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2.2.1双曲线及其标准方程,引入：生活中的美丽曲线双曲线,北京摩天大楼,巴西利亚大教堂,法拉利主题公园,双曲线,让我们的生活更美丽!那么数学中的双曲线是怎样一种曲线呢？让我们一起来探究吧！,1.回顾椭圆的定义？,探索研究,平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点轨迹叫做椭圆。,思考：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么动点的轨迹会是怎样的曲线？即“平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数的点的轨迹”是什么？,画双曲线,演示实验：用拉链画双曲线,如图(A)，,|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a,如图(B)，,上面两条合起来叫做双曲线,由可得：,|MF1|-|MF2|=2a（差的绝对值）,|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a,根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？,平面内与两个定点F1，F2的距离的和为一个定值（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1、F2双曲线的焦点;,|F1F2|=2c焦距.,平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线.,注意,|MF1|-|MF2|=2a,(1)距离之差的绝对值,(2)常数要小于|F1F2|大于0,02a2c,回忆椭圆的定义,2.双曲线的定义,即00）,y,o,F1,M,此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程,两边同时平方，移项,双曲线的标准方程,焦点在x轴上,焦点在y轴上,双曲线定义及标准方程,|MF1|-|MF2|=2a（0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=b2+c2,双曲线与椭圆之间的区别与联系,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F（0，c）,F（0，c）,练一练,判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出及焦点坐标。,答案：,题后反思：先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。,1.已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则(1)a=_,c=_,b=_,(2)双曲线的标准方程为_,(3)双曲线上一点，|PF1|=10,则|PF2|=_,3,5,4,4或16,变式练习,【提升总结】,求双曲线标准方程的步骤：（1）确定焦点的位置.（2）设出双曲线的标准方程.（3）用待定系数法确定a，b的值，写出双曲线的标准方程.,P47例1.根据下列条件求双曲线的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离的差的绝对值等于8.,因为双曲线的焦点在x轴上，设它的标准方程为：,因为c=5,2a=8,所以a=4,所以b2=c2-a2=52-42=9,所以所求双曲线的标准方程为：,解：,(2)两个焦点的坐标分别是(0,-6),(0,6)，且双曲线过点A（-5,6）.,因为双曲线焦点在y轴上，设它的标准方程为：,解得：a2=16,b2=20,所以a2+b2=c2=36.,所以所求双曲线的标准方程为：,解：,由已知得c=6,又因为点A（-5,6）在双曲线上,待定系数法,P47例1,由已知得c=6，且焦点在y轴上，,所以b2=c2-a2=62-42=20.,所以所求双曲线的标准方程为：,另解：,得a=4,又因为点A（-5,6）在双曲线上,所以点A与两焦点的距离的差的绝对值等于2a,定义法,变式练习2、写出适合下列条件的双曲线的标准方程,(1)a=4，b=3，焦点在x轴上；(2)a=3，c=5，焦点在坐标轴上；(3)两个焦点的坐标是（0，-6）和（0，6），并且经过点P（2，-5）.,解：因为双曲线的焦点在y轴上，设它的标准方程为,c=6，且c2=a2+b2,36=a2+b2,又双曲线经过点,联立可求得：,双曲线的标准方程为,(法一),或,待定系数法,(法二)因为双曲线的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为,由双曲线的定义知，,所以所求双曲线的标准方程为,定义法,解：,提醒：求点的轨迹方程时，要结合具体的情况剔除不满足条件的点.,【变式练习】,
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