两点，C为椭圆的右顶点，（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上存在两点E，F使，（0，2），求OEF面积的最大值8、已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e=（1）求椭圆E的方程；（2）经过A、B两点分别作抛物线C的切线l1、l2，切线l1与l2相交于点M证明：ABMF；（3）椭圆E上是否存在一点M，经过点M作抛物线C的两条切线MA、MB（A、B为切点），使得直线AB过点F？若存在，求出抛物线C与切线MA、MB所围成图形的面积；若不存在，试说明理由9、函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定（A，B）=叫曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数y=x3x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2，则（A，B）；（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3）设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则（A，B）2；（4）设曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=1，若t（A，B）1恒成立，则实数t的取值范围是（，1）；以上正确命题的序号为（写出所有正确的）10、已知点P是圆F1：（x+1）2+y2=16上任意一点（F1是圆心），点F2与点F1关于原点对称线段PF2的中垂线m分别与PF1、PF2交于M、N两点（I）求点M的轨迹C的方程；（）直线l经过F2，与抛物线y2=4x交于A1，A2两点，与C交于B1，B2两点当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|11、已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4（）求椭圆C的方程；（）设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P证明：|AM|AN|=2|OP|212、已知椭圆C1：+=1（ab0）的离心率为e=，且过点（1，）抛物线C2：x2=2py（p0）的焦点坐标为（0，）（）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（）若点M是直线l：2x4y+3=0上的动点，过点M作抛物线C2的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C1于P，Q两点（i）求证直线AB过定点，并求出该定点坐标；（ii）当OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程13、已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F（c，0），点P是椭圆C上异于A，B的动点，过点B作椭圆C的切线l，直线AP与直线l的交点为D，且当|BD|=2c时，|AF|=|DF|（）求椭圆C的方程；（）当点P运动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并证明你的结论14、在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于()求动点的轨迹方程；()设直线和与直线分别交于两点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.15、设椭圆C：的离心率，点M在椭圆C上，点M到椭圆C的两个焦点的距离之和是4（）求椭圆C的方程；（）若椭圆的方程为，椭圆的方程为，则称椭圆是椭圆的倍相似椭圆已知椭圆是椭圆C的3倍相似椭圆若椭圆C的任意一条切线交椭圆于M,N两点，O为坐标原点，试研究当切线变化时面积的变化情况，并给予证明16、已知椭圆（常数）的左顶点为，点，为坐标原点（）若是椭圆上任意一点，求的值；（）设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由17、如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点为（0，），且离心率等于，过点（0，2）的直线与椭圆相交于，不同两点，点在线段上 （）求椭圆的标准方程； （）设，试求的取值范围18、椭圆的上顶点为是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由19、如图所示，椭圆与直线相切于点（I）求满足的关系式，并用表示点的坐标；（II）设是椭圆的右焦点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求椭圆的标准方程20、已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.（）求的方程；（）若直线，且和有且只有一个公共点，（）证明直线过定点，并求出定点坐标；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 答 案1、（1）抛物线的方程为。（2）。（1）设，因为，由抛物线的定义得，又，3分因此，解得，从而抛物线的方程为。 6分（2）由（1）知点P的坐标为P（2,4），因为APB的角平分线与x轴垂直，所以可知PA，PB的倾斜角互补，即PA，PB的斜率互为相反数设直线PA的斜率为k，则，由题意， 7分把代入抛物线方程得，该方程的解为4、，由韦达定理得，即，同理。所以， 8分设，把代入抛物线方程得，由题意，且，从而又，所以，点P到AB的距离，因此，设, 10分则，由知，所以在上为增函数，因此，即PAB面积的最大值为。PAB的面积取最大值时b=0，所以直线AB的方程为。 12分2、（1）设 2分 由 又6分 由及，即抛物线方程为 8分 （2）设 由 10分 的中垂线方程为 13分 的中垂线在y轴上的截距为 对于方程由 15分3、（1）直线的方程为坐标原点到直线的距离为又解得故椭圆的方程为 .(2)由（1）可求得椭圆的左焦点为 易知直线的斜率不为0,故可设直线点因为四边形为平行四边形，所以 联立 ,因为点在椭圆上，所以 那么直线的方程为4、B5、C6、（1）由已知解得所以椭圆C的标准方程是. （3分）（2）（）由（1）可得，F点的坐标是(2，0).设直线PQ的方程为xmy+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m23)y2+4my20，其判别式16m28(m23)0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则.设M为PQ的中点，则M点的坐标为. 6分因为，所以直线FT的斜率为，其方程为.当时，所以点的坐标为，此时直线OT的斜率为，其方程为.将M点的坐标为代入，得.解得. 8分（）由（）知T为直线上任意一点可得，点T点的坐标为.于是， . 10分所以. 12分当且仅当，即m1时，等号成立，此时取得最小值故当最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，1) 12分7、解：（1）根据题意，不妨设A（t，t）且t0，（1分），（2分），a2b2=c2，联立解得：a2=3，b2=1椭圆的方程为：（6分）（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），EF中点为M（x0，y0），（7分）E，F在椭圆上，则 ，相减可得，直线EF的方程为：，即，代入，整理得：，（9分），=，原点O（0，0）到直线EF的距离为，（11分）=，（12分）=，当时等号成立，所以OEF得最大值为（13分）8、解：（1）设椭圆E的方程为，半焦距为c由已知条件，F（0，1），b=1，=，a2=b2+c2，解得a=2，b=1所以椭E的方程为（2）显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意，故可设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1）B（x2，y2）（x1x2）与抛物线方程联立，消去y，并整理得，x24kx4=0x1x2=4抛物线的方程为y=x2，求导得y=x，过抛物线上A，B两点的切线方程分别是yy1=x1（xx1），yy2=x2（xx2）即y=x1x，y=x2xx22解得两条切线的交点M的坐标为（，1）=0ABMF（3）假设存在点M满足题意，由（2）知点M必在直线y=1上，又直线y=1与椭圆有唯一交点，故M的坐标为（01），设过点M且与抛物线C相切的切线方程为yy0=x0（xx0）：，其中点（x0，y0）为切点令x=0，y=1得，1x02=x0（0x0），解得x0=2或x0=2，故不妨取A（2，1）B（2，1），即直线AB过点F综上所述，椭圆E上存在一点M（0，1），经过点M作抛物线C的两条切线MA、MB（A、B为切点），能使直线AB过点F此时，两切线的方程分别为y=x1和y=x1抛物线C与切线MA、MB所围成图形的面积为=9、解：对于（1），由y=x3x2+1，得y=3x22x，则，y1=1，y2=5，则，（A，B）=，（1）错误；对于（2），常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确；对于（3），设A（x1，y1），B（x2，y2），y=2x，则kAkB=2x12x2，=（A，B）=，（3）正确；对于（4），由y=ex，得y=ex，（A，B）=t（A，B）1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立，（4）错误故答案为：（2）（3）10、解：（I）由题意得，F1（1，0），F2（1，0），圆F1的半径为4，且|MF2|=|MP|，从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4|F1F2|，（2分）点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，（4分）其中长轴2a=4，得到a=2，焦距2c=2，则短半轴b=，椭圆方程为： （5分）（）当直线l 与x轴垂直时，B1（1，），B2（1，），又F1（1，0），此时，所以以B1B2为直径的圆不经过F1不满足条件（6分）当直线l 不与x轴垂直时，设L：y=k（x1）由即（3+4k2）x28k2x+4k212=0，因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点设B1（x1，y1），B2（x2，y2），则：x1+x2=，x1x2=，因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以，又F1（1，0）所以（1x1）（1x2）+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+（1k2）（x1+x2）+1+k2=0所以解得k2=，（8分）由得k2x2（2k2+4）x+k2=0因为直线l 与抛物线有两个交点，所以k0，设A1（x3，y3），A2（x4，y4），则：x3+x4=2+，x3x4=1所以|A1A2|=x3+x4+p=2+2=（12分）11、解：（）设椭圆C的标准方程为，由题意知解得a=2，b=1所以椭圆C的标准方程为（）证明：设直线AM的方程为：y=k（x+2），则N（0，2k）由 得（1+4k2）x2+16k2x+16k24=0（*）设A（2，0），M（x1，y1），则2，x1是方程（*）的两个根，所以所以=则设直线OP的方程为：y=kx由 得（1+4k2）x24=0设P（x0，y0），则，所以，所以|AM|AN|=2|OP|212、解：（I）由于椭圆C1中，则设其方程为，由于点在椭圆上，故代入得=1故椭圆C1的方程为抛物线C2中，抛物线C2：x2=2py（p0）的焦点坐标为（0，），故p=1，从而椭圆C1的方程为，抛物线C2的方程为x2=2y（II）（i）证明：设点M（x0，y0），且满足2x04y0+3=0，点A（x1，y1），B（x2，y2），则切线MA的斜率为x1，从而MA的方程为y=x1（xx1）+y1，考虑到，则切线MA的方程为x1x+y+y1=0，同理切线MB的方程为x2x+y+y2=0，由于切线MA，MB同过点M，从而有，由此点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线x0x+y+y0=0上又点M在直线2x4y+3=0上，则2x04y0+3=0，故直线AB的方程为（4y03）x+2y+2y0=0，即y0（4x+2）+（2y3x）=0，直线AB过定点（ii）解：设P（x3，y3），Q（x4，y4），考虑到直线AB的方程为x0x+y+y0=0，则联立方程，消去y并简化得，从而，从而，点O到PQ的距离，从而=，当且仅当，即，又由于2x04y0+3=0，从而消去x0得，即，解得，从而或，所求的直线为x+2y+2=0或x14y10=013、解：（）依题可知A（a，0）、，由|AF|=|FD|，得，化简得a=2c，由a2=3+c2得 a2=4，故所求椭圆C的方程为：；（）由（）知A（2，0），B（2，0），在点B处的切线方程为x=2结论：以BD为直径的圆与直线PF相切证明如下：由题意可知直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为y=k（x+2），（k0）则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k） 联立，得（4k2+3）x2+16k2x+16k212=0设点P的坐标为（x0，y0），由韦达定理：所以，因为点F坐标为（1，0），分情况讨论：（1）当时，点P的坐标为，直线PF的方程为x=1，点D的坐标为（2，2）此时以BD为直径的圆（x2）2+（y1）2=1与直线PF相切；（2）当时，直线PF的斜率所以直线PF的方程为，即故点E到直线PF的距离d=|2k|；综上所述，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切14、() 点与关于原点对称，点，设，直线与的斜率之积等于， ，化简得 ，动点的轨迹方程为 .()法一：设存在点，使得与的面积相等， ， 即， ，解得， ， 满足条件的点P为.法二：设，解得 ，又点到直线的距离， ，解得， ， 满足条件的点P为.15、（）依题意，椭圆C方程为： 3分（）依题意，椭圆C2方程为：当切线l的斜率存在时，设l的方程为：由得，由得设，则又点O到直线l的距离，当切线l的斜率不存在时，l的方程为，综上，当切线l变化时，面积为定值 13分16、（），得2分 将代入椭圆得化简得5分（）法一：当的斜率不存在时，不妨设，且，由 化简得 ，联立椭圆方程解得 ， 故（为定值）6分当直线的斜率存在时，设直线的方程为由由，可得7分又 ，可得 9分因为，点到直线的距离10分综上：的面积为定值13分解法二：由条件得， 6分平方得, 即 7分8分=12分故的面积为定值 13分17、（）设椭圆的标准方程为因为它的一个顶点为（0，），所以，由离心率等于，得，解得，所以椭圆的标准方程为 （）设，若直线与轴重合，则，得，得；若直线与轴不重合，则设直线的方程为，与椭圆方程联立消去得，得， ， 由得，整理得，将代入得，又点在直线上，所以，于是有，因此，由得，所以，综上所述，有18、（1）（2）存在两个定点，使它们到直线的距离之积等于1.【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程H5 H8解析：（1），由题设可知，得 1分又点P在椭圆C上， 3分联立解得， 4分故所求椭圆的方程为 5分（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去y，整理得 （）方程（）有且只有一个实根，又，所以得 8分假设存在满足题设，则由对任意的实数恒成立,所以， 解得，当直线的斜率不存在时，经检验符合题意.总上，存在两个定点，使它们到直线的距离之积等于1.12分【思路点拨】（1）由题设可得，又点P在椭圆C上，可得a2=2，又b2+c2=a2=2，联立解得c，b2，即可得解（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（），由得，假设存在满足题设，则由对任意的实数k恒成立由 即可求出这两个定点的坐标19、（I）（II）【知识点】椭圆及其几何性质H5（I）联立方程组消元得：2分相切 得： 4分将代入式得： 解得 7分（II）解法1：到直线的距离，是等腰直角三角形 12分 由可得：代入上式得： 得 即14分又 椭圆的标准方程为：15分解法2： 直线的方程为9分解得： 12分 解得 14分 又 椭圆的标准方程为：15分解法3：由方法二得12分分别过做轴的垂线，垂足分别为是等腰直角三角形 又，得14分又 椭圆的标准方程为：15分20、解析：（I）由题意知，设，则FD的中点为，因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去）.由，解得. 所以抛物线C的方程为.（II）（）由（I）知，设，因为，则，由得，故， 故直线AB的斜率为， 因为直线和直线AB平行， 设直线的方程为，代入抛物线方程得， 由题意，得.设，则，.当时，可得直线AE的方程为，由，整理可得，直线AE恒过点.当时，直线AE的方程为，过点，所以直线AE过定点.（）由（）知，直线AE过焦点，所以，设直线AE的方程为， 因为点在直线AE上，故，设，直线AB的方程为，由于，可得，代入抛物线方程得，所以，可求得，所以点B到直线AE的距离为.则的面积，当且仅当即时等号成立. 所以的面积的最小值为16.【思路点拨】（I）设，因为 ，则FD的中点为，由为正三角形求得p=2，所以抛物线C的方程为.（II）（）由（I）知，设，得， 故直线AB的斜率为，设直线的方程为，代入抛物线方程，由得.从而得切点. 当时，可得直线AE的方程为，由，得直线AE的方程，直线AE恒过点.当时，直线AE的方程为，过点. 所以直线AE过定点.（）由（）知，直线AE过焦点，所以，设直线AE的方程为，故，因为直线AB的方程为，即：，代入抛物线方程得，设，则 ，可求得，所以点B到直线AE的距离为：d.则的面积，当且仅当即时等号成立. 所以的面积的最小值为16