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第二章空间向量与立体几何,6距离的计算,1.掌握向量长度计算公式.2.会用向量方法求两点间的距离、点到直线的距离和点到平面的距离.,学习目标,知识梳理自主学习,题型探究重点突破,当堂检测自查自纠,栏目索引,知识梳理自主学习,知识点一两点间的距离的求法,答案,知识点二点到直线的距离(1)定义：因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点A到直线l的距离问题就是空间中某一个平面内的点到直线的距离问题，即过点A在该平面内做垂直于l的直线，垂足为A，则即为点A到直线l的距离.,AA,答案,返回,知识点三点到平面的距离一点到它在一个平面内的的距离叫作这一点到这个平面的距离，如图所示，设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离d.若n0是平面的单位法向量，则d.,答案,投影,题型探究重点突破,题型一点到直线的距离例1如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB3，BC4，AA15，求点A1到下列直线的距离：(1)直线AC；解在长方体ABCDA1B1C1D1中，显然AA1AC，所以AA15即为所求点A1到直线AC的距离.,解析答案,(2)直线BD.解如图建立空间直角坐标系，则有B(4,3,0)，A1(4,0,5).,解析答案,反思与感悟,设点A1到直线BD的距离为d.所以,反思与感悟,本题(1)利用基本定义直接求解距离，(2)利用向量方法求解，通过训练熟练掌握向量公式法求解.,解析答案,跟踪训练1已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(),解析答案,反思与感悟,题型二点到平面的距离,反思与感悟,解如图建立空间直角坐标系，,设平面A1BC的一个法向量为n(x，y，z)，,反思与感悟,本题是一个基本的点面距离的求解问题，要从几何角度作出这个距离有很大的困难，利用向量方法求解较为容易.,解析答案,跟踪训练2四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDDA2，F、E分别为AD、PC的中点.(1)证明：DE平面PFB；证明以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，,又DE不在平面PFB内，DE平面PFB.,解析答案,(2)求点E到平面PFB的距离.解DE平面PFB，E到平面PFB的距离等于D到平面PFB的距离.设平面PFB的一个法向量n(x，y，z)，,解析答案,题型三线面、面面距离(选学)例3在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BC3，CC12.(1)求证：直线CD1平面A1BC1；证明建系如图，则C(0,4,0)，D1(0,0,2)，B(3,4,0)，A1(3,0,2)，C1(0,4,2)，,又CD1平面A1BC1，BA1平面A1BC1，CD1平面A1BC1.,(2)求直线CD1与平面A1BC1间的距离.解设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则,取z6，则x4，y3，n(4,3,6)，,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,六种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.而且我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法.,解析答案,返回,跟踪训练3如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离.,解如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)，,又EFBFF，AMMNM，EFMN，AMBF，平面AMN平面EFBD.设n(x，y，z)是平面AMN的法向量，,解析答案,返回,取z1，得n(2,2,1)，,当堂检测,1,2,3,4,5,1.已知平面的一个法向量n(2,2,1)，点A(1,3,0)在内，则P(2,1,4)到的距离为(),D,解析答案,又平面的一个法向量为n(2,2,1)，,1,2,3,4,5,解析答案,2.在空间直角坐标系中，已知P(1，0，3)，Q(2，4，3)，则线段PQ的长度为(),B,1,2,3,4,5,解析答案,A,即(x2，y1，z7)(8,9,12)，,x18，y17，z17.,解析答案,4.在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1,3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是_.解析点M在y轴上，设M(0，y，0)，则：,1,2,3,4,5,(0,1,0),所以1y241(3y)21，解得y1，故M(0,1,0).,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,解如图，取CD的中点O，连接OB，OM，因为BCD与MCD均为正三角形，所以OBCD，OMCD，又平面MCD平面BCD，所以MO平面BCD.以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.,1,2,3,4,5,设平面MBC的法向量为n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,课堂小结,1.点到平面的距离的求法：如图，BO平面，垂足为O，则点B到平面的距离就是线段BO的长度.,返回,2.线面距离、面面距离均可转化为点面距离，用求点面距离的方法进行求解.,
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