2019-2020年高考最后一卷（押题卷）数学（第一模拟）含解析.doc

2019-2020年高考最后一卷（押题卷）数学（第一模拟）含解析一、填空题：共14题1已知集合A=x|0,y0),则+的最小值为.【答案】8【解析】本题主要考查了向量共线以及基本不等式的应用.解题的思路是正确运用向量共线计算得x和y的关系后,利用“1”的代换,结合基本不等式求解.通解由ab可得2x=1-y,即2x+y=1,所以+=(+)(2x+y)=4+4+2=8,当且仅当x=,y=时取等号,故+的最小值为8.优解由ab可得2x=1-y,即2x+y=12,所以00,b0)上,过P作y轴的垂线,垂足为Q,若四边形F1F2PQ为菱形,则该双曲线的离心率为.【答案】【解析】本题主要考查了双曲线的几何性质.解题的突破口是结合菱形的性质建立基本量的关系.由题意知四边形F1F2PQ的边长为2c,连接QF2,由对称性可知,|QF2|=|QF1|=2c,则三角形QPF2为等边三角形.过点P作PHx轴于点H,则PF2H=60,因为|PF2|=2c,所以在直角三角形PF2H中,|PH|=c,|HF2|=c,则P(2c,c),连接PF1,则|PF1|=2c.由双曲线的定义知,2a=|PF1|-|PF2|=2c-2c=2(-1)c,所以双曲线的离心率为. 14若函数f(x)=,函数g(x)=xf(x)-a,x(-,7有7个零点,则实数a的取值范围是.【答案】(,1)【解析】本题主要考查了函数与方程.解题的突破口是正确画出函数f(x)的图象,并将函数零点的个数转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合思想求解.由题意知当x=0是g(x)的零点时,a=0,此时f(x)需在(-,0)(0,7上有6个零点,易知不满足,故当x0时,函数g(x)=xf(x)-a,x(-,7有7个零点,即函数y=f(x),y=,x(-,7的图象有7个交点,由图象可得当a0时不成立,则a0.易知y=f(x),y=,x(0,7有6个交点,则,解得a0),即点P的轨迹是以C(25,0)为圆心、15为半径且位于x轴上方的半圆.(1)要使PAB的面积最大,则点P到直线AB的距离最大,故面积的最大值为1615=120(km2),此时点P在A村正东方向25 km,且距离直线AB为15 km处.(2)要使|PQ|最短,则点P是线段CQ与半圆的交点,所以|PQ|min=|QC|-15=25-15(km),此时,解得x=25-,y=,即点P在A村正东方向(25-) km,且距离直线AB为km处.【解析】本题考查数学知识在解决实际问题中的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力.(1)建立适当的坐标系,利用直接法求解点P所在的曲线方程,结合圆的几何性质求解;(2)利用圆的几何性质求解.【备注】应用题是应用所学数学知识解决实际问题,体现了数学的工具性,能够集中考查考生的阅读能力、分析问题和解决问题的能力,受到命题专家的高度关注,近年来已经成为必考题型之一.解题的关键是在新的背景下建立相应的数学模型,常见数学模型主要有函数与导数模型、三角模型、不等式模型等,在复习时要特别注意这几点.18已知点(,0)是椭圆E:+=1(ab0)的右焦点,过点M(1,0)作两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于点A,B和C,D,且|AM|的最小值为.(1)求椭圆E的方程;(2)求的取值范围.【答案】(1)设A(x1,y1),则|AM|2=(x1-1)2+=(x1-1)2+b2-=(1-)-2x1+1+b2=-2x1+1+b2,x1-a,a.当3时,x1=a时,|AM|取得最小值,则a2-2a+a2-2=,a2-2a+=0,解得a=,均不适合题意,舍去.所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)当直线AB与CD中有一条垂直于x轴时,不妨设A(1,),B(1,-),C(-2,0),D(2,0),此时=(-3,-)(-1,-)=3+.当直线AB与CD均不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为k(k0),则直线AB的方程为y=k(x-1),与椭圆+y2=1联立得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,所以=(x1-1,y1)(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1-1)(x2-1)=(1+k2)x1x2-(x1+x2)+1=(1+k2)(-+1)=.同理可得.所以=(-)(-)=-+=-+=,令1+k2=t,则t1,令=u,则u(0,1),4+-=4+9u-9u2(4,).综上可知,的取值范围为,.【解析】本题考查椭圆的标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查考生分析问题、解决问题的能力.(1)利用两点间的距离公式,结合二次函数的最值求解椭圆的基本量,得椭圆的标准方程;(2)联立直线与椭圆方程,利用根与系数的关系、向量数量积的坐标运算、向量的线性运算建立目标函数,借助不等式求解取值范围,注意讨论直线的斜率是否存在.【备注】直线与椭圆的位置关系问题以运算能力的考查为主,一般是先利用椭圆的几何性质求解基本量,得其标准方程,再将直线与椭圆方程联立,利用根与系数的关系建立目标函数或者不等式,结合导数、不等式等求解.19已知函数f(x)=a(x-1)ex-ex,a,bR,且a0.(1)当a=2,b=1时,求函数f(x)的极值;(2)若存在x1,使得f(x)+f(x)=0成立,求的取值范围.【答案】(1)当a=2,b=1时,f(x)=(2x-4-)ex,定义域为(-,0)(0,+),所以f(x)=ex=ex,令f(x)=0,得x1=1,x2=-,x3=,列表如下:由表知f(x)的极大值是f()=-4,f(x)的极小值是f(-)=-4和f(1)=-3e.(2)因为f(x)=(ax-2a)ex,所以f(x)=(+ax-a)ex.由f(x)+f(x)=0,得(ax-2a)ex+(+ax-a)ex=0,整理得2ax3-3ax2-2bx+b=0.存在x1,使得f(x)+f(x)=0成立等价于存在x1,使得2ax3-3ax2-2bx+b=0 成立.因为a0,所以.设u(x)=,则u(x)=.因为x1时,u(x)0恒成立,所以u(x)在(1,+)上是增函数,所以u(x)u(1)=-1,所以-1,即的取值范围为(-1,+).【解析】本题考查应用导数研究函数的单调性、极值.(1)运用导数求极值点时,首先要注意函数的定义域,然后求导,在定义域内通过比较f(x)与0的大小,判断函数的单调性,进而求极值;(2)构造新函数,利用导数研究函数的单调性,进而求解的取值范围.【备注】(1)应用导数求函数的单调区间时,一定要在定义域内解不等式,不能脱离定义域而直接解不等式;(2)对于非常数函数f(x),若在区间D上递增,则f(x)0在区间D上恒成立,若在区间D上递减,则f(x)0在区间D上恒成立,并且能够应用这种等价转化的方法求参数的取值范围,注意其中的等号不能少;(3)f(x0)=0是可导函数y=f(x)在x=x0处取到极值点的必要不充分条件,所以在求极值点时必须判断x=x0左右两侧的导函数的符号是否相反,一般通过列表直观地反映这一符号规律.20已知数列an满足-a1+a2-a3+(-1)nan=(-1)nn,nN*.(1)求a1,a2,a3;(2)求数列an的通项公式;(3)当k7且kN*时,证明:对任意的nN*都有+成立.【答案】(1)当n=1时,-a1=-1,则a1=1;当n=2时,-a1+a2=2,则a2=3;当n=3时,-a1+a2-a3=-3,则a3=5.(2)由题意得,-a1+a2-a3+(-1)nan=(-1)nn,-a1+a2-a3+(-1)n-1an-1=(-1)n-1(n-1),n2,两式相减得,(-1)nan=(-1)nn-(-1)n-1(n-1)=(-1)n(2n-1),故当n2时,an=2n-1,又a1=1符合上式,所以an=2n-1(nN*).(3)令bn=n,S=+,则S=+,所以2S=(+)+(+)+(+)+(+)(*),当x0,y0时,x+y2,+2,所以(x+y)(+)4,所以+,当且仅当x=y时等号成立.上述(*)式中,k7,n0,n+1,n+2,nk-1全为正,所以2S+,所以S=2(1-)2(1-)=,得证.【解析】本题考查数列的通项公式与前n项和的关系以及基本不等式等基础知识,考查考生分析问题、解决问题的能力.(1)利用已知等式,对n赋值求解;(2)利用数列的通项公式与前n项和的关系求解;(3)利用倒序相加法和基本不等式求解.【备注】数列解答题一般有2到3个小问,题型一般是考查等差数列、等比数列等特殊数列的通项公式、求和或者与之有关的问题;也可能将数列与函数、不等式等知识综合起来考查.考生在备考时要注意这几个命题点,并且熟练掌握相关公式和解题的通性通法.21如图,点B在圆O上,且CA与圆O相切于点A,BC交圆O于点E,ACB的平分线CD与线段AB,AE分别相交于点D,F,.求的值.【答案】由题意可得CAF=CBD,ACF=BCD,所以ACFBCD,则AFC=BDC,且,则AFD=ADF,所以AF=AD,所以=,则CF=FD,即=1.【解析】本题考查弦切角定理、相似三角形的判定与性质等基础知识,考查考生分析问题、解决问题的能力以及推理论证能力. 22已知矩阵A=满足A,求矩阵A的逆矩阵.【答案】由得,解得,则A=.设矩阵A的逆矩阵A-1=,则AA-1=,所以,解得,故矩阵A的逆矩阵为.【解析】本题考查矩阵的乘法、矩阵的逆矩阵等基础知识.利用矩阵的乘法法则得方程组求得矩阵A,再利用待定系数法和逆矩阵的定义以及矩阵相等的概念建立方程组求解A-1. 23在直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知点M的极坐标为(4,),点N在曲线C:(为参数)上,求|MN|的最小值.【答案】点M的直角坐标为(4cos,4sin),即(4,4).曲线C的普通方程为(x-1)2+y2=2,圆心(1,0)到点M的距离为=5,所以|MN|的最小值为5-.【解析】本题考查直角坐标与极坐标的互化以及两点间距离公式的应用等知识,极坐标与直角坐标的互化公式为:2=x2+y2,x=cos,y=sin. 24已知正实数x1,x2,x3,xn满足x1+x2+x3+xn=1,求证:+.【答案】由柯西不等式得(+)(2x1+1)+(2x2+1)+(2x3+1)+(2xn+1)n2,当且仅当2x1+1=2x2+1=2xn+1时等号成立,又(2x1+1)+(2x2+1)+(2x3+1)+(2xn+1)=2+n,所以+.【解析】本题考查柯西不等式的应用.观察所证不等式左边的特征,结合柯西不等式证明. 25在微信群中抢红包已成为一种娱乐,甲、乙两人经常在微信群中寻找红包.(1)若甲在A微信群中发现某位“微友”发放的4个红包(每次发放1个),其中1元的红包2个、2元和3元的红包各1个,若该微信群中恰有三人同时抢红包,且不限制每人抢红包的个数,求甲抢得红包的总钱数为4元的概率;(2)若A、B两个微信群中同时发放红包,已知A群中发了3个红包(每次发放1个),其中1元的红包2个,3元的红包1个;B群发了2元与4元的红包各1个(每次发放1个),据统计乙在A、B两个群中抢得红包的概率如下表所示:若乙不能同时在A、B两个微信群中抢红包,则他应该选择哪一个微信群?试说明你的理由.【答案】(1)若不限制抢红包的个数,则三人抢红包不同的结果有34=81种,记“甲抢得红包的总钱数为4元”为事件A,则该事件包含“甲抢得1元红包1个和3元红包1个”、 “甲抢得1元红包2个,2元红包1个”这两个互斥事件.其中“甲抢得1元红包1个和3元红包1个”的不同结果有22=8种;“甲抢得1元红包2个,2元红包1个”的不同结果有2=2种.所以事件A发生的概率P(A)=.(2)设乙在A微信群中抢得红包的钱数为X,则X=0,1,2,3,4,5.P(X=0)=(1-)2(1-)=;P(X=1)=(1-)(1-)=;P(X=2)=()2(1-)=;P(X=3)=(1-)2;P(X=4)=(1-);P(X=5)=()2.所以X的分布列为故X的数学期望EX=0+1+2+3+4+5.设乙在B微信群中抢得红包的钱数为Y,则Y=0,2,4,6.P(Y=0)=(1-)(1-)=;P(Y=2)=(1-)=;P(Y=4)=(1-);P(Y=6)=.所以Y的分布列为故Y的数学期望EY=0+2+4+6.显然EXEY,所以乙应选择在B微信群中抢红包.【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、期望等,考查考生基本的逻辑推理与计算能力、或然与必然的思想等.(1)首先利用排列组合的知识求出所求事件与对应基本事件空间所包含的基本事件个数,然后代入古典概型的概率计算公式求解即可;(2)分别求出乙在两个群中抢红包金额的分布列,并求出其数学期望,进行比较,即可得到相应的结论.【备注】离散型随机变量的分布列的求解,一定要明确每个变量的取值对应的事件发生的过程,这样才能判断事件的性质,进而选用相应的概率模型求其概率.26已知数列an满足+n2an-1=0(nN*),且数列an的前n项和为Sn.(1)求证:0an.【答案】(1)令f(x)=x3+n2x-1(nN*),则an是函数f(x)的零点.因为f(x)=3x2+n20(nN*),所以函数f(x)在R上递增,又f(0)=-10,由零点存在性定理可得f(x)的唯一零点在区间(0,1)上,所以0an1.(2)由(1)可得0an1,则an,即1-n2an=,所以Sn+.下面用数学归纳法证明+.当n=1时,结论成立.假设当n=k(kN*)时,结论成立,即+,则当n=k+1时,+,所以只需证明+,即证-,即证,上式显然成立,所以+成立,故Sn成立.【解析】本题考查数列与函数、数学归纳法等基础知识,考查函数的零点存在性定理的应用以及推理论证能力.(1)利用零点存在性定理证明;(2)利用数学归纳法证明.【备注】近几年江苏附加题的最后一题都是这类对思维能力要求较高的试题,一般第(2)问难度较大,需要考生有较强的逻辑推理能力和良好的思维习惯.