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2019-2020年高三数学上学期第二次模拟考试试题 理(I)一、 选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的)1i是虚数单位,复数()A24i B 12i C12i D2i2若cos,是第三象限的角,则sin()()A B. C D. 3下列说法中,正确的是()A数据5,4,4,3,5,2的众数是4B一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半D频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数4在等差数列中,则的前5项和=( ) A.7 B.15 C.20 D.25 5某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是( )6一质点运动时速度与时间的关系为v(t)t2t2,质点做直线运动,则此物体在时间内的位移为()A. B. C. D.7学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为n且支出在上单调递增,且满足f(1x)f(1x)0,给出下列判断:f(5)0;f(x)在上是减函数;f(x)的图象关于直线x1对称;f(x)在x0处取得最大值;f(x)没有最小值其中正确判断的序号是_三、解答题:(本大题共6小题,共70分解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)在ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且()求A的大小;()求的最大值.18(本小题满分12分)某地宫有三个通道,进入地宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道,若是1号通道,则需要1小时走出地宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走完地宫为止。令表示走出地宫所需的时间。(1)求的分布列; (2)求的数学期望。19. (本小题满分12分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,DAB=ABC=90,E是CD的中点.()证明:CD平面PAE;()若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.20(本小题满分12分)设椭圆C:的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60o,.(I) 求椭圆C的离心率;(II) 如果|AB|=,求椭圆C的方程.21(本小题满分12分)设,曲线在点处的切线与直线垂直.(1) 求的值;(2) 若恒成立,求的取值范围;(3) 求证:.请考生在第22,23,24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F()求证:AB为圆的直径;()若AC=BD,求证:AB=ED23(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为=2sin()写出C的直角坐标方程;()P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标24(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数(1)当时,求不等式的解集;(2)若的解集包含,求的取值范围.数学 (理科)学科答案一选择题(本大题共12小题,每小题5分,共计60分)题号123456789101112答案AACBDABACCCA二填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分)13 14 (0,1 15 16 三解答题17(本小题满分12分)解:()由已知,根据正弦定理得即 由余弦定理得 故 ,A=120 6分()由()得: 故当B=30时,sinB+sinC取得最大值1。 12分18(本小题满分12分)(1) 必须要走到1号门才能走出,可能的取值为1,3,4,6, 8分1346分布列为: 10分(2)小时 12分19(本小题满分12分)解法1(如图(1),连接AC,由AB=4,是的中点,所以 6分所以而内的两条相交直线,所以CD平面PAE.()过点作由()CD平面PAE知,平面PAE.于是为直线与平面PAE所成的角,且.由知,为直线与平面所成的角.由题意,知因为所以由所以四边形是平行四边形,故于是在中,所以于是又梯形的面积为所以四棱锥的体积为解法2:如图(2),以A为坐标原点,所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为:()易知因为所以而是平面内的两条相交直线,所以 6分()由题设和()知,分别是,的法向量,而PB与所成的角和PB与所成的角相等,所以由()知,由故解得. 8分又梯形ABCD的面积为,所以四棱锥的体积为 . 12分20(本小题满分12分)解:设,由题意知0,0.()直线l的方程为 ,其中.联立得解得因为,所以.即 得离心率 . 6分()因为,所以.由得.所以,得a=3,.椭圆C的方程为. 12分21(本小题满分12分)答案:(1) 3分(2) 即, 5分设,即若,这与题设矛盾(舍);若,方程的判别式,当,即时,在单调递减,即不等式成立;当时,方程的根当单调递增,与题设矛盾(舍);综上所述,. 8分(3) 证明:由(2)知,当时,成立, 不妨令,所以 故 令 累加即得结论。 12分22.(本小题满分10分)1.证明:()PG=PD,PDG=PGD,PD为切线,PDA=DBA,PGD=EGA,DBA=EGA,DBA+BAD=EGA+BAD,BDA=PFA,AFEP,PFA=90BDA=90,AB为圆的直径;5分()连接BC,DC,则AB为圆的直径,BDA=ACB=90,在RtBDA与RtACB中,AB=BA,AC=BD,RtBDARtACB,DAB=CBA,DCB=DAB,DCB=CBA,DCAB,ABEP,DCEP,DCE为直角,ED为圆的直径,AB为圆的直径,AB=ED 12分23. (本小题满分10分)1.解:(I)由C的极坐标方程为=2sin2=2,化为x2+y2=,配方为=3 5分(II)设P,又C|PC|=2,因此当t=0时,|PC|取得最小值2此时P(3,0) 10分24. (本小题满分10分)【答案】(1)当时, 或或 或 5分 (2)原命题在上恒成立在上恒成立在上恒成立 10分
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