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2 含参量反常积分,本节研究形如,的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积 性。下面只对无穷限积分讨论，无界函数的情 况可类似处理。,都收敛,则它的值是 在区间 上取值的函数,表为,对于含参量反常积分 和函数,则称含参量反常积分 在 上一致收敛于 .,一致收敛的柯西准则:,含参量反常积分 在 上一致收敛的充要,一致收敛的充要条件;,含参量反常积分 在 上一致收敛的充要,条件是:对任一趋于 的递增数列 (其中 ),函数 项级数 在 一致收敛.,魏尔斯特拉斯M判别法:,设有函数 ,使得,魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法,若,一致收敛。,证明,因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西 准则，有,且 收敛，则 关于,从而,魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法,若,一致收敛。,证明,因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西 准则，有,且 收敛，则 关于,从而,例 1 在 内一致收敛,解,因为,而积分 收敛，,所以 在 内一致收敛,狄利克雷判别法;,阿贝耳判别法:,二、一致收敛积分的性质,1. 连续性定理,因为 在 内一致收敛，所以,证明,因此，当 时，,设 在 上连续， 关于 在 上一致收敛，则一元函数 在 上连续。,又 在 上连续，所以 作为 的函数在 连续，于是,从而，当 时，有,定理证毕。,2. 积分顺序交换定理,设 在 上连续， 关于 在 上一致收敛，则 在 可积，并且,3. 积分号下求导的定理,设 在 上连续， 收敛， 关于 在 上一致收敛，则,在 可导，且,证明,因为 在 连续，由连续性定理,在 连续，,沿区间 积分 ，由积分顺序交 换定理，得到,在上式两端对 求导，得,定理证毕。,连续性,即:,可微性,可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算,可以交换.即,可积性,含参量反常积分 在 上一致收敛.,证明反常积分 在 上一致收敛.,证明含参量反常积分,在 上一致收敛.,在 上一致收敛.,证明含参量反常积分,在 上一致收敛 .,例4 证明,证 （1）用分段处理的方法.,因为,例4 计算积分,解,例 5 利用积分号下求导求积分,解 因为,因为,故,由数学归纳法易证,于是,例6 计算积分,解,令,在第二项积分中令,得,故,(2), 含参量反常积分一致收敛的定义;,(1), 含参量反常积分的定义;,(3), 含参量反常积分一致收敛的判别;,一致收敛的柯西准则:,一致收敛的充要条件;,魏尔斯特拉斯M判别法;,阿贝耳判别法;,狄利克雷判别法;,(4), 含参量反常积分的性质;,( i), 连续性;,(ii), 可微性;,(iii), 可积性;,
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