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第三章3.1函数与方程,3.1.1方程的根与函数的零点,1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系.,学习目标,知识梳理自主学习,题型探究重点突破,当堂检测自查自纠,栏目索引,知识梳理自主学习,知识点一函数的零点对于函数yf(x)，我们把使的实数x叫做函数yf(x)的零点.思考函数的零点是点吗？答函数yf(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f(x)0的解，即函数的零点是一个实数.知识点二函数的零点、方程的根、函数图象之间的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与有交点函数yf(x)_.,答案,零点,f(x)0,x轴,有,知识点三函数零点的判定定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是的一条曲线，并且有.那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得，这个c也就是方程f(x)0的根.思考(1)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0.如函数y(x1)2在(0,2)内有零点，但f(0)f(2)0.(2)若函数f(x)在a，b上有f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上一定没有零点吗？答不一定，如y(x1)2，在0,2上f(0)f(2)0，但f(x)在(0,2)上有零点1.,答案,返回,f(c)0,连续不断,f(a)f(b)0,题型探究重点突破,题型一求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.(1)f(x)x27x6；解解方程f(x)x27x60，得x1或x6，所以函数的零点是1，6.(2)f(x)1log2(x3)；解解方程f(x)1log2(x3)0，得x1，所以函数的零点是1.,解析答案,(3)f(x)2x13；解解方程f(x)2x130，得xlog26，所以函数的零点是log26.,解析答案,所以函数的零点为6.,反思与感悟,求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练1函数yx1的零点是()A.(1,0)B.0C.1D.不存在解析令yx10，得x1，故函数yx1的零点为1.,C,解析答案,反思与感悟,题型二判断函数零点所在区间例2已知函数f(x)x3x1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是()A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)解析f(0)10，f(3)230，f(4)590.f(1)f(2)0)的区间根问题例4关于x的方程x22ax40的两根均大于1，求实数a的取值范围.,反思与感悟,解析答案,解方法一(应用求根公式),反思与感悟,方法二(应用根与系数的关系)设x1，x2为方程x22ax40的两根，则有x1x22a，x1x24.要使原方程x22ax40的两根x1，x2均大于1，,反思与感悟,方法三(应用二次函数的图象)设f(x)x22ax4，图象如图所示.,反思与感悟,1.在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑以下四个方面：(1)与0的关系；(2)对称轴与所给端点值的关系；(3)端点的函数值与零的关系；(4)开口方向.2.设x1，x2是实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个实数根，则x1，x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表所示.,反思与感悟,反思与感悟,解析答案,跟踪训练4已知函数f(x)ax22ax1有两个零点x1，x2，且x1(0,1)，x2(4，2)，求a的取值范围.解f(x)ax22ax1的图象是连续的且两点x1，x2满足x2(4，2)，x1(0,1).,解析答案,例5已知关于x的方程|x24x3|a0有三个不相等的实数根，则实数a的值是_.解析如图所示，由图象知直线y1与y|x24x3|的图象有三个交点，则方程|x24x3|1有三个不相等的实数根，因此a1.,数形结合思想,解题思想方法,反思与感悟,1,反思与感悟,求解这类问题可先将原式变形为f(x)g(x)，则方程f(x)g(x)的不同解的个数等于函数f(x)与g(x)图象交点的个数，分别画出两个函数的图象，利用数形结合的思想使问题得解.,解析答案,返回,跟踪训练5当m为何值时，方程x24|x|5m有4个互不相等的实数根？解令f(x)x24|x|5，作出其图象，如图所示，由图象可知，当1m5时，方程x24|x|5m有4个互不相等的实数根.,当堂检测,1,2,3,4,解析答案,1.函数y4x2的零点是(),D,解析答案,1,2,3,4,2.对于函数f(x)，若f(1)f(3)0，则()A.方程f(x)0一定有实数解B.方程f(x)0一定无实数解C.方程f(x)0一定有两实数解D.方程f(x)0可能无实数解解析函数f(x)的图象在(1,3)上未必连续，故尽管f(1)f(3)0，但未必函数yf(x)在(1,3)上有实数解.,D,1,2,3,4,解析答案,3.方程2xx20的解的个数是()A.1B.2C.3D.4解析在同一直角坐标系中画出函数y2x及yx2的图象，可看出两图象有三个交点，故2xx20的解的个数为3.,C,解析答案,1,2,3,4,4.已知函数f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比0大，一个零点比0小，则实数a的取值范围为_.解析由题意可知f(0)a20，解得a2.,(，2),课堂小结,1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.2.方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图象与x轴交点的横坐标.3.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.,返回,
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