重庆XX中学2016-2017学年八年级上期中数学试卷含答案解析.doc

2016-2017学年重庆XX中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（）ABCD2下列运算正确的是（）A3a2a3=3a6B5x4x2=4x2C（2a2）3（ab）=8a7bD2x22x2=03下列说法正确的是（）用一张相纸冲洗出来的10张1寸相片是全等形；我国国旗上的4颗小五角星是全等形；所有的正方形是全等形；全等形的面积一定相等A1个B2个C3个D4个4一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A12B16C20D16或205王老师一块教学用的三角形玻璃不小心打破了，他想再到玻璃店划一块同样大小的三角形玻璃，为了方便他只要带哪一块就可以（）ABCD都不行6已知图中的两个三角形全等，则1等于（）A50B58C60D727如图，直线l是一条河，A、B两地相距5km，A、B两地到l的距离分别为3km、6km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）ABCD8通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式是（）A（ab）2=a22ab+b2B2a（a+b）=2a2+2abC（a+b）2=a2+2ab+b2D（a+b）（ab）=a2b29已知（53x+mx26x3）（12x）的计算结果中不含x3的项，则m的值为（）A3B3CD010两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：ABDCBD；ACBD；四边形ABCD的面积=ACBD，其中正确的结论有（）A0个B1个C2个D3个11如图，点P是AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PMN周长的最小值是5cm，则AOB的度数是（）A25B30C35D4012为了求1+2+22+23+22008+22009的值，可令S=1+2+22+23+22008+22009，则2S=2+22+23+24+22008+22009+22010，因此2SS=220101，所以1+2+22+23+22009=220101仿照以上推理计算出1+5+52+53+52009的值是（）A52010+1B520101CD二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明DOC=DOC，需要证明DOCDOC，则这两个三角形全等的依据是（写出全等的简写）14已知：如图，AD是ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则ABD与ACD的面积之比为15如图，已知ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别是角平分线，且MNBA，分别交AC于N、BC于M，则CMN的周长为16已知点P（3，1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1b），则ab的值为17等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则该等腰三角形的底角的度数为18如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10cm，OC=6cmF是线段OA上的动点，从点O出发，以1cm/s的速度沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上已知A、Q两点间的距离是O、F两点间距离的a倍若用（a，t）表示经过时间t（s）时，OCF、FAQ、CBQ中有两个三角形全等请写出（a，t）的所有可能情况三、解答题（共8小题，满分78分）19如图，已知AB=AC，1=2，B=C，则BD=CE请说明理由：解：1=21+BAC=2+即=DAB在ABD和ACE中，B=（已知）AB=（已知）EAC=（已证）ABDACE（）BD=CE（）20a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等请用尺规画出O点位置，不写作法，保留痕迹21将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线记成，定义=adbc，上述记号叫做二阶行列式，若=5x，求x的值22如图，已知ABC的三个顶点在格点上（1）作出与ABC关于x轴对称的图形A1B1C1；（2）求出A1，B1，C1三点坐标；（3）求ABC的面积23（1）计算：（x）2x3（2y）3+（2xy）2（x）3y（2）已知2m=，32n=2求23m+10n的值24如图，ABC中，BAC=110，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足（1）求DAF的度数；（2）如果BC=10cm，求DAF的周长25（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明26阅读理解如图1，ABC中，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，BAC是ABC的好角小丽展示了确定BAC是ABC的好角的两种情形情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合探究发现（1）ABC中，B=2C，经过两次折叠，BAC是不是ABC的好角？（填“是”或“不是”）（2）小丽经过三次折叠发现了BAC是ABC的好角，请探究B与C（不妨设BC）之间的等量关系根据以上内容猜想：若经过n次折叠BAC是ABC的好角，则B与C（不妨设BC）之间的等量关系为应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15、60、105，发现60和105的两个角都是此三角形的好角请你完成，如果一个三角形的最小角是4，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角2016-2017学年重庆十八中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（）ABCD【考点】轴对称图形【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项错误；B、是轴对称图形，故选项正确；C、不是轴对称图形，故选项错误；D、不是轴对称图形，故选项错误故选：B2下列运算正确的是（）A3a2a3=3a6B5x4x2=4x2C（2a2）3（ab）=8a7bD2x22x2=0【考点】单项式乘单项式；合并同类项；整式的除法【分析】根据整式的各种运算法则逐项分析即可【解答】解：A、3a2a3=3a53a6，故A错误；B、5x4x2不是同类项，所以不能合并，故B错误；C、（2a2）3（ab）=8a7b，计算正确，故C正确；D、2x22x2=10，计算错误，故D错误；故选：C3下列说法正确的是（）用一张相纸冲洗出来的10张1寸相片是全等形；我国国旗上的4颗小五角星是全等形；所有的正方形是全等形；全等形的面积一定相等A1个B2个C3个D4个【考点】全等图形【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断【解答】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形正确，用一张相纸冲洗出来的10张1寸相片，各相片可以完全重合，故是全等形；正确，我国国旗上的4颗小五角星是全等形；错误，所有的正方形边长不一定一样，故不能完全重合，不能称都是全等形；正确，全等形可以完全重合，故其面积一定相等共有三个正确，故选C4一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A12B16C20D16或20【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析【解答】解：当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；当8为腰时，8488+4，符合题意故此三角形的周长=8+8+4=20故选C5王老师一块教学用的三角形玻璃不小心打破了，他想再到玻璃店划一块同样大小的三角形玻璃，为了方便他只要带哪一块就可以（）ABCD都不行【考点】全等三角形的应用【分析】此题是一道开放性题，实则还是考查学生对三角形全等的判定方法的掌握情况此处可以运用排除法进行分析【解答】解：块，它只保留了原来的一个角，那么这样去配也有很大的难度；块，因为它只是其中不规则的一块，如果仅凭这一块不能配到与原来一样大小的三角形玻璃；块，它保留了原来的一条边和两个角，这正好符合全等三角形的判定中的ASA；所以应该带第块去故选A6已知图中的两个三角形全等，则1等于（）A50B58C60D72【考点】全等三角形的性质；三角形内角和定理【分析】根据已知数据找出对应角，根据全等得出A=D=50，F=C=72，根据三角形内角和定理求出即可【解答】解：ABC和DEF全等，AC=DF=b，DE=AB=a，1=B，A=D=50，F=C=72，1=180DF=58，故选B7如图，直线l是一条河，A、B两地相距5km，A、B两地到l的距离分别为3km、6km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）ABCD【考点】轴对称-最短路线问题；垂线段最短【分析】作点A关于直线l的对称点，再把对称点与点B连接，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求点M【解答】解：根据最短路线问题，B选项图形方案符合故选B8通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式是（）A（ab）2=a22ab+b2B2a（a+b）=2a2+2abC（a+b）2=a2+2ab+b2D（a+b）（ab）=a2b2【考点】单项式乘多项式【分析】由题意知，长方形的面积等于长2a乘以宽（a+b），面积也等于四个小图形的面积之和，从而建立两种算法的等量关系【解答】解：长方形的面积等于：2a（a+b），也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab=2a2+2ab，即2a（a+b）=2a2+2ab故选：B9已知（53x+mx26x3）（12x）的计算结果中不含x3的项，则m的值为（）A3B3CD0【考点】多项式乘多项式【分析】把式子展开，找到所有x3项的所有系数，令其为0，可求出m的值【解答】解：（53x+mx26x3）（12x）=513x+（m+6）x2+（62m）x3+12x4又结果中不含x3的项，2m6=0，解得m=3故选B10两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：ABDCBD；ACBD；四边形ABCD的面积=ACBD，其中正确的结论有（）A0个B1个C2个D3个【考点】全等三角形的判定【分析】先证明ABD与CBD全等，再证明AOD与COD全等即可判断【解答】解：在ABD与CBD中，ABDCBD（SSS），故正确；ADB=CDB，在AOD与COD中，AODCOD（SAS），AOD=COD=90，AO=OC，ACDB，故正确；四边形ABCD的面积=ACBD，故正确；故选D11如图，点P是AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PMN周长的最小值是5cm，则AOB的度数是（）A25B30C35D40【考点】轴对称-最短路线问题【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，COA=POA；PN=DN，OP=OD，DOB=POB，得出AOB=COD，证出OCD是等边三角形，得出COD=60，即可得出结果【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，PM=DM，OP=OD，DOA=POA；点P关于OB的对称点为C，PN=CN，OP=OC，COB=POB，OC=OP=OD，AOB=COD，PMN周长的最小值是5cm，PM+PN+MN=5，DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，OC=OD=CD，即OCD是等边三角形，COD=60，AOB=30；故选：B12为了求1+2+22+23+22008+22009的值，可令S=1+2+22+23+22008+22009，则2S=2+22+23+24+22008+22009+22010，因此2SS=220101，所以1+2+22+23+22009=220101仿照以上推理计算出1+5+52+53+52009的值是（）A52010+1B520101CD【考点】规律型：数字的变化类【分析】仔细阅读题目中示例，找出其中规律，求解本题【解答】解：根据题中的规律，设S=1+5+52+53+52009，则5S=5+52+53+52009+52010，所以5SS=4S=520104，所以S=故选C二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明DOC=DOC，需要证明DOCDOC，则这两个三角形全等的依据是SSS（写出全等的简写）【考点】全等三角形的判定【分析】1、以O为圆心，任意长为半径用圆规画弧，分别交OA、OB于点C、D；2、任意画一点O，画射线OA，以O为圆心，OC长为半径画弧CE，交OA于点C；3、以C为圆心，CD长为半径画弧，交弧CE于点D；4、过点D画射线OB，AOB就是与AOB相等的角则通过作图我们可以得到OC=OC，OD=OD，CD=CD，从而可以利用SSS判定其全等【解答】解：OC=OC，OD=OD，CD=CD，从而可以利用SSS判定其全等故填SSS14已知：如图，AD是ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则ABD与ACD的面积之比为3：2【考点】角平分线的性质【分析】本题需先利用角平分线的性质可知点D到AB、AC的距离相等，即两三角形的高相等，观察ABD与ACD，面积比即为已知AB、AC的比，答案可得【解答】解：AD是ABC的角平分线，点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又AB：AC=3：2，则ABD与ACD的面积之比为 3：2故答案为：3：215如图，已知ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别是角平分线，且MNBA，分别交AC于N、BC于M，则CMN的周长为24【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质【分析】根据AO、BO分别是角平分线和MNBA，求证AON和BOM为等腰三角形，再根据AC+BC=24，利用等量代换即可求出CMN的周长【解答】解：AO、BO分别是角平分线，OAN=BAO，ABO=OBM，MNBA，AON=BAO，MOB=ABO，AN=ON，BM=OM，即AON和BOM为等腰三角形，MN=MO+ON，AC+BC=24，CMN的周长=MN+MC+NC=AC+BC=24故答案为：2416已知点P（3，1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1b），则ab的值为25【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案【解答】解：点P（3，1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1b），解得：，则ab的值为：（5）2=25故答案为：2517等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则该等腰三角形的底角的度数为63或27【考点】等腰三角形的性质【分析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数【解答】解：在三角形ABC中，设AB=AC，BDAC于D若是锐角三角形，A=9036=54，底角=2=63；若三角形是钝角三角形，BAC=36+90=126，此时底角=2=27所以等腰三角形底角的度数是63或27故答案为：63或2718如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10cm，OC=6cmF是线段OA上的动点，从点O出发，以1cm/s的速度沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上已知A、Q两点间的距离是O、F两点间距离的a倍若用（a，t）表示经过时间t（s）时，OCF、FAQ、CBQ中有两个三角形全等请写出（a，t）的所有可能情况（1，4），（，5），（0，10）【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质【分析】分类讨论：当COF和FAQ全等时，得到OC=AF，OF=AQ或OC=AQ，OF=AF，代入即可求出a、t的值；同理可求当FAQ和CBQ全等时a、t的值，COF和BCQ不全等，F，Q，A三点重合，此时（0，10）综合上述即可得到答案【解答】解：当COF和FAQ全等时，OC=AF，OF=AQ或OC=AQ，OF=AF，OC=6，OF=t，AF=10t，AQ=at，代入得：或，解得：t=4，a=1，或t=5，a=，（1，4），（，5）；同理当FAQ和CBQ全等时，必须BC=AF，BQ=AQ，10=10t，6at=at，此时不存在；因为CBQ最长直角边BC=10，而COF的最长直角边不能等于10，所以COF和BCQ不全等，F，Q，A三点重合，此时COF和CBQ全等，此时为（0，10）故答案为：（1，4），（，5），（0，10）三、解答题（共8小题，满分78分）19如图，已知AB=AC，1=2，B=C，则BD=CE请说明理由：解：1=21+BAC=2+BAC即EAC=DAB在ABD和ACE中，B=C（已知）AB=AC（已知）EAC=DAB（已证）ABDACE（ASA）BD=CE（全等三角形的对应边相等）【考点】全等三角形的判定与性质【分析】根据等式的性质得：EAC=DAB，再根据ASA证明ABDACE，得出BD=CE【解答】解：1=2，1+BAC=2+BAC，即EAC=DAB，在ABD和ACE中，ABDACE（ASA），BD=CE（全等三角形的对应边相等）故答案为：BAC，EAC，C，AC，DAB，ASA，全等三角形的对应边相等20a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等请用尺规画出O点位置，不写作法，保留痕迹【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质【分析】连接MN，先画出a、b两线所组成的角的平分线，然后再画出线段MN的中垂线这两条直线的交点即为所求【解答】解：以A为圆心，以任意长为半径画圆，分别交铁路a和公路b于点B、C；分别以B、C为圆心，以大于BC为半径画圆，两圆相交于点D，连接AD，则直线AD即为BAC的平分线；连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于E、F，连接EF，则直线EF即为线段MN的垂直平分线；直线EF与直线AD相交于点O，则点O即为所求点21将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线记成，定义=adbc，上述记号叫做二阶行列式，若=5x，求x的值【考点】多项式乘多项式；解一元一次方程【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程得到答案【解答】解：由题意得（x+2）（x2）（x3）（x+1）=5x，解得x=22如图，已知ABC的三个顶点在格点上（1）作出与ABC关于x轴对称的图形A1B1C1；（2）求出A1，B1，C1三点坐标；（3）求ABC的面积【考点】作图-轴对称变换【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出A1B1C1即可；（2）根据各点在坐标系中的位置写出A1，B1，C1三点坐标即可；（3）根据SABC=正方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可【解答】解：（1）如图所示；（2）由图可知，A1（2，3），B1（3，1），C1（1，1）；（3）SABC=22111212=411=23（1）计算：（x）2x3（2y）3+（2xy）2（x）3y（2）已知2m=，32n=2求23m+10n的值【考点】整式的混合运算化简求值【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后合并即可；（2）先变形求出25n=2，再把23m+10n=23m210n变形得出（2m）3（25n）2，代入求出即可【解答】解：（1）原式=x2x38y34x2y2x3y=8x5y34x5y3=12x5y3；（2）32n=2，25n=2，2m=，23m+10n=23m210n=（2m）3（25n）2=（）322=即23m+10n的值是24如图，ABC中，BAC=110，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足（1）求DAF的度数；（2）如果BC=10cm，求DAF的周长【考点】线段垂直平分线的性质【分析】（1）根据三角形内角和定理可求B+C；根据垂直平分线性质，DA=BD，FA=FC，则EAD=B，FAC=C，得出DAF=BACEADFAC=110（B+C）求出即可（2）由（1）中得出，AD=BD，AF=FC，即可得出DAF的周长为BD+FC+DF=BC，即可得出答案【解答】解：（1）设B=x，C=yBAC+B+C=180，110+B+C=180，x+y=70AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，DA=BD，FA=FC，EAD=B，FAC=CDAF=BAC（x+y）=11070=40（2）AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，DA=BD，FA=FC，DAF的周长为：AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10（cm）25（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明【考点】全等三角形的判定与性质【分析】（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换延长EB到G，使BG=DF，连接AG目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF转换成GE，那么这样EF=BE+DF了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键三角形ABE和AEF中，只有一条公共边AE，我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和AFD中，已知了一组直角，BG=DF，AB=AD，因此两三角形全等，那么AG=AF，1=2，那么1+3=2+3=EAF=BAD由此就构成了三角形ABE和AEF全等的所有条件（SAS），那么就能得出EF=GE了（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明三角形ABG和ADF全等中，证明ABG=ADF时，用到的等角的补角相等，其他的都一样因此与（1）的结果完全一样（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换就应该在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG根据（1）的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BEBG=BEDF所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AGABG=ABC=D=90，AB=AD，ABGADFAG=AF，1=21+3=2+3=EAF=BADGAE=EAF又AE=AE，AEGAEFEG=EFEG=BE+BGEF=BE+FD（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BEFD证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AGB+ADC=180，ADF+ADC=180，B=ADFAB=AD，ABGADFBAG=DAF，AG=AFBAG+EAD=DAF+EAD=EAF=BADGAE=EAFAE=AE，AEGAEFEG=EFEG=BEBGEF=BEFD26阅读理解如图1，ABC中，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，BAC是ABC的好角小丽展示了确定BAC是ABC的好角的两种情形情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合探究发现（1）ABC中，B=2C，经过两次折叠，BAC是不是ABC的好角？是（填“是”或“不是”）（2）小丽经过三次折叠发现了BAC是ABC的好角，请探究B与C（不妨设BC）之间的等量关系根据以上内容猜想：若经过n次折叠BAC是ABC的好角，则B与C（不妨设BC）之间的等量关系为B=nC应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15、60、105，发现60和105的两个角都是此三角形的好角请你完成，如果一个三角形的最小角是4，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知B=2C；（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知A1A2B2=C+A2B2C=2C；根据四边形的外角定理知BAC+2B2C=180，根据三角形ABC的内角和定理知BAC+B+C=180，由可以求得B=3C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：B=nC；（3）利用（2）的结论知B=nC，BAC是ABC的好角，C=nA，ABC是ABC的好角，A=nB，BCA是ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88、88【解答】解：（1）ABC中，B=2C，经过两次折叠，BAC是ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，沿BAC的平分线AB1折叠，B=AA1B1；又将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，A1B1C=C；AA1B1=C+A1B1C（外角定理），B=2C，BAC是ABC的好角故答案是：是；（2）B=3C；如图所示，在ABC中，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则BAC是ABC的好角证明如下：根据折叠的性质知，B=AA1B1，C=A2B2C，A1 B1C=A1A2B2，根据三角形的外角定理知，A1A2B2=C+A2B2C=2C；根据四边形的外角定理知，BAC+B+AA1B1A1 B1C=BAC+2B2C=180，根据三角形ABC的内角和定理知，BAC+B+C=180，B=3C；由小丽展示的情形一知，当B=C时，BAC是ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当B=2C时，BAC是ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当B=3C时，BAC是ABC的好角；故若经过n次折叠BAC是ABC的好角，则B与C（不妨设BC）之间的等量关系为B=nC；（3）由（2）知设A=4，C是好角，B=4n；A是好角，C=mB=4mn，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180如果一个三角形的最小角是4，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88、882016年11月21日第24页（共24页）