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2019-2020 年高二数学下学期期中（4 月）试题 理 考试时间 120 分钟 满分 120 分 一、选择题（每个题目只有一个正确选项，每题 4 分，10 个小题，共 40 分） 1若 ，且，则（ ）)9,21(,)32(ybxa 2设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为( ) 3 3曲线在点处的切线斜率为（ ） 1 2 4. 下列函数中，在上为增函数的是( ) 5在平行六面体中，为与的交点，若 ， 则下列向量中与相cAbDaBA111, 等的向量是（ ） 6若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（ ） 7用数学归纳法证明 （） ，在验证当时，等式左边应为（ aa nn11322 ） 8函数 上既有极大值又有极小值，则的取值范围为( )32()6(,fxx+为 9在长方体中， ，则与平面所成角的正弦值为( ) 10函数在定义域内的图象如图所示 记的导函数为， 则不等式的解集为（ ） 3,24,13,2. D 第卷（非选择题，共 80 分） 二、填空题（每题 4 分，5 个小题，共 20 分） 11已知函数，则 . 12曲线 处的切线方程为 . 32()1(,)fxf上 点 13定积分_. 14在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为，则异面直线与所成的角度是 . 15已知不等式， ， ，可推广为，则等于 . 三、解答题（6 个小题，共 60 分） 16 （本小题满分 8 分） 已知复数 22(3)(3)izmm 当实数取什么值时，复数是：实数； 纯虚数. 17 （本小题满分 8 分） 已知函数. （1）求函数的递增区间. （2）求函数的极小值； 18. （本小题满分 10 分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形， 侧棱的长为，且与、的夹角都等于， 是的中点，设 （1）试用表示出向量； （2）求的长 19(本小题满分 10 分) 求由曲线与， ，所围成的平面图形的面积. 20.（本小题满分 12 分） 已知四棱锥的底面为直角梯形， ，底面， 且 , ，是的中点. （）证明：面面； （）求二面角的余弦值. 21 （本小题满分 12 分） 已知函数在与时都取得极值, (1)求的值与函数的单调区间； (2)若对，不等式恒成立，求的取值范围. 高二理科数学答案 一、选择题（每题 4 分，共 40 分） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. D 10. 二、填空题（每题 4 分，共 20 分） 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题（共 60 分） 16. （本小题满分 8 分） 解：当时，即或时，复数为实数3 分 当时，解得 21m且 或 ， 即时，复数为纯虚数 8 分 17. （本小题满分 8 分） 解：（1）由=3 x2-6x 0，解得 x2， 递增区间是，. M P D C BA 4 分 （2） y= x33 x2， =3 x26 x， 当时， ；当时，. 当 x=2 时，函数有极小值-4. 8 分 18. （本小题满分 10 分） 解：（1）是 PC 的中点， )(21)(21ABPDBPCM cbacb21)(2 4 分 （2） ,1,cbaPADB为 23)10(214)(24)(42 ccM . 66为为 10 分 19.（本小题满分 10 分）解得交点横坐标为 1,2 2 分223213201:()()1| |xdxdx0解 由 题 意 知 阴 影 部 分 的 面 积 是 :S= 10 分 20.（本小题满分 12 分） （1）解：几何法：,4 分 （2）解：几何法：在上取一点，则存在使 要使.21,1),20,(),1( zyxMCzyxNC4.5AzA只 需 即 解 得41 12,(,)0,(,)(,),55550ANMCANBBNC 可 知 当 时 点 坐 标 为 能 使 此 时有 为BM 所 以得由 .,0, 所求二面角的平面角. 3034 2|,|, cos(,)555 3|ANBABANAB 12 分 向量法略。 21 （本小题满分 12 分） 解：（1） 322(),()3fxabxcfxab 由 ， 得.4 分1409 ，函数的单调区间如下表：2()()1f 极大值 极小值 所以函数的递增区间是与,递减区间是； 7 分 （2） ，当时，321(),1,2fxxc 为极大值，而，则为最大值，要使 恒成立，则只需要，得12 分
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