八年级数学上册17特殊三角形教学案冀教版.doc

教学资料参考范本八年级数学上册 17 特殊三角形教学案 （新版）冀教版撰写人：_时 间：_1.了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理;探索并掌握等腰三角形的判定定理;探索等边三角形的性质定理和判定定理.2.探索并掌握直角三角形的性质定理,掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.3.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题.4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.5.会利用基本作图方法作三角形:已知底边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形.6.通过实例体会反证法的含义.1.经历由情境引出问题,探索、掌握有关数学知识,再运用于实践的过程,培养学生学数学、用数学的意识与能力.2.在教学过程中提供充足的时间和空间,让学生经历观察、操作、实验、猜想、验证等活动过程,培养学生尝试探究的意识和能力.1.感受数学文化的价值和中国传统数学的成就,激发学生热爱祖国及祖国悠久文化的思想感情.2.使学生从数学的角度思考问题,培养学生积极的学习态度,树立学习的信心,提高学生的学习兴趣.本章知识既是三角形内容的深化和拓展,又是进一步研究特殊四边形的重要工具.同时,等腰三角形的知识在今后探索线段相等、角相等、直线的垂直关系等方面有着广泛的应用;勾股定理及其逆定理不仅是数形结合思想的完美体现,更是我们今后解决数学问题和实际问题的有力工具.因此,本章起着承上启下的桥梁作用.(1)等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质和判定,主要通过观察与思考、操作与归纳等方法去探索和发现结论,再通过演绎推理证明结论,最后举例证明,实现在发展学生合情推理能力的基础上,把证明作为探索活动的自然延续.较好体现了合情推理与演绎推理两种推理形式的相辅相成,实现了两种推理的有机融合.(2)对于勾股定理的获得,设计了观察、计算、思考、归纳、猜想等探究活动,将验证猜想的过程设计为“试着做做”和“做一做”等学生自主活动,让学生体验勾股定理发现的全过程,发展学生的推理能力和创新意识;对于勾股定理的逆定理,通过让学生先操作(画直角三角形),再证明(利用全等)的方式来获得.(3)在本章的尺规作图中,都增加了分析环节,使学生不仅要知道作图的步骤,而且还要了解作图的道理.(4)在反证法一节中,除介绍反证法及证明命题的一般步骤外,还运用反证法对平行线的性质定理进行了证明,体现了本套教材在内容上的完整性.同时对直角三角形全等的“斜边、直角边”定理也用反证法给出了证明,使学生从中体会反证法的价值.【重点】1.等腰三角形、等边三角形的性质和判定.2.直角三角形的性质和判定.3.勾股定理、逆定理及其简单应用.4.反证法及其简单应用.【难点】1.等腰三角形、等边三角形的性质及其应用.2.勾股定理及其逆定理的应用.1.关于等腰三角形和直角三角形性质和判定的教学,应引导学生在独立思考和合作交流的前提下,进行观察与思考、操作与探究等活动并获得猜想,进而一起完成对猜想的证明,落实对合情推理和演绎推理的自然结合,实现提升学生推理意识和推理能力的目的.2.对于勾股定理的教学,教师要提供充足的时间和空间,让学生观察、猜想、推理,使定理的发现成为学生认识活动的自然结果.3.对于证明格式、方法和步骤,要让学生在亲身经历、体验的过程中去逐步理解和掌握,此过程切忌急于求成,更不要以教师的讲解代替学生的活动,要给学生充足的时间和空间去探索、实践和总结.4.提倡思维多样化,注重培养学生清晰表达自己思维过程的能力,对学生出现的多种思路和方法,应给予充分肯定并在全班展示,使学生的求异思维和创新意识能得到及时的表现.17.1等腰三角形2课时17.2直角三角形1课时17.3勾股定理3课时17.4直角三角形全等的判定1课时17.5反证法1课时回顾与思考1课时17.1等腰三角形1.了解等腰三角形、等边三角形的定义,掌握等腰三角形及等边三角形的性质.2.掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法.1.通过动手操作及等腰三角形、等边三角形的对称变换掌握其性质和特征.2.掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法,能利用性质和判定方法解决问题.1.体会等腰三角形和等边三角形的对称美.2.体会数学在现实生活中的广泛应用,认识数学无处不在,提高学生学习数学的兴趣.【重点】等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法.【难点】等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法的应用.第课时在动手操作的过程中,理解等腰三角形、等边三角形的性质定理.1.让学生通过动手操作,经历等腰三角形性质的探索过程,培养学生的动手、归纳、概括的能力.2.培养学生的猜想能力,让学生经过推理证明得到等腰三角形、等边三角形的性质定理.培养学生的逻辑思维能力,让学生树立良好的学习观,增强学生认真学习的态度.【重点】等腰三角形、等边三角形的性质定理.【难点】等腰三角形、等边三角形的性质定理的推理和证明.【教师准备】多媒体课件、各种形状的图形、剪刀.【学生准备】长方形纸、剪刀.导入一:教师预先做出各种几何图形,包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等边三角形、等腰三角形等. 让同学们抢答哪些是轴对称图形,提问什么是轴对称图形,什么样的三角形才是轴对称图形.引入今天所要讲的课题等腰三角形、等边三角形的性质定理.我们知道,有两条边相等的三角形是等腰三角形,下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形.设计意图通过辨别,让学生发现等腰三角形是轴对称图形,从而引出可以利用轴对称的性质来确定等腰三角形.导入二:在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形,还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.思考:三角形是轴对称图形吗?有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是.问题:什么样的三角形是轴对称图形?满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形,也就是将三角形沿某一条直线对折后,两部分能够完全重合的就是轴对称图形.这节课我们就来认识一种是轴对称图形的三角形等腰三角形.设计意图从三角形的角度,让学生通过思考,了解等腰三角形是轴对称图形,从而自然地引入到本节课的学习之中,激发了学生的学习兴趣和求知欲望.导入三:1.出示一组含有等腰三角形的生活图片,让学生感知图片主要部分形状的共同点.2.出示自制的测平仪,告诉学生含45角的三角板顶点固定一条拴着重物的绳子,标出底边中点标志,它就变成了测平仪.激起学生的好奇心,从而引入课题.设计意图活跃课堂气氛,消除学生的紧张情绪,让学生带着问题进入学习.过渡语刚才我们知道等腰三角形是轴对称图形,那么它有哪些性质呢?现在我们就共同来研究它.探究一:等腰三角形的性质定理思路一【活动1】【课件1】如图所示,把一张长方形纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的ABC有什么特点? 【学生活动】学生动手操作,观察ABC的特点,可以发现AB=AC.【教师活动】让学生回顾等腰三角形的概念:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 如图所示,在ABC中,若AB=AC,则ABC是等腰三角形,AB,AC是腰,BC是底边,A是顶角,B和C是底角. 【活动2】【课件2】观察与思考:如上图所示,ABC是等腰三角形,其中AB=AC.(1)我们知道线段BC为轴对称图形,中垂线为它的对称轴,由AB=AC,可知点A在线段BC的中垂线上.据此,你认为ABC是轴对称图形吗?如果是,对称轴是哪条直线?(2)B和C有怎样的关系?(3)底边BC上的高、中线及A的平分线有怎样的关系?【学生活动】学生经过观察,然后小组讨论交流,从中总结等腰三角形的性质.【教师活动】引导学生归纳:性质1等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).知识拓展等腰三角形的“等边对等角”的特征是用来说明两角相等、计算角的度数的常用方法.性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).【活动3】你能用所学知识验证上述性质吗?【课件3】如图所示,在ABC中,AB=AC.求证B=C. 【学生活动】学生在独立思考的基础上进行讨论,寻找解决问题的办法,若证B=C,根据全等三角形的知识可以知道只需要证明这两个角所在的三角形全等即可.于是可以作辅助线构造两个三角形,作BC边上的中线AD,证明ABD和ACD全等即可,根据条件利用“边边边”可以证明.【教师活动】让学生充分讨论,根据所学的数学知识,利用逻辑推理的方式进行证明,证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性. 证明:作BC边上的中线AD,如图所示,则BD=CD, 在ABD和ACD中,所以ABDACD(SSS),所以B=C.这样,就证明了性质1.类比性质1的证明你能证明性质2吗?由ABDACD,还可得出BAD=CAD,ADB=ADC=90.从而ADBC,这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线平分顶角A并垂直于底边BC.添加辅助线的方法多样,让学生再去讨论、交流,即用类似的方法可以证明性质2.说明:经过以上证明也可以得出等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合,等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.知识拓展等腰三角形还有以下性质:(1)等腰三角形两腰上的中线、高线相等;(2)等腰三角形两个底角平分线相等;(3)等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.设计意图通过折叠等腰三角形让学生观察,在动手操作中掌握等腰三角形的性质,概括出性质,并引导学生加以证明,让学生经历知识的形成和证明过程,加深了对知识的理解和掌握.思路二要求学生通过自己的思考来作一个等腰三角形.【课件4】作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,BC,CA.以上活动所得三角形的两边相等吗?此三角形称为.小结:【课件5】填出等腰三角形各部分名称.归纳:等腰三角形的定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角.【课件6】问题1:等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴.问题2:通过折叠或测量,看看等腰三角形的两底角有什么关系?问题3:顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?问题4:底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?底边上的高所在的直线呢?1.学生通过刚才自主探究,大胆猜想以上问题的结果.2.教师用几何画板直观演示并引导学生观察等腰三角形的性质.(对称性,等边对等角,三线合一.)小结:等腰三角形的性质:(1)等腰三角形的两个底角(简称“”);(2)等腰三角形的,、重合(简称“三线合一”).3.你能证明以上性质吗?问题:(1)性质1(等腰三角形的两个底角相等)的条件和结论分别是什么?(2)怎样用数学符号表示条件和结论?已知:在ABC中,AB=AC.求证:B=C;请以“顶角的平分线”为辅助线,证明以上性质.(A组同学完成以下填空,B组同学独立证明.)教师巡视辅导点评.【课件6】证明:如图所示,作BAC的平分线AD,=,在ABD与ACD中,ABDACD(),B=.4.受上述启发,能证明性质2吗?即证明BAC的平分线AD是ABC底边上的中线和高.证明:由ABDACD知BD=,BAD=,ADB=,ADB+ADC=,ADB=ADC=.因此BAC的平分线AD也是ABC底边BC上的中线和高.5.提问:作底边上的高,又如何证明?(让同学讲证明思路.)设计意图通过作等腰三角形让学生感知其重点,通过几何画板让学生对照图形思考等腰三角形的性质,同时掌握对性质的证明方法,培养学生的学习能力.探究二:等边三角形的性质定理过渡语我们知道三边都相等的三角形是等边三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形,它有哪些性质呢?每位同学画一个等边三角形,并用量角器量一量每个内角的度数.结论:等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60.【课件7】已知:如图所示,在ABC中,AB=BC=AC. 求证:A=B=C=60.指导学生利用等腰三角形的性质进行证明.证明:在ABC中,由AB=AC,得B=C.由AC=BC,得A=B.所以A=B=C.由三角形内角和定理可得A=B=C=60.知识拓展等边三角形是特殊的等腰三角形,除了具有等腰三角形的性质外,等边三角形还具有自己特有的性质:(1)等边三角形有三条对称轴(等边三角形三条边都相等,都可以作为底边);(2)作等边三角形各边的高线、中线、各角的平分线一共有三条.设计意图让学生通过测量、证明,发现等边三角形的性质,掌握等腰三角形和等边三角形的关系.探究三:例题讲解【课件8】已知:如图所示,在ABC中,AB=AC,BD,CE分别为ABC,ACB的平分线. 求证:BD=CE.解析根据角平分线定义得到ABD=ABC,ACE=ACB,再根据等边对等角得到ABC=ACB,从而得到ABD=ACE,然后通过ASA证得ABDACE,就可以得到BD=CE.教师巡回指导,在学生完成后,指名口述解答过程.【课件9】(补充例题)如图所示,在ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求ABC中各角的度数. 解析根据等边对等角的性质,我们可以得到A=ABD,ABC=C=BDC,再由BDC=A+ABD,就可得到ABC=C=BDC=2A.再由三角形内角和为180,就可求出ABC的三个角的度数.如果设A为x,那么ABC,C都可以用x来表示,这样过程就更简捷了.解:因为AB=AC,BD=BC=AD,所以ABC=C=BDC,A=ABD.设A=x,则BDC=A+ABD=2x,从而ABC=C=BDC=2x.在ABC中,A+ABC+C=x+2x+2x=180,解得x=36.所以A=36,ABC=C=72.设计意图通过对例题的讲解、分析,引导学生应用等腰三角形的性质,让学生掌握解题思路和方法,提高学生对等腰三角形性质的应用能力.1.等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).注意:等边对等角只限于在同一个三角形中使用.2.等腰三角形的性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).说明:等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(底边上的高、顶角平分线)所在的直线是它的对称轴.3.等边三角形的性质等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60.1.若等腰三角形的顶角为40,则它的底角度数为()A.40B.50C.60D.70解析:因为等腰三角形的两个底角相等,顶角是40,所以其底角为=70.故选D.2.一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为()A.17B.15C.13D.13或17解析:当等腰三角形的腰为3,底边为7时,3+37,不能构成三角形;当等腰三角形的腰为7,底边为3时,周长为3+7+7=17.故这个等腰三角形的周长是17.故选A.3.如图所示,AD是等边三角形ABC的中线,AE=AD,则EDC等于() A.30B.20C.25D.15解析:ABC是等边三角形,AB=AC,BAC=C=60,AD是ABC的中线,DAC=BAC=30,ADBC,ADC=90,AE=AD,ADE=AED=75,EDC=ADC-ADE=90-75=15.故选D.4.如图所示,lm,等边三角形ABC的顶点B在直线m上,边BC与直线m所成的锐角为20,则的度数为() A.60B.45C.40D.30解析:如图所示,过C作CE直线m,lm,lmCE,ACE=,BCE=CBF=20,ABC是等边三角形,ACB=60,+CBF=ACB=60,=40.故选C.5.如图所示,在ABC中,AB=AC,ADBC于点D,若AB=6,CD=4,则ABC的周长是.解析:在ABC中,AB=AC,ABC是等腰三角形,又ADBC于点D,BD=CD.AB=6,CD=4,ABC的周长=6+4+4+6=20.故填20.6.如图所示,在ABC中,A=70,AB=AC,CD平分ACB.求ADC的度数. 解析:由AB=AC及顶角A的度数,利用等边对等角得到两底角相等,再利用三角形内角和定理求出底角的度数,再由CD为底角的平分线,求出DCB的度数,由ADC为三角形BCD的外角,利用外角性质即可求出ADC的度数.解:在ABC中,A=70,AB=AC,B=ACB=55,又CD平分ACB,DCB=ACD=27.5,ADC为BCD的外角,ADC=B+DCB=82.5.7.如图所示,等边三角形ABC中,D为AC边的中点,过C作CEAB,且AECE,那么CAE=ABD吗?请说明理由. 解析:根据ABC为等边三角形,D为AC边上的中点得到AC=BA,BAC=BCA=60,BDAC,求出BDA=90,由CEAB得ACE=BAD,利用三角形内角和定理得出CAE=ABD.解:CAE=ABD,理由如下:ABC为等边三角形,D为AC边上的中点,AC=BA,BAC=BCA=60,BDAC,BDA=90,AECE,AEC=BDA=90,又CEAB,ACE=BAD,180-90-ACE=180-90-BAD,CAE=ABD.第1课时探究一:等腰三角形的性质探究二:等边三角形的性质探究三:例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】1.教材第142页练习第1,2,3题.2.教材第143页习题A组第1,2,3题.【选做题】教材第143页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在ABC中,AB=AC,A=30,以B为圆心,BC的长为半径圆弧,交AC于点D,连接BD,则ABD等于() A.30B.45C.60D.902.如图所示,在ABC中,点D在BC上,AB=AD=DC,B=80,则C的度数为() A.30B.40C.45D.603.已知等腰三角形ABC的周长为13,且各边长均为整数,那么这样的等腰三角形ABC有()A.5个B.4个C.3个D.2个4.如图所示,在ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则B的度数为() A.30B.36C.40D.455.如图所示,ABC是一房屋人字架,其中AB=AC,为使人字架更加坚固,房主要求在顶点A和横梁BC之间加根柱子AD,可木工却不知将D点钉在BC何处才能使ADBC,请同学们帮帮他,并说明理由. 【能力提升】6.如图所示,ABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC延长线上一点,连接BE,DE,若ABE=40,BE=DE,求CED的度数. 7.如图所示,在ABC中,AB=AC,D为BC边上一D点,B=30,DAB=45. (1)求DAC的度数;(2)求证DC=AB.【拓展探究】8.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9 cm和15 cm两部分,求这个等腰三角形的底边长和腰长.9.已知等边三角形ABC和点P,设点A到BC的距离为h,点P到ABC的三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3, (1)如图(1)所示,若点P在边BC上,求证h1+h2=h.(2)如图(2)所示,当点P在ABC内时,猜想h1,h2,h3和h有什么关系?并证明你的结论.(3)如图(3)所示,当点P在ABC外时,h1,h2,h3和h有什么关系?【答案与解析】1.B(解析:AB=AC,A=30,ABC=ACB=(180-A)=(180-30)=75,以B为圆心,BC的长为半径圆弧,交AC于点D,BC=BD,CBD=180-2ACB=180-275=30,ABD=ABC-CBD=75-30=45.)2.B(解析:ABD中,AB=AD,B=80,B=ADB=80,ADC=180-ADB=100,AD=CD,C=40.)3.C(解析:周长为13,边长为整数的等腰三角形的边长只能为:3,5,5;或4,4,5;或6,6,1.共3个.)4.B(解析:AB=AC,B=C,AB=BD,BAD=BDA,CD=AD,C=CAD,BAD+CAD+B+C=180,5B=180,B=36.)5.解:木工将D点钉在BC中点处能使ADBC,理由如下:AB=AC,BD=DC,ADBC.6.解:ABC是等边三角形,ABC=ACB=60,ABE=40,EBC=ABC-ABE=60-40=20,BE=DE,D=EBC=20,CED=ACB-D=40.7.(1)解:AB=AC,B=C=30,C+BAC+B=180,BAC=180-30-30=120,DAB=45,DAC=BAC-DAB=120-45=75.(2)证明:DAB=45,ADC=B+DAB=75,DAC=ADC,DC=AC,AB=AC,DC=AB.8.解:设等腰三角形的腰长为x,如图所示,ABC是等腰三角形,AB=AC,由BD是AC边上的中线,有AB+AD=9或AB+AD=15,分下面两种情况:(1)x+x=9,x=6,三角形的周长为9+15=24(cm),三边长分别为6,6,12,6+6=12,不符合三角形的三边关系,舍去; (2)x+x=15,x=10.三角形的周长为24 cm,三边长分别为10,10,4.综上可知这个等腰三角形的底边长为4 cm,腰长为10 cm.9.(1)证明:如图(1)所示,连接AP,则SABC=SABP+SAPC,BCAM=ABPD+ACPF,即BCh=ABh1+ACh2.又ABC是等边三角形,BC=AB=AC,h=h1+h2.(2)解:h=h1+h2+h3,证明如下:如图(2)所示,连接AP,BP,CP,则SABC=SABP+SBPC+SACP,BCAM=ABPD+ACPF+BCPE,即BCh=ABh1+ACh2+BCh3.又ABC是等边三角形,BC=AB=AC.h=h1+h2+h3.(3)解:h=h1+h2-h3.理由如下:如图(3)所示,连接PB,PC,PA.由三角形的面积公式得SABC=SPAB+SPAC-SPBC,即BCAM=ABPD+ACPF-BCPE,ABC是等边三角形,AB=BC=AC,h1+h2-h3=h. 这节课是在学生已经学习了三角形的有关概念和“认识轴对称图形”的基础上进行学习的,学生已经掌握了三角形的相关知识,具有初步的探究学习经验.同时本节课的内容不仅是对前面所学知识的运用,也是今后证明角相等、线段相等及直线垂直的重要工具,它在教材中处于非常重要的地位.因为等腰三角形的性质在日常生活中有广泛的应用,所以探索发现等腰三角形的性质是这节课的重点;同时,对“三线合一”性质的理解和运用,学生有一定的难度,是这节课的难点.为了突出重点,教师充分创设问题情境,解决问题;为了突破难点,教师引导学生经历动手折纸、动手画图、对比分析、提出猜想、小组讨论、发现、归纳总结等活动,加以化解.教师在整个教学过程中主要通过动手操作、直观演示、小组讨论、自主探索、合作交流、发现归纳等多种教与学的方式,确保学生是学习的主人,教师是组织者、引导者、合作者.同时为了更好地启发、感染和调动学生,提高教学效率,采用课件辅助教学,充分开发和利用教育资源为课堂教学服务.在教学方法上,本节课以学生为主体,教师真正成为学生学习的组织者、引导者、合作者.特别是在探究“三线合一”的性质时,老师给出探究主题,学生以小组为单位,合作交流,自主探究、发现.本着“问题是数学的心脏”原则,教师精心设计了一些问题,在教学过程中有半数的学生回答了教师的提问,但碍于教学计划,有的问题在回答过程中还不时得到教师的提醒,这样导致的结果是难于发现学生真实的思维过程.“多提问”固然有利于学生思考和理解知识,有利于了解学生掌握知识的程度.但在倡导培养创新精神和实践能力的今天,更要重视对学生问题意识的培养.但教师在本节课的教学设计中留给学生的时间和空间偏少,导致学生发现问题、提出问题太少,长此以往,会使学生问题意识淡化.问起于疑,疑源于思,课堂上教师要为学生质疑创造足够的空间和时间.在问题解决过程中培养学生问题意识和发现问题、提出问题的良好习惯.在探究问题的过程中,教师一定要让学生自己去发现,只有由学生自己发现的东西,才是最真实的,也是最容易掌握的.在学生回答问题时,教师要适当点拨,但不能代替学生回答自己提出的问题,一定要让学生说,哪怕是错误的,也是经过学生思考得来的.【练习】(教材第142页)1.提示:(1)70.(2)45.(3)35.(4)60.图略.2.提示:(1)20.(2)80.(3)90.(4)120.3.解:(1)可以是锐角,不可以是直角和钝角.因为等腰三角形两底角相等,当底角为直角或钝角时,三角形内角和大于180,与三角形内角和等于180相矛盾,所以底角不可以是直角或钝角.(2)都可以,因为都符合三角形内角和定理.【习题】(教材第143页)A组1.解:(1)图中有3个等腰三角形,它们分别是ABC,ABD,BCD.(2)因为AB=AC,所以ABC=C.因为BD=BC,所以C=BDC.因为BD=AD,所以A=DBA.设A=DBA=,则ABC=BDC=C=2.在ABC中,ABC+C+A=180,所以2+2+=180,即5=180,所以=36,即A=36.2.解:(1)80,20或50,50.(2)40,40.(3)设这个三角形的顶角为x,则其底角为x,由题意得x+x+x=180,x=90,x=45.这个三角形三个内角的度数分别为90,45,45.3.解:ABC为等边三角形,AB=AC,BAC=60,又BD=DC,CAD=BAD=BAC=60=30.4.解:AB=BC,B=50,ACB=BAC=65.AC=CD,D=CAD.又ACB=D+CAD,ACB=2D,2D=65,D=32.5.B组1.解:设腰长为x cm.当腰长大于底边长时,x+x=18,x=12,此时底边长为15-x=15-12=9(cm).当腰长小于底边长时,x+x=15,x=10,此时底边长为18-x=18-10=13(cm).综上可得等腰三角形的底边长为9 cm或13 cm. 2.解:相等,相等.已知:如图所示,在ABC中,AB=AC,BD,CE分别是AC,AB边上的中线,BG,CH分别是AC,AB边上的高.求证BD=CE,BG=CH.证明:AB=AC,BD,CE分别为AC,AB边上的中线,AD=AC,AE=AB,AD=AE.在ABD和ACE中,ABDACE,BD=CE.AB=AC,ACB=ABC,BG,CH分别为AC,AB边上的高,BGC=CHB=90.在BGC和CHB中,BGCCHB,BG=CH.等腰三角形的性质与应用等腰三角形“三线合一”的性质在初中几何证明和计算中占据了非常重要的地位,实际上这个性质的逆定理在证明中的直接或间接应用也不亚于这个性质的直接应用,可以作为判定等腰三角形的一种重要思路.由于书上没有直接给出逆定理,所以很多学生在解题时很难想象到利用这一定理来解决问题,以至于在几何证明过程中思维受阻,不能正确地作出辅助线.因而在教学中,教师如果把握好等腰三角形“三线合一”性质的逆定理在辅助线教学中的应用,把握好化归思想方法的渗透,将有助于让学生把握解题的关键,更好地培养和发展学生的思维能力,有助于学生突破解题的难点,明确辅助线的添加,探明解题的方法,从而帮助学生提高解决问题的能力,“三线合一”性质:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合,逆定理:如果三角形中任一角的平分线和它所对边的中线重合,那么这个三角形是等腰三角形.如果三角形中任一角的平分线和它所对边的高重合,那么这个三角形是等腰三角形.如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合,那么这个三角形是等腰三角形.简言之:三角形中任意两线合一,必能推导出它是一个等腰三角形.学习本节的关键之一是让学生通过剪切、折叠,发现线段和角的关系,从图形中观察并总结出等腰三角形的性质.教学中要注意引导,不要急于得出结论,在操作过程中,让学生翻折不同的等腰三角形,如顶角是锐角、钝角或直角的等腰三角形,说明在翻折过程中相应的角的大小和线段的长短关系都没有发生变化;还可以让学生探索一般的三角形是否一定有这种性质,进一步体会等腰三角形所具有的特点.如图所示,ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,CAD=26,AE=AD,求BDE的度数. 解析由等腰三角形“三线合一”知BAD=CAD=26,由等边对等角和三角形内角和定理可求得ADE=77,在RtADB中,BDE=ADB-ADE.解:AB=AC,AD是高,BAD=CAD=26.AD=AE,ADE=AED=(180-26)2=77.BDE=90-77=13.小明做了一个如图所示的“风筝”骨架,其中AB=AD,CB=CD. (1)八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后,他认为ACBD,垂足为点E,并且BE=ED,你同意王云的判断吗?为什么?(2)设AC=a,BD=b,请用含a,b的式子表示四边形ABCD的面积.解析(1)根据SSS证ABCADC,推出BAC=DAC,根据等腰三角形“三线合一”推出即可;(2)四边形ABCD的面积为S=SABD+SCBD=BDAC,代入求出即可.解:(1)在ABC和ADC中, ABCADC(SSS),BAC=DAC,AB=AD,ACBD,BE=DE.(2)AC=a,BD=b,四边形ABCD的面积S=SABD+SCBD=BDAE+BDCE=BD(AE+CE)=BDAC=ab.用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少?(2)能围成有一边长为5 cm的等腰三角形吗?如果能,请求出它的另两边长.解析(1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm,根据周长公式列一元一次方程,解方程即可求得各边的长;(2)题中没有指明5 cm长的边是底边还是腰,故应该分情况进行讨论,注意利用三角形三边关系进行检验.解:(1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm,根据题意得2x+2x+x=20,解得x=4,2x=8,各边长为8 cm,8 cm,4 cm.(2)当5 cm为底边长时,腰长为7.5 cm;当5 cm为腰长时,底边长为10 cm,5+5=10,不能构成三角形,故舍去.因此能构成有一边长为5 cm的等腰三角形,另两边长为7.5 cm,7.5 cm.如图所示,两根钢绳一端用铁柱固定在地面上,另一端固定在电线杆上(电线杆垂直于地面),已知两根钢绳的长度相等,则两个铁柱到电线杆底部的距离BO与CO相等吗?为什么? 解析已知两根钢绳的长度相等,所以ABC是等腰三角形,因为电线杆垂直于地面,所以根据等腰三角形“三线合一”的性质可知BO=CO.解:BO与CO相等.理由如下:AB=AC,ABC是等腰三角形,由题知AOBC,BO=CO,因此两个铁柱到电线杆底部的距离BO与CO相等.第课时1.理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理.2.运用等腰三角形、等边三角形的判定定理进行证明和计算.1.理解并掌握“等角对等边”,体会与“等边对等角”的互逆关系.2.能够利用等腰三角形和等边三角形的判定定理解决问题.1.提高学生的动手能力,学会数学说理,发展初步的演绎推理能力.2.引导学生观察,发现等腰三角形、等边三角形的判定定理,让学生从思考中获得成功,在这个过程中体验学习的兴趣.【重点】等腰三角形、等边三角形的判定定理.【难点】边、角关系互相转化及运用.【教师准备】课件15.【学生准备】复习等腰三角形、等边三角形的性质.导入一:【课件1】某地质专家为估测一条东西流向的河流的宽度,选择河流北岸上一棵树(B点),然后在这棵树的正南方A点插一小旗作标志,沿南偏东60方向走一段距离到C处时,测得ACB为30,这时,地质专家只要测得AC的长度就可知河流宽度. 学生们很想知道,这样估测河流宽度的根据是什么?带着这个问题,引导学生学习“等腰三角形、等边三角形的判定定理”.导入二:教师提出问题,引导学生思考.1.什么样的三角形叫做等腰三角形?2.等腰三角形的两底角有何关系?谁能告诉我怎样去判定一个三角形是不是等腰三角形?除用两边相等判定等腰三角形外,是否还有其他方法?由此引入课题.等腰三角形的两个底角是相等的,反过来,如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是否一定是等腰三角形呢?设计意图通过问题引入,激发学生的学习兴趣,同时使学生认识到等腰三角形的性质与等腰三角形的判定方法是否存在一种特殊关系,从而掀起学生的探究欲望,使他们能更好地投入到学习中.导入三:对于一个三角形,怎样判定它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是看它是否有两条边相等.现在我们将学习另一种判定方法.活动一:等腰三角形、等边三角形的判定定理过渡语我们已经知道如果一个三角形有两条边相等,那么它们所对的角也相等,反过来,如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边是否相等呢?下面我们就来研究这个问题.1.等腰三角形的判定定理思路一【课件2】已知在ABC中,B=C.(1)请你作出BAC的平分线AD.(2)将ABC沿AD所在直线折叠,ABC被直线AD分成的两部分能够重合吗?(3)由上面的操作,你是否发现了边AB和边AC之间的数量关系?学生思考教师提出的问题,得出结论:ABC被直线AD分成的两部分能够重合,AB=AC.从上面的探究我们不难发现:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.如何证明?(1)在这一问题中,条件和结论是什么?(2)用数学符号怎样表示?教师引导提示,学生根据提示画出图形,并写出已知、求证.已知:在ABC中,B=C.求证:AB=AC.与学生一起回顾等腰三角形性质的证明过程,从作底边上的高、中线、顶角平分线三个方面分析.让学生逐一尝试,发现可以作ADBC,或AD平分ABC,但不能作BC边上的中线.学生口头证明后,选一种方法写出证明过程.证明:如图所示,作ABC的角平分线AD. 在BAD和CAD中,BADCAD(AAS),AB=AC.归纳等腰三角形的判定方法:如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形,其中,两个相等的角所对的边也相等.简称“等角对等边”.说明:三角形的“两边相等”和“两角相等”都是指在同一个三角形中才能得到“等边对等角”及“等角对等边”.“等边对等角”是性质,“等角对等边”是判定方法.知识拓展如果一个三角形一边上的高、中线和这条边所对的角的平分线中有任意两条线段互相重合,那么这个三角形就是等腰三角形,这种方法是补充的一种方法,可以帮助我们解题时找思路,而在实际的解题过程中往往要转化为判定方法来解决.线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质也可以判断相等,从而进一步说明三角形是等腰三角形.思路二环节一:等腰三角形的判定方法问题1:你会画等腰三角形吗?可以让学生以小组为单位进行讨论如何画一个等腰三角形.学生可能会说在画出的三角形中使两边相等,总结:等腰三角形的判定方法1:有两边相等的三角形是等腰三角形.问题2:有两边相等的三角形是等腰三角形,那么有没有其他的画等腰三角形的方法?若学生回答可以画三角形,使得有两个角相等,引导学生思考问题3;若学生不能想到两角相等,则可以引导学生回忆等腰三角形的性质.问题3:三角形中的两个角相等,这个三角形是等腰三角形吗?为什么?环节二:实验实验目的:画一个三角形,使得其中的两个角相等,剪下来观察是不是等腰三角形.【课件3】作法:(1)画一条线段BC;(2)以BC为始边,分别以点B和点C为顶点,在BC的同侧,画两个相等的角;(3)两角终边的交点为点A,那么,在ABC中,=;(4)找出BC的中点D,连接AD,那么AD是ABC的线;(5)沿AD对折,你有什么新发现吗?请把你的新发现记录下来:;(6)与同学们分享一下你的新发现;(7)得出结论:.结论:等腰三角形的判定方法2:如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.其中,两个相等的角所对的边相等(简称“等角对等边”).如图所示,在ABC中,若B=C,则AB=AC.你能证明这个命题成立吗? 教师引导学生加以证明,一名同学板演过程,教师讲评.2.等边三角形的判定定理过渡语我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形,那么怎样判定一个三角形是等边三角形呢?探究1:如图所示,ABC中,如果A=B=C,那么ABC是什么三角形? 等边三角形.为什么?A=B=C,AB=BC=CA(等角对等边).归纳:等边三角形的判定方法1:三个角都相等的三角形是等边三角形.探究2:ABC中,如果AB=AC,那么ABC还需添加一个什么条件,才能使ABC为等边三角形?有一个角为60.等边三角形的判定方法2:有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.说明:先独立猜想,然后以小组为单位对本组成员的所有猜想通过画图进行验证.知识拓展在判断一个三角形是不是等边三角形时,我们可从边或角的角度去判断,对于“有一个角是60的等腰三角形是等边三角形”在使用时应注意,其前提条件必须是“等腰三角形”,此时,无论60是顶角还是底角,都可以说明三角形是等边三角形.活动二:判定定理的应用过渡语刚才通过探究,我们掌握了等腰三角形的判定方法,利用等腰三角形的判定方法我们可以识别一个三角形是不是等腰三角形,还可以利用它解决一些其他的问题.1.【课件4】求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.引导学生根据命题画出图形,利用角平分线的性质及“等角对等边”来证明.20 / 20