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理数 课标版,第一节 坐标系,1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换: 的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角 坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.,教材研读,2.极坐标系与极坐标,(1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个 定点 O,叫做极点,自极点O引一条 射线 Ox,叫做极轴;再选定一个 长度单位 、一个 角度单位 (通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐 标系. (2)极坐标 (i)极径:设M是平面内一点,极点O与点M的 距离 |OM|叫做点M的,极径,记为. (ii)极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记 为. (iii)极坐标:有序数对(,)叫做点M的极坐标,记为M(,).,3.极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,),则它们之间 的关系为 注:把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2的整 数倍).一般只要取0,2)就可以了.,4.常见曲线的极坐标方程 (1)圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程: =r(02) . (2)圆心为 ,半径为r的圆的极坐标方程: =2rsin (0) . (3)过极点,倾斜角为的直线的极坐标方程: =(R)或=+( R)或=和=+ . (4)过点(a,0),与极轴垂直的直线的极坐标方程: cos =a . (5)过点 ,与极轴平行的直线的极坐标方程: sin =a(0) .,1.点P的直角坐标为(1,- ),则点P的极坐标为 . 答案 解析 = =2,tan = =- ,因为点P(1,- )在第四象限,所 以= ,所以点P的极坐标为 .,2.曲线=4sin 与=2的交点坐标是 . 答案 或 解析 由 得sin = ,= 或 .,3.在极坐标系中,已知A ,B ,则A、B两点间的距离为 . 答案 6 解析 解法一:(数形结合)在极坐标系中,A、B两点如图所示.|AB|=|OA|+ |OB|=6. 解法二:A ,B 的直角坐标为A ,B,即A(1,- ),B(-2,2 ), |AB|= = =6.,4.(2016北京,11,5分)在极坐标系中,直线cos - sin -1=0与圆=2cos 交于A,B两点,则|AB|= . 答案 2 解析 直线与圆的直角坐标方程分别为x- y-1=0和x2+y2=2x,则该圆的 圆心坐标为(1,0),半径r=1,圆心(1,0)到直线的距离d= =0,所 以AB为该圆的直径,所以|AB|=2.,考点一 极坐标方程与直角坐标方程的互化 典例1 (2015课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x- 1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为= (R),设C2与C3的交点为M,N,求C2 MN的面积.,考点突破,解析 (1)因为x=cos ,y=sin ,所以C1的极坐标方程为cos =-2,C2的 极坐标方程为2-2cos -4sin +4=0.,(2)解法一:将= 代入2-2cos -4sin +4=0,得2-3 +4=0,解得1= 2 ,2= ,故1-2= ,即|MN|= . 由于C2的半径为1,所以C2MN的面积为 . 解法二:直线C3的直角坐标方程为x-y=0,圆C2的圆心C2(1,2)到直线C3的 距离d= = ,圆C2的半径为1,|MN|=2 = ,所以C2MN 的面积为 .,方法技巧 极坐标方程与直角坐标方程的互化技巧 (1)巧用极坐标方程两边同乘或同时平方的技巧,将极坐标方程构造成 含有cos ,sin ,2的形式,然后利用互化公式进行转化,最后化简得到 直角坐标方程. (2)巧借两角和差公式,将sin()=k或cos()=k或=ksin()或= kcos()形式的极坐标方程进行转化,进而利用互化公式得到直角坐标 方程. (3)将直角坐标方程中的x换成cos ,将y换成sin ,即可得到其极坐标 方程.,1-1 已知曲线C1的极坐标方程为=6cos ,曲线C2的极坐标方程为= (R),两曲线相交于A,B两点.请把曲线C1,C2的极坐标方程转化为直角 坐标方程. 解析 曲线C2:= (R)的直角坐标方程为y=x. 曲线C1:=6cos ,即2=6cos , 所以x2+y2=6x,即(x-3)2+y2=9. 故曲线C1的直角坐标方程为(x-3)2+y2=9.,1-2 在极坐标系中,已知圆O:=cos +sin 和直线l:sin = . (1)求圆O和直线l的直角坐标方程; (2)当(0,)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标. 解析 (1)由=cos +sin 可得2=cos +sin , 把 代入2=cos +sin 得, 圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0. 由l:sin = ,得sin -cos =1, 因为 所以直线l的直角坐标方程为x-y+1=0.,(2)由 解得 进而,由 得 因为(0,),所以= ,故公共点的极坐标为 .,考点二 极坐标方程及应用 典例2 (2016课标全国,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x +6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方 程; (2)直线l的参数方程是 (t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|= , 求l的斜率. 解析 (1)由x=cos ,y=sin 可得圆C的极坐标方程2+12cos +11=0. (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=(R). 设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程 得2+12cos +11=0,于是1+2=-12cos ,12=11. |AB|=|1-2|= = . 由|AB|= 得cos2= ,tan = . 所以l的斜率为 或- .,方法技巧 在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时,将极坐标方程化为直 角坐标方程,有助于对方程所表示的曲线的认识,从而达到化陌生为熟 悉的目的,这是转化与化归思想的应用. 2-1 (2016河南天一大联考)在极坐标系中,曲线C:=4acos (a0),l:cos =4,C与l有且只有一个公共点. (1)求a; (2)O为极点,A,B为曲线C上的两点,且AOB= ,求|OA|+|OB|的最大值.,解析 (1)由题意,得曲线C是以(2a,0)为圆心,以2a为半径的圆. l的直角坐标方程为x+ y-8=0, 由直线l与圆C相切可得 =2a,解得a= (负舍). (2)不妨设A的极角为,B的极角为+ ,则|OA|+|OB|= cos + cos =8cos - sin = cos , 所以当=- 时,|OA|+|OB|取得最大值 .,
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