2019-2020年高三数学第四次模拟考试试题（含解析）.doc

2019-2020年高三数学第四次模拟考试试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.函数的最小正周期为 . 【知识点】三角函数的周期性及其求法.【答案解析】解析 ：解：函数的最小正周期为.【思路点拨】根据的周期等于，求得结果2.已知复数满足（为虚数单位），则的模为 . 【知识点】复数相等的充要条件【答案解析】解析 ：解：复数满足（为虚数单位），故答案为：【思路点拨】先解出复数的式子，再利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，进行运算【典型总结】本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数3.抛物线的准线方程是【知识点】抛物线的简单性质【答案解析】解析 ：解：由题得，所以：所以，故准线方程为：故答案为.【思路点拨】先把其转化为标准形式，求出即可得到其准线方程4集合【知识点】集合的交集与并集.【答案解析】解析 ：解：因为,所以，则.所以,故答案为.【思路点拨】由已知可确定两个集合中必有2这个元素，所以由可确定，然后就可以确定的值.5.根据如图所示的伪代码,当输入的值为3时,最后输出的S的值Read aS0I1While I3 SSa aa2II1End WhilePrint S第5题为 .【知识点】根据伪代码求输出结果.【答案解析】21解析 ：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i3时推出循环此时S=3+6+12=21，故输出的S值为21故答案为：21【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i3时推出循环，得到S的值即可6.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 . 【知识点】数据的方差;茎叶图.【答案解析】5解析 ：解：根据茎叶图可知这组数据的平均数是，这组数据的方差是，故答案为：【思路点拨】根据茎叶图所给的数据，做出这组数据的平均数，把所给的数据和平均数代入求方差的个数，求出六个数据与平均数的差的平方的平均数就是这组数据的方差7某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是 . 【知识点】古典概型及其计算公式的应用.【答案解析】解析 ：解：某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，这4名应聘者被录用的机会均等，A，B两人都不被录用的概率为，A，B两人中至少有1人被录用的概率故答案为：【思路点拨】先利用排列组织知识求出甲、乙两人都不被录用的概率，再用间接法求出甲、乙两人中至少有1人被录用的概率8已知点P (x，y) 满足条件y的最大值为8，则 .【知识点】简单线性规划【答案解析】-6解析 ：解：画出可行域将变形为，画出直线平移至点时，纵截距最大，最大，联立方程得，代入 +3()8，故答案为.【思路点拨】画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点时，纵截距最大，最大9.在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点.若, 则AB的长为 . 【知识点】向量的运算法则;数量积运算法;一元二次方程的解法.【答案解析】解析 ：解：，0，解得故答案为：【思路点拨】利用向量的运算法则和数量积运算法则即可得出10.已知正四面体的棱长为，则它的外接球的表面积的值为 【知识点】球内接多面体【答案解析】解析 ：解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：，棱长为的正四面体的外接球半径为所以外接球的表面积为，故答案为.【思路点拨】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径,可求外接球的表面积11已知函数是定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集是_ 【知识点】函数奇偶性的性质【答案解析】解析 ：解：当x0时，与题意不符，当时，又是定义在上的奇函数，不等式的解集是故答案为【思路点拨】是指定义在R上的函数，而题目中只给出了的表达式，故先求出当时，的解析式，后再可解此不等式C y x OAB（第12题） 12如图，在平面直角坐标系x O y中，点A为椭圆E ：的左顶点，B、C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且OAB30，则椭圆E的离心率等于 【知识点】椭圆的对称性以及简单性质.【答案解析】解析 ：解：AO是与X轴重合的，且四边形OABC为平行四边形,BCOA，B、C两点的纵坐标相等，B、C的横坐标互为相反数B、C两点是关于Y轴对称的由题知：OA=a四边形OABC为平行四边形，所以BC=OA=a可设B,C代入椭圆方程解得：,设D为椭圆的右顶点，因为OAB30，四边形OABC为平行四边形所以COD=30,对C点：tan30=解得：a=3b根据：a2=c2+b2得：a2=c2+,e2=,e=.故答案为：【思路点拨】首先利用椭圆的对称性和OABC为平行四边形，可以得出B、C两点是关于Y轴对称，进而得到BC=OA=a；设B,C，从而求出|y|，然后由OAB=COD=30，利用tan30=，求得a=3b，最后根据a2=c2+b2得出离心率13已知实数满足，则的最大值为 【知识点】基本不等式的应用.【答案解析】4解析 ：解：，,则解得：的最大值为4,故答案为：4【思路点拨】先对等式进行变形化简，然后利用进行求出的范围，即可求出所求14数列满足,其中为常数若实数使得数列为等差数列或等比数列，数列的前项和为，则满足 【知识点】数列的判定；等比数列的前n项和.【答案解析】10解析 ：解：若数列为等差数列，则得由=12-4=-30知方程无实根，故不存在实数，（3分）若数列为等比数列得，解得=1则,由累加法得：解得,显然，当n=1时也适合，故故存在实数=1，使得数列为等比数列，其通项公式为,故，解得，则满足10，故答案为10.【思路点拨】进行分类考虑：若数列为等差数列，则得由=12-4=-30知方程无实根，故不存在实数，（3分）若数列为等比数列得，解得=1则其通项公式为,再由故，解得，可得结论.二、解答题：（本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15(本题满分14分) 如图所示,已知的终边所在直线上的一点的坐标为,的终边在第一象限且与单位圆的交点的纵坐标为.图(15) 求的值； 若,求.【知识点】任意角的三角函数的定义；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数【答案解析】 解析 ：解：由三角函数的定义知.又由三角函数线知,为第一象限角，.(2) ， 又，【思路点拨】（）直接根据三角函数的定义，求出，然后再求；（）由，求出的正弦值，根据，求出APBCFED16. （本题满分14分）如图， ABCD为矩形，CF平面ABCD，DE平面ABCD，AB=4a，BC= CF=2a， P为AB的中点.（1）求证：平面PCF平面PDE；（2）求四面体PCEF的体积.【知识点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积.【答案解析】（1）见解析（2）a3解析 ：解：（1）因为ABCD为矩形，AB=2BC, P为AB的中点，所以三角形PBC为等腰直角三角形，BPC=45. 2分同理可证APD=45.所以DPC=90，即PCPD. 3分又DE平面ABCD，PC在平面ABCD内，所以PCDE. 4分 因为DEPD=D ，所以PC PDE . 5分又因为PC在平面PCF内，所以平面PCF平面PDE. 7分（2）因为CF平面ABCD，DE平面ABCD，所以DECF又DCCF，所以SCEFDCCF4a2a4a2在平面ABCD内，过P作PQCD于Q，则PQBC，PQ=BC=2a因为BCCD，BCCF，所以BC平面CEF，即PQ平面CEF，亦即P到平面CEF的距离为PQ=2aVPCEFVPCEFPQSCEF4a22aa3（注：本题亦可利用VPCEFVBCEFVEBCFVDBCFDCBCCFa3求得）【思路点拨】（1）证明平面PCF内的直线PC，垂直平面PDE内的两条相交直线DE，PD，就证明了平面PCF平面PDE；（2）说明P到平面PCEF的距离为PQ=2a，求出SCEFDCCF的面积，然后求四面体PCEF的体积17(本题满分14分)已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知圆,直线.试证明当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线；椭圆的标准方程【答案解析】（1）（2）解析 ：解：解: （1）由,得,则由, 解得F（3,0） 2分 设椭圆的方程为, 则,解得所以椭圆的方程为. 6分（2）因为点在椭圆上运动,所以, 8分从而圆心到直线的距离.所以直线与圆恒相交, 10分又直线被圆截得的弦长为12分由于,所以,则,即直线被圆截得的弦长的取值范围是 14分【思路点拨】（1）可将直线改写为由于kR故即F（3，0）然后再根据题中条件即可求出椭圆C的标准方程（2）要证明当点在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交只需证明圆心到直线的距离.而要求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围,可利用圆中的弦长公式求出弦长的表达式,再结合参数的取值范围即可得解18（本题满分16分） 如图，直角三角形ABC中，B，AB1，BC点M,N分别在边AB和AC 上(M点和B点不重合)，将AMN沿MN翻折，AMN变为MN，使顶点落A AC NMq B 在边BC上(点和B点不重合).设AMN(1) 用表示线段的长度，并写出的取值范围；(2) 求线段长度的最小值 【知识点】解三角形的实际应用【答案解析】(1) , (2) 解析 ：解：解：（1）设，则2分在RtMB中，4分5分点M在线段AB上，M点和B点不重合，点和B点不重合，7分(2) 在AMN中，由AMN=，可得ANM= ,根据正弦定理得：，令 ，当且仅当时，有最大值,则=60时，AN有最小值为，即线段长度的最小值为【思路点拨】（1）设，则，在RtMBA中，利用三角函数可求；（2）求线段AN长度的最小值，即求线段AN长度的最小值，再利用三角恒等变换化简，从而求最值19设函数（），(1) 若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；(3) 对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”设，试探究与是否存在 “分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断【答案解析】（1）（2）（3）解析 ：解：（1）因为，所以，令得：，此时，2分则点到直线的距离为，即，解之得4分(2)解法一 不等式（x-1）2f（x）的解集中的整数恰有3个，等价于（1-a2）x2-2x+10恰有三个整数解，故1-a20，令h（x）=（1-a2）x2-2x+1，由h（0）=10且h（1）=-a20（a0），所以函数h（x）=（1-a2）x2-2x+1的一个零点在区间（0，1），则另一个零点一定在区间（-3，-2），这是因为此时不等式解集中有-2，-2，0恰好三个整数解，故h（-2）0，h（-3）0，解之得解法二不等式（x-1）2f（x）的解集中的整数恰有3个，等价于（1-a2） x2-2x+10 恰有三个整数解，故 1-a20，即 a1，（1-a2） x2-2x+1=（1-a）x-1（1+a）x-10，所以，又因为01，所以32，解之得（3）设，则所以当时，；当时，因此时，取得最小值，则与的图象在处有公共点12分设与存在 “分界线”，方程为，由，对xR恒成立，则在xR恒成立所以成立，因此 k=（10分）下面证明恒成立设，则所以当时，G（x）0；当 x时，G（x）0因此 x= 时，G（x）取得最大值0，则成立故所求“分界线”方程为：【思路点拨】（1）利用点到直线的距离公式解决即可（2）关于由不等式解集整数的个数，然后求未知量取值范围的题目，可利用恒等变换，把它转化为求函数零点的问题，即可求解；（3）设F(x)f(x)g(x)x2elnx，利用导数知识判断单调性，求出时，F（x） 取得最小值0设f（x）与g（x）存在“分界线”，方程为，由 ，对xR恒成立，求得k=再利用导数证明成立，从而得到所求“分界线”方程20（本小题满分16分）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（）.（1）求数列的通项公式；（2）试确定的值，使得数列为等差数列；（3）当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列. 设是数列 的前项和，试求满足的所有正整数.【知识点】等比数列的通项公式；数列的应用【答案解析】（1）（2） (3) 满足题意的正整数仅有.解析 ：解：（1）4分（2）得，所以则由，得7分当时，由，所以数列为等差数列9分（3）因为，可得不合题意，合题意11分当时，若后添入的数，则一定不符合题意，从而必是数列中的一项，则（2+2+2）+()=即13分记则，1+2+2+2=，所以当时，=1+2+2+2+11+2,又则由15分综上可知，满足题意的正整数仅有.16分【思路点拨】（1）由是与的等差中项得到6a3=8a1+a5，根据首项2和公比q，利用等比数列的通项公式化简这个式子即可求出q的值，利用首项和公比即可得到通项公式；（2）由解出bn，列举出b1，b2和b3，要使数列bn为等差数列，根据等差数列的性质可知b1+b3=2b2，把b1，b2和b3的值代入即可求出t的值；（3）显然，可得不合题意，合题意，然后说明即可.