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2019-2020年高三数学上学期第13周考试题一选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知为虚数单位,且,则的值为【 】A4 B C D2.已知,则是的【 】A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.对具有线性相关关系的变量有观测数据,这些数据的回归直线方程是,若,则【 】A. 74 B. 21.8 C. 25.4 D. 2544、(x2+2) 展开式中x2 项的系数250, 则实数 m 的值为 【 】A5 B5 CD5.实数x,y满足设,若的最大值为6,则的最小值为【 】A3B2C1D06. 某项实验,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,问实验顺序的编排方法共有【 】A34种 B48种 C96种 D144种7已知实数等比数列an的前n项和为Sn,则下列结论中一定成立的 【 】 A若,则 B若,则 C若,则D若,则8、若,则取得最小值时,的值为【 】A.1 B. C.2 D.49、抛物线与x轴的两个交点分别随机分布在区间和上,则抛物线的对称轴位于y轴左侧的概率为【 】A B C D10、已知函数,则关于x的方程的实根个数不可能为【 】A5B6C7D8二填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.(一)选做题(请考生在11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)11(几何证明选讲)如图3,圆的半径为1,、是 圆周上的三点,满足,过点作圆的切线与的延长线交于点,则_.12在极坐标中,已知圆经过点,圆心为直线与极轴的交点,则圆的极坐标方程为 13. 已知,则的最大值为 . (二)必做题(1416题)14. 执行如图所示的程序框图,若输入A的值为2,则输出的P值为 15.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则_.16.已知的外接圆的圆心为,满足:,,且,,则_三解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)已知函数的图象过点(,0).()求函数的单调递增区间;()设的图象与轴、轴及直线()所围成的曲边四边形面积为,求关于的函数的解析式.18(本小题满分12分)空气质量指数(简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,其数值越大说明空气污染越严重,为了及时了解空气质量状况,广东各城市都设置了实时监测站下表是某网站公布的广东省内21个城市在xx12月份某时刻实时监测到的数据:城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值广州118东莞137中山95江门78云浮76茂名107揭阳80深圳94珠海95湛江75潮州94河源124肇庆48清远47佛山160惠州113汕头88汕尾74阳江112韶关68梅州84(1)请根据上表中的数据,完成下列表格:空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围0,50)50,100)100,150)150,200)城市个数(2)统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取个城市,省环保部门再从中随机选取个城市组织专家进行调研,记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为”,求的分布列和数学期望19(本小题满分12分)在三棱锥中,已知平面平面,是底面最长的边三棱锥的三视图如图5所示,其中侧视图和俯视图均为直角三角形(1) 请在图6中,用斜二测画法,把三棱锥的直观图补充完整 (其中点在平面内),并指出三棱锥的哪些面是直角三角形;(2)求二面角的正切值;(3)求点到面的距离侧视图正视图图5俯视图z图6OPyx20(本小题满分13分)已知首项大于的等差数列的公差,且(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足:,其中求数列的通项;是否存在实数,使得数列为等比数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由21(本小题满分13分)椭圆,动直线与椭圆有且只有一个公共点.(1)过点作的垂线垂足为,求点的轨迹方程(2)在轴上是否存在两定点,使其到直线l的距离之积为1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由. 22(本小题满分13分)已知定义在上的奇函数满足:当时,(1)求的解析式和值域;(2)设,其中常数试指出函数的零点个数;若当是函数的一个零点时,相应的常数记为,其中证明:()南雅中学xx高三周考卷(13)参考答案本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共4页时量120分钟满分150分一选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知为虚数单位,且,则的值为( D )。A4 B C D2.已知,则是的(D )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.对具有线性相关关系的变量有观测数据,这些数据的回归直线方程是,若,则( D )A. 74 B. 21.8 C. 25.4 D. 2544、(x2+2) 展开式中x2 项的系数250, 则实数 m 的值为 ( C )A5 B5 CD4.【知识点】二项式定理J3【答案】C【解析】若第一个因式取2,第二个因式中项为,由3r-10=2得r=4,系数为=5,因第二个因式中没有常数项,所以展开式系数为25=250,m=.5.已知实数x,y满足设,若的最大值为6,则的最小值为( A )A3B2C1D06. 某项实验,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,问实验顺序的编排方法共有( C )A34种 B48种 C96种 D144种7已知实数等比数列an的前n项和为Sn,则下列结论中一定成立的 【 D 】 A若,则 B若,则 C若,则D若,则8、若,则取得最小值时,的值为( B )A.1 B. C.2 D.49、抛物线与x轴的两个交点分别随机分布在区间和上,则抛物线的对称轴位于y轴左侧的概率为( C )A B C D10、已知函数,则关于x的方程的实根个数不可能为【 A 】A5B6C7D8二填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.(一)选做题(请考生在11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)11(几何证明选讲)如图3,圆的半径为1,、是 圆周上的三点,满足,过点作圆的切线与的延长线交于点,则_.12在极坐标中,已知圆经过点,圆心为直线与极轴的交点,则圆的极坐标方程为 答案:圆圆心为直线与极轴的交点, 在中令,得. 圆的圆心坐标为(1,0). 圆经过点,圆的半径为. 圆经过极点.圆的极坐标方程为.13. 已知,则的最大值为 10 . 【解析】法一:法二:(二)必做题(1416题)14. 执行如图所示的程序框图,若输入A的值为2,则输出的P值为 4 15.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则_2_.16.已知的外接圆的圆心为,满足:,,且,,则_36_三解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)空气质量指数(简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,其数值越大说明空气污染越严重,为了及时了解空气质量状况,广东各城市都设置了实时监测站下表是某网站公布的广东省内21个城市在xx12月份某时刻实时监测到的数据:城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值广州118东莞137中山95江门78云浮76茂名107揭阳80深圳94珠海95湛江75潮州94河源124肇庆48清远47佛山160惠州113汕头88汕尾74阳江112韶关68梅州84(1)请根据上表中的数据,完成下列表格:空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围0,50)50,100)100,150)150,200)城市个数(2)统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取个城市,省环保部门再从中随机选取个城市组织专家进行调研,记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为”,求的分布列和数学期望解:(1)根据数据,完成表格如下:空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围0,50)50,100)100,150)150,200)城市频数212612分(2)按分层抽样的方法,从“良好”类城市中抽取个,3分从“轻度污染”类城市中抽取个,4分所以抽出的“良好”类城市为个,抽出的“轻度污染”类城市为个根据题意的所有可能取值为:, ,8分的分布列为:所以 12分【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识,考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力18(本小题满分12分)已知函数的图象过点(,0).()求函数的单调递增区间;()设的图象与轴、轴及直线()所围成的曲边四边形面积为,求关于的函数的解析式.18.解:()因为的图象过点(,0),所以,解得. 所以,由,得,.故的单调递增区间是,. ()由()得,.所以所以(). 19(本小题满分12分)在三棱锥中,已知平面平面,是底面最长的边三棱锥的三视图如图5所示,其中侧视图和俯视图均为直角三角形(1)请在图6中,用斜二测画法,把三棱锥的直观图补充完整(其中点在平面内),并指出三棱锥的哪些面是直角三角形;(2)求二面角的正切值;(3)求点到面的距离侧视图正视图图5俯视图z图6OPyxAz图1O(B)PyCx19.解:(1)三棱锥直观图如图1所示;由三视图知和是直角三角形3分(2)(法一):如图2,过作交于点,由三视图知为等腰三角形,取的中点,过作且交于点,连接,因为,由三视图知面,且面,所以,EFHAz图2O(B)PyCx又由,所以面,由面,所以,所以面,由面,所以,所以是二面角的平面角6分,8分在直角中,有所以,二面角的正切值为9分(法二):如图3,过作交于点,由三视图知为等腰三角形,HAz图3O(B)PyCx,由图3所示的坐标系,及三视图中的数据得:,则,,设平面、平面的法向量分别为、设,由,得,令,得,即6分设,由,得,令,得,即7分,8分而二面角的大小为锐角,所以二面角的正切值为9分(3)(法一):记到面的距离为,由(1)、(2)知,12分三棱锥的体积,13分由,可得:14分(法二):由(2)知,平面的法向量,记到面的距离为,14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,三视图及几何体的直观图,二面角,三棱锥的体积,空间坐标系等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力20(本小题满分13分)已知首项大于的等差数列的公差,且(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足:,其中求数列的通项;是否存在实数,使得数列为等比数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由20.解:(1)(法一):数列的首项,公差,2分,3分整理得解得或(舍去)4分因此,数列的通项 5分(法二):由题意得,1分数列是等差数列,2分,即3分又,解得或(舍去)4分因此,数列的通项5分(2),6分令,则有,当时,8分因此,数列的通项9分,10分若数列为等比数列,则有,即,解得或11分当时,不是常数,数列不是等比数列,当时,数列为等比数列所以,存在实数使得数列为等比数列14分【说明】考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义,考查了学生的运算能力,以及化归与转化的思想21(本小题满分13分)椭圆,动直线与椭圆有且只有一个公共点.(1)过点作的垂线垂足为,求点的轨迹方程(2)在轴上是否存在两定点,使其到直线l的距离之积为1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由.21.解:(1)(法一)(i)当切线的斜率存在且不为时,设的方程为,联立直线和椭圆的方程,得, 消去并整理,得, 因为直线和椭圆有且仅有一个交点, 化简并整理,得 因为直线与垂直,所以直线的方程为:,联立解得 ,把代入上式得 (ii)当切线的斜率为时,此时,符合式 (iii)当切线的斜率不存在时,此时或,符合式 综上所述,点的轨迹方程为 (法二):设点的坐标为,(i)当切线的斜率存在且不为时,设的方程为,同解法一,得, 因为直线与垂直,所以直线的方程为:,联立解得 代入并整理,有,10分即,由点与点不重合, (ii)当切线的斜率为时,此时,符合式 (iii)当切线的斜率不存在时,此时或,符合式 综上所述,点的轨迹方程为 (法三):设点的坐标为,(i)当切线的斜率存在且不为时,设的方程为,整理,得的方程为, 联立直线和椭圆的方程,得,消去并整理,得, 因为直线和椭圆有且仅有一个交点, 化简并整理,得, 因为与直线垂直,有, 代入并整理,有, 即,点与点不重合, (ii)当切线的斜率为时,此时,符合式 (iii)当切线的斜率不存在时,此时或,符合式 综上所述,点的轨迹方程为 (2)当直线l斜率存在时,设直线l方程为y=kx+m,由(1)问 知 1+2k2=m2. 设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则 即(st+1)k+m(s+t)=0(*),或(st+3)k2+(s+t)km+2=0 (*).由(*)恒成立,得解得,或, 而(*)不恒成立. 当直线l斜率不存在时,直线方程为x=时,定点(1,0)、F2(1,0)到直线l的距离之积d1 d2=(1)(+1)=1. 综上,存在两个定点(1,0),(-1,0),使其到直线l 的距离之积为定值1. 22(本小题满分13分)已知定义在上的奇函数满足:当时,(1)求的解析式和值域;(2)设,其中常数试指出函数的零点个数;若当是函数的一个零点时,相应的常数记为,其中证明:()22.解:(1)为奇函数,当时,则,2分时,的值域为3分图a(2)函数的图象如图所示,当时,方程有三个实根;当或时,方程只有一个实根;当或时,方程有两个实根(法一):由,解得,的值域为,只需研究函数在上的图象特征设,令,得,当时,当时,又,即,由,得,图b的大致图象如图所示根据图象可知,当时,直线与函数的图像仅有一个交点,则函数在上仅有一个零点,记零点为,则分别在区间、上,根据图像,方程有两个交点,因此函数有两个零点5分类似地,当时,函数在上仅有零点,因此函数有、这三个零点6分当时,函数在上有两个零点,一个零点是,另一个零点在内,因此函数有三个零点7分当时,函数在上有两个零点,且这两个零点均在内,因此函数有四个零点8分当时,函数在上没有零点,因此函数没有零点9分(法二):,令,得,当时,当时,当时,取得极大值图c()当的极大值,即时,函数在区间上无零点,因此函数无零点()当的极大值,即时,函数的图像如图所示,函数有零点图d由图可知方程有两不等的实根,因此函数有两个零点()当的极大值且,即时,在上单调递增,因为,函数的图像如图所示,函数在存在唯一零点,其中由图可知方程有两不等的实根,因此函数有两个零点()当的极大值且,即时:由,得,由,得,图e根据法一中的证明有()当时,函数的图像如图所示,函数在区间有唯一零点,其中图f由图可知方程有两不等的实根,因此函数有两个零点()当时,函数的图像如图所示,函数在区间有唯一零点由图可知方程有三个不等的实根,因此函数有三个零点()当时,函数的图像如图所示,函数在区间有唯一零点,其中图g由图可知方程有两个不等的实根,因此函数有两个零点()当时,函数的图像如图所示,函数在区间有图h两个零点,分别是和,其中由图可知方程有一个实根,方程有两个非的不等实根,因此函数有三个零点()当时,图i函数的图像如图所示,函数在区间有两个零点、,其中由图可知方程、都有两个不等的实根,且这四个根互不相等,因此函数有四个零点综上可得:当时,函数有两个零点;5分当、时,函数有三个零点;7分当时,函数有四个零点;8分当时,函数无零点9分因为是函数的一个零点,所以有,10分记,当时,当时,即故有,则11分当时,;当时,(法一):,13分综上,有,14分(法二):当时,;当时,13分综上,有,14分【说明】本题主要考查函数的性质、分段函数、导数应用、一元二次方程的求解、连续函数的零点存在性定理,放缩法证明数列不等式,考查学生数形结合、分类讨论的数学思想,以及计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识
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