高二数学空间向量在立体几何证明中的应用课件.ppt

空间向量 在立体几何证明中的应用,新登中学高二数学备课组,前段时间我们研究了用空间向量求角(包括线线角、线面角和面面角)、求距离(包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离),今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明问题。,立体几何中的有关证明问题，大致可分为“平行”“垂直”两大类：,平行：线面平行、面面平行,垂直：线线垂直、线面垂直和面面垂直,平行与垂直的问题的证明，除了要熟悉相关的定理之外，下面几个性质必须掌握。,1、已知b，a不在内，如果ab，则a。,2、如果a， a，则。,3、如果ab， a，则b。（课本P22.6）,4、如果a， b， ab，则。,一、 用空间向量处理“平行”问题,M,N,例1.如图：ABCD与ABEF是正方形，CB平面ABEF，H、G分别是AC、BF上的点，且AH=GF. 求证： HG平面CBE.,P,o,z,y,证明：由已知得：AB、BC、BE两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz.,x,设正方形边长为1, AH=FG=a, 则H(0,1- a , a)、 G(1- a , 1- a,0),故 ,而平面CBE的法向量为 (0,1,0), 故 ,而 平面CBE 故 HG平面CBE,R,例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是A1B1和BC上的动点，且A1P=BQ，M是AB1的中点，N是PQ的中点. 求证： MN平面AC.,作PP1AB于P1，作MM1 AB于M1，连结QP1， 作NN1 QP1于N1，连结M1N1,N1,M1,P1,NN1PP1 MM1AA1,z,y,x,o,证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz,设正方形边长为2，又A1P=BQ=2x,则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0) 故N(2-x, 1+x, 1),而M(2, 1, 1),例3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证： 平面A1BD平面CB1D1,于是平面A1BD平面CB1D1,o,z,y,x,证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz,同理可得平面CB1D1的法向量为,则显然有,通过本例的练习，同学们要进一步掌握平面法向量的求法：即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于0，利用解方程组的方法求出平面法向量(在解的过程中可令其中一个未知数为某个数)。,例1、2与例3在利用法向量时有何不同？,例4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点. 求证： 平面AEH平面BDGF,故得平面AEH平面BDGF,o,z,y,x,略证：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz,则求得平面AEF的法向量为,求得平面BDGH的法向量为,显然有,故 平面AEH平面BDGF,二、 用空间向量处理“垂直”问题,F,E,X,Y,Z,例6：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=a，CF=2a 。求证:面AEF面ACF。,A,F,E,C1,B1,A1,C,B,x,z,y,A,F,E,C1,B1,A1,C,B,z,y,不防设 a =2，则A（0，0，0），B（3 ，1，0），C（0，2，0），E（ 3，1，2） ，F（0，2，4），AE=（ 3，1，2）AF=（0，2，4），因为，x轴面ACF，所以可取面ACF的法向量为m=（1，0，0），设n=（x,y,z)是面AEF的法向量，则,x,nAE=3x+y+2z=0,nAF=2y+4z=0,x=0,y= -2z,令z=1得, n=（0，-2，1）,显然有m n=0，即，mn,面AEF面ACF,证明：如图，建立空间直角坐标系A-xyz ，,求证：平面MNC平面PBC；,求点A到平面MNC的距离。,已知ABCD是矩形，PD平面ABCD，PDDCa，AD ，M、N分别是AD、PB的中点。,练习1,X,Y,Z,A,B,C,D,M,G,X,Y,Z,X,Y,Z,X,Z,X,Y,Z,小结：,利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是近年来很“热”的话题，其原因是它把有关的“证明”转化为“程序化的计算” 。本课时讲的内容是立体几何中的证明“线面平行、垂直”的一些例子，结合我们以前讲述立体几何的其他问题(如：求角、求距离等)，大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路”。,利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标。,用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主要工具，故，学会用向量法解立体几何问题是学好立体几何的基础。,作业： 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是A1D1 、 BB1的中点，问:在边CC1上是否存在一点P，使A1C平面EFP？若存在，求出P的位置；若不存在，请说明理由。,2.在四棱锥P-ABCD中，底ABCD是正方形， 且PA=PB=PC= PD=AB=BC= CD =DA, M、N分别 是PA、BD上的 动点， 且PM:MA=BN:ND。问：直线MN与平面PBC有什么关系？请证明你的结论.,