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2019-2020 年高三上学期期初分班教学测试理科数学试题 含答案 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得分 一、选择题 2执行如图所示的程序框图,则输出的的值为 ( ) 开始 是 否 输出 k 结束 s100? k=k1 s=s+2s k=0 s=0 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 3一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何的体积为 ( ) (A) (B) (C) (D) 4在ABC 中,C =90,B =30,AC=1,M 为 AB 中点,将ACM 沿 CM 折起, 使 A、B 间的距离为 ,则 M 到面 ABC 的距离为( ) (A) (B) (C)1 (D) 5椭圆的左、右焦点分别为 F1、F 2,P 是椭圆上的一点, ,且,垂足为,若四边形为平行 四边形,则椭圆的离心率的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) 6如图,已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCB-A1B1C1D1的内切球,则平面 ACD1截球 O 的截面面积为( ) (A) (B) (C) ( D) 7已知服从正态分布 N(,)的随机变量在区间(,) , (,) ,和(,)内取值的概率分 别为 68.3%,95.4%,和 99.7%.某校为高一年级 1000 名新生每人定制一套校服,经统 计,学生的身高(单位:cm)服从正态分布(165,5 2) ,则适合身高在 155175cm 范 围内的校服大约要定制( ) A. 683 套 B. 954 套 C. 972 套 D. 997 套 8的二项展开式中,项的系数是( ) A. 45 B. 90 C. 135 D. 270 9投掷一枚骰子,若事件 A=点数小于 5,事件 B=点数大于 2,则 P(B|A)= ( ) A. B. C. D. 10已知某一随机变量 X 的概率分布如下,且 E(X)=6.9,则 a 的值为 ( ) X 4 a 9 P m 0.2 0.5 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 11函数的图象是( ) 12函数是定义在上的偶函数,且对任意的 , 都有.当时,.若直线与函数的图象有两 个不同的公共点,则实数的值为( ) A. B. C. 或 D. 或 第 II 卷(非选择题) 评卷人 得分 二、填空题 13设集合,如果满足:对任意,都存在,使得,那么称为集合的一个聚点,则在下列 集合中:(1) ;(2);(3);(4),以为聚点的集合有 (写出所有你认为正确的结论的序号) 14若复数(是虚数单位) ,则的模= . 15电脑系统中有个“扫雷”游戏,要求游戏者标出所有的雷,游戏规则是:一个方块 下面有一个雷或没有雷,如果无雷,掀开方块下面就会标有数字(如果数字是 0,常 省略不标) ,此数字表明它周围的方块中雷的个数(至多八个) ,如图甲中的“3”表示 它的周围八个方块中有且仅有 3 个雷.图乙是张三玩的游戏中的局部,根据图乙中信息, 上方第一行左起七个方块中(方块上标有字母) ,能够确定下面一定没有雷的方块有 ,下面一定有雷的方块有 .(请填入所有选定方块上的字母) 图甲 图乙 16设 ,若,则 评卷人 得分 三、解答题 17在ABC 中,分别为三个内角的对边,锐角满足 ()求的值; () 若,当取最大值时,求的值 18如图,在三棱锥 PABC 中,PAPBAB2,BC3,ABC90 , 平面 PAB 平面 ABC,D、E 分别为 AB、AC 中点 P A B C ED ()求证:DE平面 PBC; ()求证:ABPE; ()求二面角 APBE 的大小 19已知函数和点,过点作曲线的两条切线、 ,切点分别为、 ()设,试求函数的表达式; ()是否存在,使得、与三点共线若存在,求出的值;若不存在,请说明理由 ()在()的条件下,若对任意的正整数,在区间内总存在个实数, ,使得不等式 成立,求的最大值 20已知圆的参数方程为(为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系,圆的极坐标方程为 ()将圆的参数方程化为普通方程,将圆的极坐标方程化为直角坐标方程; ()圆、是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由 21 在对某校高一学生体育选修项目的一次调查中,共调查了 160 人,其中女生 85 人,男 生 75 人.女生中有 60 人选修排球,其余的人选修篮球;男生中有 20 人选修排球,其 余的人选修篮球.(每人必须选一项,且只能选一项) 根据以上数据建立一个 22 的列联表; 能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为性别与体育选修项目有关? 参考公式及数据:,其中. K2k 0 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.32 3 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 22下面四个图案,都是由小正三角形构成,设第 n 个图形中所有小正三角形边上黑 点的总数为. 图 1 图 2 图 3 图 4 (1)求出,; (2)找出与的关系,并求出的表达式; (3)求证: ().36251)(37)(315)2(3)1( nffff 参考答案 1A 【解析】 试题分析:因为, , ,222|lg()x|0|0|2Nxyxx 所以,=,选 A。 考点:函数的定义域、值域,集合的运算。 点评:简单题,为进行集合的运算,需要首先确定集合中的元素。当实数范围较复杂时, 可借助于数轴处理。 2A 【解析】 试题分析:第一次运行,是,s=1,k=1; 第二次运行,是,s=3,k=2; 第三次运行,是,s=11,k=3; 第四次运行,是,s=11+,k=4; 第五次运行,否,输出 k=4,故选 A。 考点:算法程序框图 点评:简单题,解答思路明确,逐次运行程序求得 k。 3D 【解析】 试题分析:观察三视图知,该几何体是半个圆锥与一个四棱锥的组合体。因为,其侧视图 是一个边长为 2 的等边三角形,所有,几何体高为。圆锥底半径为 1,四棱锥底面边长为 2,故其体积为, ,选 D。 考点:三视图,体积计算。 点评:简单题,三视图问题,关键是理解三视图的画法规则,应用“长对正,高平齐,宽 相等” ,确定数据。认识几何体的几何特征,是解题的关键之一。 4A 【解析】 试题分析:由 已 知 得 AB=2, AM=MB=MC=1, BC=, 由 AMC 为 等 边 三 角 形 , 取 CM 中 点 , 则 AD CM, AD 交 BC 于 E, 则 AD=, DE=, CE= 折 起 后 , 由 BC2=AC2+AB2, 知 BAC=90, 又 cos ECA=, AE2=CA2+CE2-2CACEcos ECA=, 于 是 AC2=AE2+CE2 AEC=90 AD2=AE2+ED2, AE 平 面 BCM, 即 AE 是 三 棱 锥 A-BCM 的 高 , AE=。 设 点 M 到 面 ABC 的 距 离 为 h, S BCM=, 由 VA-BCM=VM-ABC, 可 得 1h, h=。 故 选 A 考点:折叠问题,体积、距离的计算。 点评:中档题,折叠问题,要特别注意折叠前后“变”与“不变”的几何量。本题利用 “等体积法” ,确定了所求距离。 5A 【解析】 试题分析:因 为 为 平 行 四 边 形 , 对 边 相 等 所 以 , PQ=F1F2, 即 PQ=2C 设 P( x1, y1) P 在 X 负 半 轴 , x1= 2c a, 所 以 2c2+ac a2 0, 即 2e2+e 1 0, 解 得 e , 又 椭 圆 e 取 值 范 围 是 ( 0, 1) , 所 以 , e1,选 A。 考点:椭圆的几何性质 点评:简单题,注意从平行四边形入手,得到线段长度之间的关系,从而进一步确定得到 a,c 的不等式,得到 e 的范围。 6A 【解析】 试题分析:根据正方体的几何特征知,平 面 ACD1 是 边 长 为 的 正 三 角 形 , 且 球 与 与 以 点 D 为 公 共 点 的 三 个 面 的 切 点 恰 为 三 角 形 ACD1 三 边 的 中 点 , 故 所 求 截 面 的 面 积 是 该 正 三 角 形 的 内 切 圆 的 面 积 , 则 由 图 得 , ACD1 内 切 圆 的 半 径 是 tan30=, 则 所 求 的 截 面 圆 的 面 积 是 =, 故 选 A 考点:正 方 体 及 其 内 接 球 的 几 何 特 征 点评:中档题,关 键 是 想 象 出 截 面 图 的 形 状 , 利 用 转 化 与 化 归 思 想 , 将 空 间 问 题 转 化 成 平 面 问 题 。 7B 【解析】 试题分析:由于,服从正态分布 N(,)的随机变量在区间(,) , (,) ,和(,)内取值的概 率分别为 68.3%,95.4%,和 99.7%.所以,当学生的身高(单位:cm)服从正态分布 (165,5 2) ,则适合身高在 155175cm 范围内的校服大约要定制套数为 100095.4%=954, ,故选 B。 考点:正态分布 点评:简单题,根据随机变量在区间(,)内取值的概率为 95.4%,确定定制套数。 8C 【解析】 试题分析:的二项展开式中, ,令 r=4 得,项的系数是=135,选 C。 考点:二项展开式的通项公式 点评:简单题,二项式展开式的通项公式是, 。 9D 【解析】 试题分析:投掷一枚骰子,基本事件总数为 6. 由公式及题意得,,故选 D. 考点:条件概率 点评:简单题,利用条件概率的计算公式。 10B 【解析】 试题分析:因为,在分布列中,各变量的概率之和为 1. 所以,m=1-(0.2+0.5)=0.3,由数学期望的计算公式,得, ,a 的值为 6,故选 B。 考点:随即变量分布列的性质,数学期望。 点评:小综合题,在分布列中,各变量的概率之和为 1. 11C 【解析】 试题分析:函数与图象配伍问题,要注意定义域、值域、奇偶性(对称性) 、单调性等。 该函数是奇函数,图象关于原点对称。所以,选 C。 考点:函数的图象 点评:简单题,函数与图象配伍问题,要注意定义域、值域、奇偶性(对称性) 、单调性等。 12C 【解析】 试题分析:因为,函数是定义在上的偶函数,且对任意的 , 都有.所以,函数周期为 2,又 当时,.结合其图象及直线可知,直线与函数的图象有两个不同的公共点,包括相交、一切 一交等两种情况,结合选项,选 C。 考点:函数的奇偶性、周期性,函数的图象。 点评:中档题,解函数不等式,往往需要将不等式具体化或利用函数的图象,结合函数的 单调性。总之,要通过充分认识函数的特征,探寻解题的途径。 13 (2) (3) 【解析】 试题分析:( 1) 对 于 某 个 a 1, 比 如 a=0.5, 此 时 对 任 意 的 x Z+ Z-, 都 有 |x-0|=0 或 者 |x-0| 1, 也 就 是 说 不 可 能 0 |x-0| 0.5, 从 而 0 不 是 Z+ Z-的 聚 点 ; ( 2) 集 合 x|x R, x 0, 对 任 意 的 a, 都 存 在 x=( 实 际 上 任 意 比 a 小 得 数 都 可 以 ) , 使 得 0 |x|= a, 0 是 集 合 x|x R, x 0的 聚 点 ; ( 3) 集 合 中 的 元 素 是 极 限 为 0 的 数 列 , 对 于 任 意 的 a 0, 存 在 n , 使 0 |x|= a, 0 是 集 合 的 聚 点 ( 4) 集 合 中 的 元 素 是 极 限 为 1 的 数 列 , 除 了 第 一 项 0 之 外 , 其 余 的 都 至 少 比 0 大 , 在 a 的 时 候 , 不 存 在 满 足 得 0 |x| a 的 x, 0 不 是 集 合 的 聚 点 故 答 案 为 ( 2) ( 3) 考点:新定义问题,集 合 元 素 的 性 质 , 数 列 的 性 质 。 点评:中档题,理解新定义是正确解题的关键之一,能正确认识集合中元素-数列的特征, 是正确解题的又一关键。 14 【解析】 试题分析:因为, ,所以,的模=。 考点:复数的代数运算,复数模的计算。 点评:简单题,解答本题可以先计算 z,再求|z|,也可以利用复数模的性质。 15BDEF(3 分);AC(2 分) 【解析】 试题分析:图乙中最左边的“1”和最右边的“1” ,可得如下推断: 由第三行最左边的“1” ,可得它的上方必定是雷,最右边 1 的右边是雷,所以,E,F 下均 无雷。 结合 B 下方的“3”周围有且仅有 3 颗雷,C 下 1,C 下一定有雷,B 一定没雷,A 有一个雷; 同理 D 下方是 1,1 的周围只有一颗雷,可得 D 下没有雷; 综上所述能够确定下面一定没有雷的方块有 BDEF,下面一定有雷的方块有 AC。 考点:新定义问题,推理。 点评:中档题,注意仔细阅读题意,理解新定义内容,推断结论。 161 【解析】 试题分析:因为,=,所以, 。 3(1)lg0,(1)(01,.fffa 考点:定积分计算,分段函数,对数函数的性质。 点评:小综合题,本题思路清晰,通过计算定积分确定得到函数的解析式,进一步计算函 数值。 17(1). (2) .61306310cos()cossin3322AA 【解析】 试题分析:(1)锐角 B 满足 1 分 2 cos()sincossin2CC 5 分 (2) , 8 分 10 分3,3acacac当 且 仅 当 时 , 取 到 最 大 值 2263bb取 到 最 大 值 时 , osA= 12 分61306310cos()cossin3322AA 考点:三角函数同角公式,和差倍半的三角函数,余弦定理的应用,基本不等式的应用。 点评:中档题,本题较为典型,将三角形问题与三角函数综合考查。本题应用和差倍半的 三角函数公式化简求值,应用基本不等式确定 ac 的最大值。 18 ()由 D、E 分别为 AB、AC 中点,得 DEBC 可得 DE平面 PBC ()连结 PD,由 PA=PB, 得 PD AB DEBC , BC AB, 推出 DE AB AB平面 PDE,得到 ABPE ()证得 PD 平面 ABC 。 以 D 为原点建立空间直角坐标系。 二面角的 APBE 的大小为 【解析】 试题分析:()D、E 分别为 AB、AC 中点,DEBC DE 平面 PBC,BC 平面 PBC, DE平面 PBC ()连结 PD, PA=PB, PD AB DEBC , BC AB, DE AB 又 AB平面 PDE, PE 平面 PDE, ABPE 6 分 ()平面 PAB 平面 ABC,平面 PAB 平面 ABC=AB,PD AB, PD 平面 ABC 7 分 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 P A B C ED x y z B(1,0,0),P(0,0,),E(0,0) , =(1,0, ), =(0, , ) 设平面 PBE 的法向量, 令 得 DE平面 PAB, 平面 PAB 的法向量为 设二面角的 APBE 大小为 由图知, , , 二面角的 APBE 的大小为 考点:立体几何中的平行关系、垂直关系,角的计算,空间向量的应用。 点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、 体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法” 。利用几何法,要遵循“一作、二 证、三计算”的步骤,本题利用空间向量,简化了证明及计算过程。 19 ()函数的表达式为 ()存在,使得点、与三点共线,且 ()的最大值为 【解析】 试题分析:()设、两点的横坐标分别为、 , , 切线的方程为:, 又切线过点, 有,即, (1) 同理,由切线也过点,得 (2) 由(1) 、 (2) ,可得是方程的两根, ( * ) 2121 )()( xttxxMN , 把( * )式代入,得, 因此,函数的表达式为 ()当点、与共线时, , ,即, 化简,得, , (3) 把(*)式代入(3) ,解得 存在,使得点、与三点共线,且 ()解法:易知在区间上为增函数, , 则 )64()()()2(21 ngmagagm 依题意,不等式对一切的正整数恒成立, ,)(0)n640( 022 即对一切的正整数恒成立 , ,31616)4()n6(122 由于为正整数, 又当时,存在, ,对所有的满足条件 因此,的最大值为 解法:依题意,当区间的长度最小时, 得到的最大值,即是所求值 ,长度最小的区间为 当时,与解法相同分析,得, 解得 后面解题步骤与解法相同(略) 考点:导数的几何意义,应用导数研究函数的单调性及极(最)值,不等式恒成立问题。 点评:难题,切线的斜率等于函数在切点的导函数值。不等式恒成立问题,常常转化成求 函数的最值问题。 (III)小题,通过构造函数,研究函数的单调性、极值(最值) ,进一步 确定得到参数的范围。 20 () 。 () 。 【解析】 试题分析:()由得 x2y 21, 又2cos()cossin, 2cossin.x 2y 2xy0, 即 5 分 ()圆心距, 得两圆相交,由 得,A(1,0),B, 10 分 考点:极坐标方程、参数方程与普通方程的互化,参数方程的应用。 点评:中档题,参数方程化为普通方程,常用的“消参”方法有,代入消参、加减消参、 平方关系消参等。利用参数方程,往往会将问题转化成三角函数问题,利用三角公式及三 角函数的图象和性质,化难为易。极坐标方程化为普通方程,常用的公式有, ,等。 21(1)根据题中数据,建立一个 22 的列联表如下: 女生 男生 合计 选排球 60 20 80 选篮球 25 55 80 合计 85 75 160 (2)能在犯错误的概率不超过 0.001 的情况下认为性别与体育选修项目有关 【解析】 试题分析:(1)根据题中数据,建立一个 22 的列联表如下: 女生 男生 合计 选排球 60 20 80 选篮球 25 55 80 合计 85 75 160 (2) , 22160(5)30.7458K 且, , 所以能在犯错误的概率不超过 0.001 的情况下认为性别与体育选修项目有关 考点:卡方检验 点评:简单题,此类问题要注意理解列联表的应用,运用“卡方公式”计算并与数表比较。 难度不大,公式也不要求记忆。 22 (1)12,27,48,75. (2) , (3)利用“放缩法” 。 1)(1)(12)(312nnnnf 【解析】 试题分析:(1)由题意有 , , , , 2 分 (2)由题意及(1)知, , 4 分36)(23)(1( nfnff 即, 所以, , , , 5 分 将上面个式子相加,得: ()1623(1)3()fnn 6 分 又,所以 7 分 (3) 9 分 1)(1)(12)(12nnnnf 当时, ,原不等式成立 10 分 当时, ,原不等式成立 11 分365945)2(3)1(ff 当时, 12)(37)(1)()(3 nffff )5143521 , 原不等式成立 13 分 综上所述,对于任意,原不等式成立 14 分 考点:归纳推理,不等式的证明, “裂项相消法” 。 点评:中档题,本题综合性较强,注意从图形出发,发现规律,确定“递推关系” 。不等式 的证明问题,往往需要先放缩,后求和,再证明。
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