2019-2020年高三数学上学期第13周考试题.doc

2019-2020年高三数学上学期第13周考试题一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知为虚数单位，且，则的值为【 】A4 B C D2.已知，则是的【 】A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.对具有线性相关关系的变量有观测数据，这些数据的回归直线方程是，若，则【 】A. 74 B. 21.8 C. 25.4 D. 2544、（x2+2） 展开式中x2 项的系数250, 则实数 m 的值为 【 】A5 B5 CD5.实数x，y满足设，若的最大值为6，则的最小值为【 】A3B2C1D06. 某项实验，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有【 】A34种 B48种 C96种 D144种7已知实数等比数列an的前n项和为Sn，则下列结论中一定成立的 【 】 A若，则 B若，则 C若，则D若，则8、若，则取得最小值时，的值为【 】A.1 B. C.2 D.49、抛物线与x轴的两个交点分别随机分布在区间和上，则抛物线的对称轴位于y轴左侧的概率为【 】A B C D10、已知函数，则关于x的方程的实根个数不可能为【 】A5B6C7D8二填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.（一）选做题（请考生在11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11(几何证明选讲)如图3,圆的半径为1,、是 圆周上的三点,满足,过点作圆的切线与的延长线交于点,则_.12在极坐标中,已知圆经过点,圆心为直线与极轴的交点,则圆的极坐标方程为 13. 已知，则的最大值为 . （二）必做题（1416题）14. 执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值为 15.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则_.16.已知的外接圆的圆心为,满足：,，且，,则_三解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知函数的图象过点（，0）.（）求函数的单调递增区间；（）设的图象与轴、轴及直线（）所围成的曲边四边形面积为，求关于的函数的解析式.18（本小题满分12分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站下表是某网站公布的广东省内21个城市在xx12月份某时刻实时监测到的数据：城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值广州118东莞137中山95江门78云浮76茂名107揭阳80深圳94珠海95湛江75潮州94河源124肇庆48清远47佛山160惠州113汕头88汕尾74阳江112韶关68梅州84（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围0,50)50，100）100,150)150,200)城市个数（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取个城市，省环保部门再从中随机选取个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为”，求的分布列和数学期望19（本小题满分12分）在三棱锥中，已知平面平面，是底面最长的边三棱锥的三视图如图5所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形（1） 请在图6中，用斜二测画法，把三棱锥的直观图补充完整 （其中点在平面内），并指出三棱锥的哪些面是直角三角形；（2）求二面角的正切值；（3）求点到面的距离侧视图正视图图5俯视图z图6OPyx20（本小题满分13分）已知首项大于的等差数列的公差，且（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，其中求数列的通项；是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由21（本小题满分13分）椭圆，动直线与椭圆有且只有一个公共点.（1）过点作的垂线垂足为，求点的轨迹方程(2)在轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由. 22（本小题满分13分）已知定义在上的奇函数满足：当时，（1）求的解析式和值域；（2）设，其中常数试指出函数的零点个数；若当是函数的一个零点时，相应的常数记为，其中证明：（）南雅中学xx高三周考卷（13）参考答案本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页时量120分钟满分150分一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知为虚数单位，且，则的值为（ D ）。A4 B C D2.已知，则是的（D ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.对具有线性相关关系的变量有观测数据，这些数据的回归直线方程是，若，则（ D ）A. 74 B. 21.8 C. 25.4 D. 2544、（x2+2） 展开式中x2 项的系数250, 则实数 m 的值为 （ C ）A5 B5 CD4.【知识点】二项式定理J3【答案】C【解析】若第一个因式取2，第二个因式中项为，由3r-10=2得r=4，系数为=5，因第二个因式中没有常数项，所以展开式系数为25=250，m=.5.已知实数x，y满足设，若的最大值为6，则的最小值为（ A ）A3B2C1D06. 某项实验，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（ C ）A34种 B48种 C96种 D144种7已知实数等比数列an的前n项和为Sn，则下列结论中一定成立的 【 D 】 A若，则 B若，则 C若，则D若，则8、若，则取得最小值时，的值为（ B ）A.1 B. C.2 D.49、抛物线与x轴的两个交点分别随机分布在区间和上，则抛物线的对称轴位于y轴左侧的概率为（ C ）A B C D10、已知函数，则关于x的方程的实根个数不可能为【 A 】A5B6C7D8二填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.（一）选做题（请考生在11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11(几何证明选讲)如图3,圆的半径为1,、是 圆周上的三点,满足,过点作圆的切线与的延长线交于点,则_.12在极坐标中,已知圆经过点,圆心为直线与极轴的交点,则圆的极坐标方程为 答案：圆圆心为直线与极轴的交点, 在中令,得. 圆的圆心坐标为(1,0). 圆经过点,圆的半径为. 圆经过极点.圆的极坐标方程为.13. 已知，则的最大值为 10 . 【解析】法一：法二：（二）必做题（1416题）14. 执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值为 4 15.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则_2_.16.已知的外接圆的圆心为,满足：,，且，,则_36_三解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站下表是某网站公布的广东省内21个城市在xx12月份某时刻实时监测到的数据：城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值广州118东莞137中山95江门78云浮76茂名107揭阳80深圳94珠海95湛江75潮州94河源124肇庆48清远47佛山160惠州113汕头88汕尾74阳江112韶关68梅州84（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围0,50)50，100）100,150)150,200)城市个数（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取个城市，省环保部门再从中随机选取个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为”，求的分布列和数学期望解:（1）根据数据，完成表格如下：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围0,50)50，100）100,150)150,200)城市频数212612分（2）按分层抽样的方法，从“良好”类城市中抽取个，3分从“轻度污染”类城市中抽取个，4分所以抽出的“良好”类城市为个，抽出的“轻度污染”类城市为个根据题意的所有可能取值为：, ，8分的分布列为：所以 12分【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力18（本小题满分12分）已知函数的图象过点（，0）.（）求函数的单调递增区间；（）设的图象与轴、轴及直线（）所围成的曲边四边形面积为，求关于的函数的解析式.18.解：（）因为的图象过点（，0），所以，解得. 所以，由，得，.故的单调递增区间是，. （）由（）得，.所以所以（）. 19（本小题满分12分）在三棱锥中，已知平面平面，是底面最长的边三棱锥的三视图如图5所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形（1）请在图6中，用斜二测画法，把三棱锥的直观图补充完整（其中点在平面内），并指出三棱锥的哪些面是直角三角形；（2）求二面角的正切值；（3）求点到面的距离侧视图正视图图5俯视图z图6OPyxAz图1O(B)PyCx19.解：（1）三棱锥直观图如图1所示；由三视图知和是直角三角形3分（2）（法一）：如图2，过作交于点，由三视图知为等腰三角形，取的中点，过作且交于点，连接，因为，由三视图知面，且面，所以，EFHAz图2O(B)PyCx又由，所以面，由面，所以，所以面，由面，所以，所以是二面角的平面角6分，8分在直角中，有所以，二面角的正切值为9分（法二）：如图3，过作交于点，由三视图知为等腰三角形，HAz图3O(B)PyCx，由图3所示的坐标系，及三视图中的数据得：，则，,设平面、平面的法向量分别为、设，由，得，令，得，即6分设，由，得，令，得，即7分，8分而二面角的大小为锐角，所以二面角的正切值为9分（3）（法一）：记到面的距离为，由（1）、（2）知，12分三棱锥的体积，13分由，可得：14分（法二）：由（2）知，平面的法向量，记到面的距离为，14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力20（本小题满分13分）已知首项大于的等差数列的公差，且（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，其中求数列的通项；是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20.解：（1）（法一）：数列的首项，公差，2分，3分整理得解得或（舍去）4分因此，数列的通项 5分（法二）：由题意得，1分数列是等差数列，2分，即3分又，解得或（舍去）4分因此，数列的通项5分（2），6分令，则有，当时，8分因此，数列的通项9分，10分若数列为等比数列，则有，即，解得或11分当时，不是常数，数列不是等比数列，当时，数列为等比数列所以，存在实数使得数列为等比数列14分【说明】考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想21（本小题满分13分）椭圆，动直线与椭圆有且只有一个公共点.（1）过点作的垂线垂足为，求点的轨迹方程(2)在轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.21.解：（1）（法一）（i）当切线的斜率存在且不为时，设的方程为，联立直线和椭圆的方程，得， 消去并整理，得， 因为直线和椭圆有且仅有一个交点， 化简并整理，得 因为直线与垂直，所以直线的方程为：，联立解得 ，把代入上式得 （ii）当切线的斜率为时，此时，符合式 （iii）当切线的斜率不存在时，此时或，符合式 综上所述，点的轨迹方程为 （法二）：设点的坐标为，（i）当切线的斜率存在且不为时，设的方程为，同解法一，得， 因为直线与垂直，所以直线的方程为：，联立解得 代入并整理，有，10分即，由点与点不重合， （ii）当切线的斜率为时，此时，符合式 （iii）当切线的斜率不存在时，此时或，符合式 综上所述，点的轨迹方程为 （法三）：设点的坐标为，（i）当切线的斜率存在且不为时，设的方程为，整理，得的方程为， 联立直线和椭圆的方程，得，消去并整理，得， 因为直线和椭圆有且仅有一个交点， 化简并整理，得， 因为与直线垂直，有， 代入并整理，有， 即，点与点不重合， （ii）当切线的斜率为时，此时，符合式 （iii）当切线的斜率不存在时，此时或，符合式 综上所述，点的轨迹方程为 (2)当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+m，由（1）问 知 1+2k2=m2. 设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则 即(st+1)k+m(s+t)=0(*)，或(st+3)k2+(s+t)km+2=0 (*).由(*)恒成立,得解得,或, 而(*)不恒成立. 当直线l斜率不存在时，直线方程为x=时，定点(1，0)、F2(1，0)到直线l的距离之积d1 d2=(1)(+1)=1. 综上,存在两个定点(1,0),(-1,0),使其到直线l 的距离之积为定值1. 22（本小题满分13分）已知定义在上的奇函数满足：当时，（1）求的解析式和值域；（2）设，其中常数试指出函数的零点个数；若当是函数的一个零点时，相应的常数记为，其中证明：（）22.解：（1）为奇函数，当时，则，2分时，的值域为3分图a（2）函数的图象如图所示，当时，方程有三个实根；当或时，方程只有一个实根；当或时，方程有两个实根（法一）：由，解得，的值域为，只需研究函数在上的图象特征设，令，得，当时，当时，又，即，由，得，图b的大致图象如图所示根据图象可知，当时，直线与函数的图像仅有一个交点，则函数在上仅有一个零点，记零点为，则分别在区间、上，根据图像，方程有两个交点，因此函数有两个零点5分类似地，当时，函数在上仅有零点，因此函数有、这三个零点6分当时，函数在上有两个零点，一个零点是，另一个零点在内，因此函数有三个零点7分当时，函数在上有两个零点，且这两个零点均在内，因此函数有四个零点8分当时，函数在上没有零点，因此函数没有零点9分（法二）：，令，得，当时，当时，当时，取得极大值图c（）当的极大值，即时，函数在区间上无零点，因此函数无零点（）当的极大值，即时，函数的图像如图所示，函数有零点图d由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点（）当的极大值且，即时，在上单调递增，因为，函数的图像如图所示，函数在存在唯一零点，其中由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点（）当的极大值且，即时：由，得，由，得，图e根据法一中的证明有（）当时，函数的图像如图所示，函数在区间有唯一零点，其中图f由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点（）当时，函数的图像如图所示，函数在区间有唯一零点由图可知方程有三个不等的实根，因此函数有三个零点（）当时，函数的图像如图所示，函数在区间有唯一零点，其中图g由图可知方程有两个不等的实根，因此函数有两个零点（）当时，函数的图像如图所示，函数在区间有图h两个零点，分别是和，其中由图可知方程有一个实根，方程有两个非的不等实根，因此函数有三个零点（）当时，图i函数的图像如图所示，函数在区间有两个零点、，其中由图可知方程、都有两个不等的实根，且这四个根互不相等，因此函数有四个零点综上可得：当时，函数有两个零点；5分当、时，函数有三个零点；7分当时，函数有四个零点；8分当时，函数无零点9分因为是函数的一个零点，所以有，10分记，当时，当时，即故有，则11分当时，；当时，（法一）：，13分综上，有，14分（法二）：当时，；当时，13分综上，有，14分【说明】本题主要考查函数的性质、分段函数、导数应用、一元二次方程的求解、连续函数的零点存在性定理，放缩法证明数列不等式，考查学生数形结合、分类讨论的数学思想，以及计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识