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中考数学精学巧练备考秘籍第5章图形的性质第22课时全等三角形【精学】考点一、全等三角形 1、全等三角形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。2、全等三角形的表示和性质全等用符号“”表示，读作“全等于”。如ABCDEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。如图27，ABCA BC，则有A、B、C的对应点A、B、C；AB、BC、CA的对应边是AB、BC、CA。A，B，C的对应角是A、B、C。ABAB，BCBC，CACA；AA， BB，CC注意：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）考点二、全等变换只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括以下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。【巧练】题型一、全等三角形的性质和判定例1（20xx宜昌）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：ACBD；AO=CO=AC；ABDCBD，其中正确的结论有（）A0个 B1个 C2个 D3个【答案】D【分析】先证明ABD与CBD全等，再证明AOD与COD全等即可判断【解答】解：在ABD与CBD中，ABDCBD（SSS），故正确；ADB=CDB，在AOD与COD中，AODCOD（SAS），AOD=COD=90，AO=OC，ACDB，故正确；故选D【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明ABD与CBD全等和利用SAS证明AOD与COD全等题型二、寻求全等条件例2（20xx莆田）如图，AEDF，AE=DF，要使EACFDB，需要添加下列选项中的（）AAB=CD BEC=BF CA=D DAB=BC【答案】A【分析】添加条件AB=CD可证明AC=BD，然后再根据AEFD，可得A=D，再利用SAS定理证明EACFDB即可【解答】解：AEFD，A=D，AB=CD，AC=BD，在AEC和DFB中，EACFDB（SAS），故选：A【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角题型三、角分线定理与全等三角形例3（20xx怀化）如图，OP为AOB的角平分线，PCOA，PDOB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（）APC=PD BCPD=DOP CCPO=DPO DOC=OD【答案】B【分析】先根据角平分线的性质得出PC=PD，再利用HL证明OCPODP，根据全等三角形的性质得出CPO=DPO，OC=OD【解答】解：OP为AOB的角平分线，PCOA，PDOB，垂足分别是C、D，PC=PD，故A正确；在RtOCP与RtODP中，OCPODP，CPO=DPO，OC=OD，故C、D正确不能得出CPD=DOP，故B错误故选B【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等也考查了全等三角形的判定与性质，得出PC=PD是解题的关键【限时突破】1.（20xx浙江义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是PRQ的平分线此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得ABCADC，这样就有QAE=PAE则说明这两个三角形全等的依据是（ ）ASAS BASA CAAS DSSS2（20xx怀化）如图，OP为AOB的角平分线，PCOA，PDOB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（）APC=PD BCPD=DOP CCPO=DPO DOC=OD3（20xx贵阳）如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使ADFCBE，还需要添加的一个条件是（）AA=C BD=B CADBC DDFBE4.（2016四川省市）如图，ABCABC，其中A=36，C=24，则B= 5.（20xx河北）（本小题满分9分）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC.（1）求证：ABCDEF；（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.6.（20xx湖南怀化）如图，已知AD=BC，AC=BD（1）求证：ADBBCA；（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由7（2016四川省市）如图，四边形ABCD是菱形，CEAB交AB的延长线于点E，CFAD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE8.(20xx湖北襄阳)(本小题满分6分)如图，在ABC中AD平分BAC，且BD=CD，DEAB于点E，DFAC于点F(1)求证：AB=AC； (2)若AD=2，DAC=30，求AC的长【答案解析】1.【答案】D2.【分析】先根据角平分线的性质得出PC=PD，再利用HL证明OCPODP，根据全等三角形的性质得出CPO=DPO，OC=OD【解答】解：OP为AOB的角平分线，PCOA，PDOB，垂足分别是C、D，PC=PD，故A正确；在RtOCP与RtODP中，OCPODP，CPO=DPO，OC=OD，故C、D正确不能得出CPD=DOP，故B错误故选B【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等也考查了全等三角形的判定与性质，得出PC=PD是解题的关键3.【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当D=B时，ADFCBE【解答】解：当D=B时，在ADF和CBE中，ADFCBE（SAS），故选：B【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键4.【答案】120考点：全等三角形的性质5.【答案】(1)详见解析；（2）ABC=DEF，ACB=DFE,理由见解析.【解析】试题分析：(1)理用SSS即可判定ABCDEF；（2）ABDE,ACDF,由全等三角形的性质可得ABC=DEF，ACB=DFE,根据平行线的性质即可得结论.试题解析：(1)证明：BF=EC，BF+CF=CF+CE，BC=EF AB=DE，AC=DF ABCDEF(SSS)ABDE,ACDF,理由如下，ABCDEF，ABC=DEF，ACB=DFE,ABDE,ACDF.考点：全等三角形的判定及性质；平行线的判定.6.【答案】(1)详见解析；（2）OA=OB，理由详见解析.【解析】试题分析：（1）根据SSS定理推出全等即可；（2）根据全等得出OAB=OBA，根据等角对等边得出即可试题解析：（1）证明：在ADB和BCA中，AD=BC,AB=BA,BD=AC，ADBBCA（SSS）；（2）解：OA=OB，理由是：ADBBCA，ABD=BAC，OA=OB考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定考点：全等三角形的判定及性质；平行线的判定.7.【答案】证明见解析【解析】试题分析：连接AC，根据菱形的性质可得AC平分DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明RtCDFRtCBE，即可得出DF=BE试题解析：连接AC，四边形ABCD是菱形，AC平分DAE，CD=BC，CEAB，CFAD，CE=FC，CFD=CEB=90在RtCDF与RtCBE中，CD=CB，CF=CE，RtCDFRtCBE（HL），DF=BE考点：1菱形的性质；2全等三角形的判定与性质8.【答案】（1）详见解析；（2）4.【解析】试题分析：(1)根据角平分线的性质可得DE=DF，再根据HL证明；根据全等三角形的性质可得，即可证得AB=AC；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，在RtADC中，AD=2，DAC=30，即可求得AC的长试题解析：(1)证明：AD平分BAC，DEAB，DFAC，DE=DF在RtADC中，考点：角平分线的性质；全等三角形的判定及性质；直角三角形的性质.7 / 7