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第六节 微分法在几何上的应用,一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 三、小结,一、空间曲线的切线与法平面,2.求方程： 设空间曲线 的方程,(1)式中的三个函数均可导且不全为零.,考察割线趋近于极限位置切线的过程,上式分母同除以,割线 的方程为,曲线在M处的切线方程：,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.,曲线在处的法平面方程：,解,切线方程,法平面方程,解,解,解,切线方程,法平面方程,（1）空间曲线方程为,法平面方程为,3.特殊情形：,解,切线方程,法平面方程,解,所求切线方程为,法平面方程为,（2）曲线方程为：,切线方程为,法平面方程为,曲线方程为：,1.曲面 上过一点 的所有曲线的切线共面 证明：设曲面方程为,曲线在M处的切向量,在曲面上任取一条通过点M的曲线,二、曲面的切平面与法线,令,则,2.切平面方程 由上面推导得切平面方程为：,法线方程为,曲面在M处的法向量即,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.,解,令,切平面方程,法线方程,解,切平面方程,3.特殊情形： 空间曲面方程形式为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,切平面上点的竖坐标的增量,因为曲面在M处的切平面方程为,解,切平面方程为,法线方程为,解,又点在曲面上,解,设 为曲面上的切点,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）,（当空间曲面方程为 时，求法向量时注意 ）,三、小结,思考题,思考题解答,设切点,依题意知切向量为,切点满足曲面和平面方程,练 习 题,练习题答案,解,切线方程,法平面方程,其中,
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