2019-2020年高三零模数学试卷（理科） 含解析 .doc

2019-2020年高三零模数学试卷（理科） 含解析一、选择题1设集合U=1，2，3，4，A=1，2，B=2，4，则U（AB）=（）A3B2C1，2，4D1，42在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3圆的圆心坐标是（）A（0，2）B（2，0）C（0，2）D（2，0）4某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加志愿者活动，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的推选法共有（）A140种B34种C35种D120种5执行如图所示的程序框图，若输入的N是6，则输出P的值是（）A120B720C1440D50406若（x2）n展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（）A84B84C36D367某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）ABCD8如图，已知平面=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面内，且DA，CB，AD=4，AB=6，BC=8，在平面上有一个动点P，使得APD=BPC，则PABCD体积的最大值是（）AB16C48D144二、填空题9设向量=（cos，1），=（1，3cos），且，则cos2=_10等差数列an前9项的和等于前4项的和若a4+ak=0，则k=_11如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，CE与圆相切交AB延长线上于点E，若DF=CF=2，AF：FB：BE=4：2：1，则线段CE的长为_12设函数的最小值为1，则实数a的取值范围是_13如图，圆O：x2+y2=2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是_14集合U=（x，y）|xR，yR，M=（x，y）|x|+|y|a，P=（x，y）|y=f（x），现给出下列函数：y=ax，y=sin（x+a），y=cosax，若0a1时，恒有PUM=P，则所有满足条件的函数f（x）的编号是_三、解答题15在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2ac）cosB=bcosC（）求角B的大小；（）若，求ABC的面积16甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮（）记甲投中的次数为，求的分布列及数学期望E；（）求乙至多投中2次的概率；（）求乙恰好比甲多投进2次的概率17如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，BCAC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点（）求证：AB1面BDC1；（）求二面角C1BDC的余弦值；（）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP面BDC1？并证明你的结论18已知函数f（x）=x2+2alnx（）若函数f（x）的图象在（2，f（2）处的切线斜率为1，求实数a的值；（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数在1，2上是减函数，求实数a的取值范围19已知椭圆+=1（ab0）右顶点与右焦点的距离为1，短轴长为2（）求椭圆的方程；（）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程20若数列An满足An+1=An2，则称数列An为“平方递推数列”已知数列an中，a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=2x2+2x的图象上，其中n为正整数（1）证明数列2an+1是“平方递推数列”，且数列lg（2an+1）为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）（2an+1），求数列an的通项及Tn关于n的表达式；（3）记bn=logTn，求数列bn的前n项和Sn，并求使Snxx的n的最小值xx年北京市农大附中高三零模数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1设集合U=1，2，3，4，A=1，2，B=2，4，则U（AB）=（）A3B2C1，2，4D1，4【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据A与B求出两集合的并集，找出全集U中不属于并集的部分即可求出所求的集合【解答】解：A=1，2，B=2，4，AB=1，2，4，全集U=1，2，3，4，U（AB）=3故选A2在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【分析】利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位i的幂运算性质，求得复数为，它在复平面内对应的点的坐标为（，），从而得出结论【解答】解：复数=，它在复平面内对应的点的坐标为（，），故选D3圆的圆心坐标是（）A（0，2）B（2，0）C（0，2）D（2，0）【考点】圆的参数方程【分析】把圆的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为直角直角坐标方程为 x2+（y2）2=4，从而求得圆心坐标【解答】解：圆，利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为直角直角坐标方程为 x2+（y2）2=4，故圆心坐标为（0，2），故选A4某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加志愿者活动，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的推选法共有（）A140种B34种C35种D120种【考点】计数原理的应用【分析】根据题意，选用排除法，分3步，计算从7人中，任取4人参加志愿者活动选法，计算选出的全部为男生或女生的情况数目，由事件间的关系，计算可得答案【解答】解：分3步来计算，从7人中，任取4人参加志愿者活动，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，根据排除法，可得符合题意的选法共351=34种；故选：B5执行如图所示的程序框图，若输入的N是6，则输出P的值是（）A120B720C1440D5040【考点】程序框图【分析】根据程序框图进行模拟计算即可【解答】解：P=11=1，1N成立，循环K=2，P=12=2，2N成立，循环K=3，P=23=6，3N成立，循环K=4，P=64=24，4N成立，循环K=5，P=245=120，5N成立，循环K=6，P=1206=720，6N不成立，输出P=720，故选：B6若（x2）n展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（）A84B84C36D36【考点】二项式系数的性质【分析】首先利用所有二项式系数和为512，求出n，再利用二项展开式的通项公式求二项展开式常数项【解答】解：展开式中所有二项式系数和为512，即2n=512，则n=9，Tr+1=（1）rC9rx183r令183r=0，则r=6，所以该展开式中的常数项为84故选：B7某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图可知，几何体是组合体，下面是正方体，棱长为2，上面是侧棱长为2，底面边长为2的正四棱锥，求出相应的体积，即可求得结论【解答】解：由题意知，根据三视图可知，几何体是组合体，下面是正方体，棱长为2，体积为8；上面是侧棱长为2，底面边长为2的正四棱锥，所以底面积为4，高为=，故体积为几何体的体积为故选B8如图，已知平面=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面内，且DA，CB，AD=4，AB=6，BC=8，在平面上有一个动点P，使得APD=BPC，则PABCD体积的最大值是（）AB16C48D144【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】本题需要借助直二面角的相关知识研究三角形的几何特征，由题设条件知两个直角三角形PAD与PBC是相似的直角三角形，可得出PB=2PA，作PDAB，垂足为D，令AD=t，将四棱锥的体积用t表示出来，由二次函数求最值可得出正确选项【解答】解：由题意平面平面，A、B是平面与平面的交线上的两个定点，DA，CB，且DA，CB，PAD与PBC是直角三角形，又APD=BPC，PADPBC，又AD=4，BC=8，PB=2PA作PMAB，垂足为M，则PM，令AM=tR，在两个RtPAM与RtPBM中，PM是公共边及PB=2PA，PA2t2=4PA2（6t）2，解得PA2=124tPM=，即四棱锥的高为，底面为直角梯形，S=36四棱锥PABCD的体积V=12=48，即四棱锥PABCD体积的最大值为48，故选C二、填空题9设向量=（cos，1），=（1，3cos），且，则cos2=【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【分析】由两个向量共线的性质可得cos3cos1=0，cos2=，再由 cos2=2cos21 求得结果【解答】解：向量，且，则有cos3cos1=0，cos2=，故 cos2=2cos21=，故答案为10等差数列an前9项的和等于前4项的和若a4+ak=0，则k=10【考点】等差数列的性质【分析】先设出等差数列an的首项和公差为a1、d，由等差数列的前n项和代入条件得到a1和d关系，再由通项公式代入ak+a4=0，求出k的值【解答】解：等差数列an前9项的和等于前4项的和，9a1+36d=4a1+6d，其中a1为首项，d为等差数列的公差，a1=6d，又ak+a4=0a1+（k1）d+a1+3d=0，把a1=6d代入上式得，k=10，故答案为：1011如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，CE与圆相切交AB延长线上于点E，若DF=CF=2，AF：FB：BE=4：2：1，则线段CE的长为【考点】与圆有关的比例线段【分析】设出AF=4k，BF=2k，BE=k，由DFFC=AFBF求出k的值，利用切割定理求出CE【解答】解：由题意，设AF=4k，BF=2k，BE=k，由DFFC=AFBF，得8=8k2，k=1AF=4，BF=2，BE=1，AE=7；由切割线定理得CE2=BEEA=17=7CE=故答案为：12设函数的最小值为1，则实数a的取值范围是a【考点】函数最值的应用【分析】根据函数在（，）上单调递减，求出函数的最值，根据题意建立不等式，解之即可【解答】解：当x时，f（x）=x+a，该函数在（，）上单调递减则x+a+a而函数的最小值为1+a1解之a故答案为：a13如图，圆O：x2+y2=2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是【考点】几何概型【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M的面积为S=20sinxdx=2cosx0=4，代入几何概率的计算公式可求【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为3正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M，面积为S=20sinxdx=2cosx|0=4由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=故答案为：14集合U=（x，y）|xR，yR，M=（x，y）|x|+|y|a，P=（x，y）|y=f（x），现给出下列函数：y=ax，y=sin（x+a），y=cosax，若0a1时，恒有PUM=P，则所有满足条件的函数f（x）的编号是【考点】绝对值不等式的解法；对数函数的值域与最值；余弦函数的定义域和值域【分析】利用补集的定义求出uM，由PuM=P，得到PuM，故P中的函数f（x）必须满足|x|+|y|a，检验各个选项是否满足此条件【解答】解：uM=（x，y）|x|+|y|a，0a1时，PuM=P，P=（x，y）y=f（x）uM，如图所示：结合图形可得满足条件的函数图象应位于曲线|x|+|y|=a（axa ）的上方中，xR，y0，满足|x|+|y|a，故可取中，x0，y=logaxR，满足|x|+|y|a，故可取中的函数不满足条件，如 x=0，a=时，y=，不满足|x|+|y|a中xR，1y1，满足|x|+|y|a，故可取故答案为 三、解答题15在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2ac）cosB=bcosC（）求角B的大小；（）若，求ABC的面积【考点】正弦定理的应用【分析】（）因为（2ac）cosB=bcosC，由正弦定理可得 又0B，从而得到角B的大小（）由正弦定理，求得b的值，再由求出sinC的值，根据ABC的面积运算求得结果【解答】解：（）因为（2ac）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinAsinC）cosB=sinBcosC 2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA0A，sinA0， 又0B， （）由正弦定理，得，由可得，由，可得， 16甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮（）记甲投中的次数为，求的分布列及数学期望E；（）求乙至多投中2次的概率；（）求乙恰好比甲多投进2次的概率【考点】离散型随机变量的期望与方差；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【分析】（）确定的可能取值，求出相应的概率，即可得到的分布列及数学期望E；（）利用对立事件，可得乙至多投中2次的概率；（）设乙比甲多投中2次为事件A，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B1，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B2，则A=B1B2，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论【解答】解：（）的可能取值为：0，1，2，3 则；的分布列如下表：0123P （）利用对立事件，可得乙至多投中2次的概率为 （）设乙比甲多投中2次为事件A，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B1，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B2，则A=B1B2，B1，B2为互斥事件 所以P（A）=P（B1）+P（B2）=所以乙恰好比甲多投中2次的概率为 17如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，BCAC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点（）求证：AB1面BDC1；（）求二面角C1BDC的余弦值；（）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP面BDC1？并证明你的结论【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD，我们由三角形的中位线定理，易得ODAB1，进而由线面平行的判定定理得到AB1面BDC1；（）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面C1BD和平面BDC的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C1BDC的余弦值；（）假设侧棱AA1上存在点P，使得CP面BDC1，我们可以设出P点坐标，进而构造方程组，若方程组有解说明存在，若方程组无解，说明满足条件的P点不存在【解答】证明：（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接ODBCC1B1是矩形，O是B1C的中点又D是AC的中点，ODAB1AB1面BDC1，OD面BDC1，AB1面BDC1解：（II）如图，建立空间直角坐标系，则C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0）设=（x，y，z）是面BDC1的一个法向量，则即，令x=1则=（1，）易知=（0，3，0）是面ABC的一个法向量cos，=二面角C1BDC的余弦值为（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0y3），使得CP面BDC1则，即方程组无解假设不成立侧棱AA1上不存在点P，使CP面BDC118已知函数f（x）=x2+2alnx（）若函数f（x）的图象在（2，f（2）处的切线斜率为1，求实数a的值；（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数在1，2上是减函数，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（）先对函数求导，然后由由已知f（2）=1，可求a（II）先求函数f（x）的定义域为（0，+），要判断函数的单调区间，需要判断导数的正负，分类讨论：分（1）当a0时，（2）当a0时两种情况分别求解（II）由g（x）可求得g（x），由已知函数g（x）为1，2上的单调减函数，可知g（x）0在1，2上恒成立，即在1，2上恒成立，要求a的范围，只要求解，在1，2上的最小值即可【解答】解：（）由已知f（2）=1，解得a=3（II）函数f（x）的定义域为（0，+）（1）当a0时，f（x）0，f（x）的单调递增区间为（0，+）； （2）当a0时当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下：xf（x）0+f（x）极小值由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是；单调递增区间是（III）由得，由已知函数g（x）为1，2上的单调减函数，则g（x）0在1，2上恒成立，即在1，2上恒成立即在1，2上恒成立令，在1，2上，所以h（x）在1，2为减函数.，所以19已知椭圆+=1（ab0）右顶点与右焦点的距离为1，短轴长为2（）求椭圆的方程；（）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，可得，由此，即可求得椭圆方程；（）当直线AB与x轴垂直时，此时不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得，进而可求三角形的面积，利用，即可求出直线AB的方程【解答】解：（）由题意，解得即椭圆方程为（）当直线AB与x轴垂直时，此时S=不符合题意，故舍掉；当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k26）=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以原点到直线的AB距离，所以三角形的面积由可得k2=2，所以直线或20若数列An满足An+1=An2，则称数列An为“平方递推数列”已知数列an中，a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=2x2+2x的图象上，其中n为正整数（1）证明数列2an+1是“平方递推数列”，且数列lg（2an+1）为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）（2an+1），求数列an的通项及Tn关于n的表达式；（3）记bn=logTn，求数列bn的前n项和Sn，并求使Snxx的n的最小值【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式【分析】（1）由an+1=2an2+2an，2an+1+1=2（2an2+2an）+1=（2an+1）2，能证明数列2an+1是“平方递推数列”，由此能求出数列lg（2an+1）为首项是lg5，公比为2的等比数列（2）由已知得an=（51），由此能求出Tn=5（3）由bn=2，得Sn=2n2+由此能求出使Snxx的n的最小值【解答】（1）证明：an+1=2an2+2an，2an+1+1=2（2an2+2an）+1=（2an+1）2，数列2an+1是“平方递推数列”由以上结论lg（2an+1+1）=lg（2an+1）2=2lg（2an+1），数列lg（2an+1）为首项是lg5，公比为2的等比数列（2）解：lg（2an+1）=lg（2a1+1）2n1=2n1lg 5=lg5，2an+1=5，an=（51）lg Tn=lg（2a1+1）+lg（2an+1）=（2n1）lg 5，Tn=5（3）解：bn=2，Sn=2n2+Sn2 012，2n2+2 012n+1008nmin=10082016年9月14日