2018北师大版高中数学必修三第3章章末综合检测三含解析

2018北师大版高中数学必修三第3章章末综合检测三含解析 章末综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1给出下列四个命题：“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；“当x为某一实数时，可使x20”是不可能事件；“明天天津市要下雨”是必然事件；“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件其中正确命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：选C.正确2从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A至少有1个黑球与都是红球B至少有1个黑球与都是黑球C至少有1个黑球与至少有1个红球D恰有1个黑球与恰有2个黑球解析：选D.A中的两个事件是对立事件，不符合要求；B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D中是互斥而不对立的两个事件故选D.3某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表：时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内新生婴儿数 5 544 9 013 13 520 17 191男婴数 2 716 4 899 6 812 8 590这一地区男婴出生的概率约是()A0.4 B0.5C0.6 D0.7解析：选B.由表格可知，男婴出生的频率依次约为0.49，0.54，0.50，0.50，故这一地区男婴出生的概率约为0.5.故选B.4某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710 B.58C.38 D.310解析：选B.记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A，则P(A)254058.5为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.13 B.12C.23 D.56解析：选C.从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，共有6种选法红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法，根据古典概型的概率计算公式，所求的概率为4623.故选C.6有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A.13 B.12C.23 D.34解析：选A.因为两位同学参加兴趣小组的所有的结果有9个，其中这两位同学参加同一兴趣小组的结果有3个，所以由古典概型的概率计算公式得所求概率为3913.7任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是()A.1225 B.3899C.1300 D.1450解析：选C.三位正整数有100999，共900个，而满足log2N为正整数的N有27，28，29，共3个，故所求事件的概率为39001300.8在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为()A.16 B.13C.23 D.45解析：选C.设|AC|x cm，0x12，则|CB|(12x) cm，要使矩形面积大于20 cm2，只要x(12x)20，则x212x200，2x10，所以所求概率为P1021223，故选C.9小明通过做游戏的方式来确定周末的活动，他随机往单位圆内投掷一颗弹珠(大小忽略)，若弹珠到圆心的距离大于12，则周末去逛公园；若弹珠到圆心的距离小于14，则去踢足球；否则，在家看书则小明周末不在家看书的概率为()A.12 B.16C.1316 D.512解析：选C.由题意画出示意图，如图所示表示小明在家看书的区域如图中阴影部分所示，则他在家看书的概率为（12）2（14）2316，因此他不在家看书的概率为13161316，故选C.10小莉与小明一起用A，B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y，来确定点P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点P(x，y)落在已知抛物线yx24x上的概率为()A.16 B.19C.112 D.118解析：选C.根据题意，两人各掷立方体一次，每人都有6种可能性，则(x，y)的情况有36种，即P点有36种可能，而yx24x(x2)24，即(x2)2y4，易得在抛物线上的点有(2，4)，(1，3)，(3，3)共3个，因此满足条件的概率为336112.11如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌(事件A)的概率为14，取到方片牌(事件B)的概率是13，则取到红色牌(事件C)的概率和取到黑色牌(事件D)的概率分别是()A.712，512 B.512，712C.12，12 D.34，23解析：选A.因为CAB，且A，B不会同时发生，即A，B是互斥事件，所以P(C)P(A)P(B)1413712.又C，D是互斥事件，且CD是必然事件，所以C，D互为对立事件，则P(D)1P(C)1712512.12从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()A.110 B.310C.35 D.910解析：选D.记3个红球分别为a1，a2，a3，2个白球分别为b1，b2.从3个红球、2个白球中任取3个，则所包含的基本事件有a1，a2，a3，a1，a2，b1，a1，a2，b2，a1，a3，b1，a1，a3，b2，a2，a3，b1，a2，a3，b2，a1，b1，b2，a2，b1，b2，a3，b1，b2，共10个由于每个基本事件发生的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的用A表示“所取的3个球中至少有1个白球”，则其对立事件A表示“所取的3个球中没有白球”，则事件A包含的基本事件有1个：a1，a2，a3所以P(A)110.故P(A)1P(A)1110910.二、填空题：本题共4小题，每小题5分13从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高分别为：(单位：cm)162，148，154，165，168，172，175，162，171，170，150，151，152，160，163，175，164，179，149，172.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级任抽一名同学身高在155.5 cm170.5 cm之间的概率为_(用分数表示)解析：样本中有8人身高在155.5 cm170.5 cm之间，所以估计该校高二年级任抽一名同学身高在155.5 cm170.5 cm之间的概率为82025.答案：2514在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，则AMAC的概率是_解析：设CACBm(m0)，则AB2m，P(AMAC)ABACAB2mm2m122.答案：12215若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为_解析：甲，乙，丙站成一排有(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共6种甲，乙相邻而站有(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共4种所以甲，乙两人相邻而站的概率为4623.答案：2316袋中含有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是910，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为_解析：因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种情况，没有得到白球的概率为110，设白球个数为x，则黑球个数为5x，那么，可知白球有3个，黑球有2个，因此可知从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为310.答案：310三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概率(1)所得的三位数大于400；(2)所得的三位数是偶数解：1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数(1)大于400的三位数的个数为4，所以P4623.(2)三位数为偶数的有156，516，共2个，所以相应的概率为P2613.18(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率解：将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道乙类题依次编号为5，6.任取2道题，基本事件为：1，2，1，3，1，4，1，5，1，6，2，3，2，4，2，5，2，6，3，4，3，5，3，6，4，5，4，6，5，6，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的(1)用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有1，2，1，3，1，4，2，3，2，4，3，4，共6个，所以P(A)61525.(2)用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有1，5，1，6，2，5，2，6，3，5，3，6，4，5，4，6，共8个，所以P(B)815.19(本小题满分12分)某河流上的一座水力发电站，每年6月份的发电量y(单位：万千瓦时)与该河上游在6月份的降雨量x(单位：mm)有关据统计，当x70时，y460；x每增加10，y增加5.已知近20年x的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.(1)完成如下的频率分布表：近20年6月份降雨量频率分布表降雨量 70 110 140 160 200 220频率 0.05 0.2 0.1(2)将频率视为概率，试估计今年6月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率解：(1)在所给数据中，降雨量为110 mm的有3个，为160 mm的有7个，为200 mm的有3个故近20年6月份降雨量频率分布表为：降雨量 70 110 140 160 200 220频率 0.05 0.15 0.2 0.35 0.15 0.1(2)由已知可得y0.5x425，记“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”为事件A，则P(A)P(y530)P(x210)P(x70)P(x110)P(x220)0.050.150.10.3.因此估计今年6月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为0.3.20(本小题满分12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人) 参加书法社团 未参加书法社团参加演讲社团 8 5未参加演讲社团 2 30(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有453015(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P154513.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，A4，B1，A4，B2，A4，B3，A5，B1，A5，B2，A5，B3，共15个根据题意，这些基本事件的出现是等可能的事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共2个因此A1被选中且B1未被选中的概率为P215.21(本小题满分12分)求解下列各题：(1)在区间0，4上随机取两个整数m，n，求关于x的一元二次方程x2nxm0有实数根的概率P(A)；(2)在区间0，4上随机取两个数m，n，求关于x的一元二次方程x2nxm0有实数根的概率P(B)解：方程x2nxm0有实数根，则n4m0，(1)由于m，n0，4，且m，n是整数，因此列举可得m，n可能的取值共有25组又满足n4m0的m，n的取值有m0n0，m0n1，m0n2，m0n3，m0n4，m1n4，共6组因此，原方程有实数根的概率为P(A)625.(2)由于0m40n4对应的区域(如图中正方形区域所示)面积为16，而n4m0(m，n0，4)表示的区域(如图中阴影部分所示)面积为12142.因此，原方程有实数根的概率为P(B)S阴影S正方形18.22(本小题满分12分)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某市公交公司在某站台60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示(单位：min)： 组别 候车时间 人数一 0，5) 2二 5，10) 6三 10，15) 4四 15，20) 2五 20，25 1(1)求这15名乘客的平均候车时间；(2)估计这60名乘客中候车时间少于10 min的人数；(3)若从上表第三、四组的6人中选2人做进一步调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率解：(1)115(2.527.5612.5417.5222.51)115157.510.5，故这15名乘客的平均候车时间为10.5 min.(2)由频率估计概率，可知侯车时间少于10 min的概率为2615815，故这60名乘客中候车时间少于10 min的人数约为6081532.(3)记第三组的4名乘客为a1，a2，a3，a4，第四组的2名乘客为b1，b2.从6人中选2人的所有可能情况为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15种，其中2人恰好来自不同组的情况为(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，共8种，故所求概率为815.