2019-2020年高三上学期第五次月考数学试卷（理科） 含解析.doc

2019-2020年高三上学期第五次月考数学试卷（理科） 含解析一.选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1已知i为虚数单位，复数满足（1+i）z=1i，则|=（）ABCD22集合A=x|ln（xl）0，B=x|x29，则AB=（）A（2，3）B2，3）C（2，3D2，33设命题p：函数y=cos2x的最小正周期为；命题q：函数f（x）=sin（x+）的图象的一条对称轴是x=对称则下列判断正确的是（）Ap为真Bq为假Cpq为真Dpq为假4已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，在下列条件中，可得出的是（）Amn，m，nBmn，m，nCmn，m，nDmn，m，n5已知F1，F2分别是双曲线x2的=1左、右焦点，P是双曲线上的一点，若|PF1|，|PF2|，|F1F2|构成公差为正数的等差数列，则F1PF2的面积为（）A24B22C18D126已知sin（）=，则cos（）=（）ABCD7若两个正实数x，y满足+=1，且x+2ym2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A（，2）4，+）B（，4）2，+）C（2，4）D（4，2）8过点（4，0）且斜率为的直线交圆x2+y24x=0于A，B两点，C为圆心，则的值为（）A6B8CD49已知数列an为等差数列，Sn是它的前n项和，若a1=2，S4=20，则S6=（）A32B36C40D4210已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率等于（）ABCD11实数x，y满足不等式组的取值范围是（）A，1）B1，1）C（1，1）D12设定义域为R的函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解xi（i=1，2，3，4，5），则f（x1+x2+x3+x4+x5+2）=（）ABC2D1二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是14已知抛物线 y2=8x的焦点与双曲线y2=1的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为15设数列an是首项为1，公比为3的等比数列a1+|a2|+a3+|a4|+a5=16已知实数a，b满足2a+1+2b+1=4a+4b，则a+b的取值范围是三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）17在ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC（1）求A+C的值；（2）若，求ABC面积的最大值18如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点 求证：（1）PA平面BDE；（2）BD平面PAC19已知抛物线y2=2px（p0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4（1）求t，p的值；（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标20已知椭圆E： =1（ab0）的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6（1）求椭圆E的方程；（2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T证明：线段OT的长为定值21设aR，函数f（x）=lnxax（1）若a=2，求曲线y=f（x）在P（1，2）处的切线方程；（2）若f（x）无零点，求实数a的取值范围；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：x1x2e2请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1：几何证明选讲22如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC（1）求证：APMABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形选修4-4：极坐标与参数方程选讲23在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（）求C2的方程；（）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|3x1|+ax+3（）若a=1，解不等式f（x）4；（）若函数f（x）有最小值，求a的取值范围参考答案与试题解析一.选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1已知i为虚数单位，复数满足（1+i）z=1i，则|=（）ABCD2【考点】复数求模【分析】利用复数的模的性质化简求解即可【解答】解：因为|=|z|，（1+i）z=1i，所以|1+i|z|=|1i|，可得|z|=则|=故选：C2集合A=x|ln（xl）0，B=x|x29，则AB=（）A（2，3）B2，3）C（2，3D2，3【考点】对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算【分析】集合A与B的公共元素构成集合AB，由此利用A=x|ln（xl）0=x|=x|x2，B=x|x29=x|3x3，能求出AB【解答】解：A=x|ln（xl）0=x|=x|x2，B=x|x29=x|3x3，AB=x|2x3=（2，3故选C3设命题p：函数y=cos2x的最小正周期为；命题q：函数f（x）=sin（x+）的图象的一条对称轴是x=对称则下列判断正确的是（）Ap为真Bq为假Cpq为真Dpq为假【考点】余弦函数的图象；正弦函数的图象【分析】利用周期公式和对称轴公式计算两个函数的周期和对称轴，判断命题p，q的真假【解答】解：函数y=cos2x的最小正周期为，所以命题p为假命题f（）=sin=1，直线x=是f（x）的一条对称轴，即命题q为真命题q为假，pq为假，pq为真故选：B4已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，在下列条件中，可得出的是（）Amn，m，nBmn，m，nCmn，m，nDmn，m，n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据面面垂直的判定定理分别进行判断即可【解答】解：A当mn，m时，n或n，若n，则无法判断成立，所以A错误Bmn，m，则n，若n，所以，所以B错误C若mn，m，则n与关系不确定，所以即使n，则无法判断成立，所以C错误D若n，mn，所以m，又m，所以，所以D正确故选D5已知F1，F2分别是双曲线x2的=1左、右焦点，P是双曲线上的一点，若|PF1|，|PF2|，|F1F2|构成公差为正数的等差数列，则F1PF2的面积为（）A24B22C18D12【考点】双曲线的简单性质【分析】本题首先要根据双曲线的定义写出|PF1|，|PF2|所满足的条件，再根据|PF1|，|PF2|，|F1F2|依次成公差为正数的等差数列写出另一个等式，两式组成方程组，解出三角形三边的长度，问题转化为已知三边求面积的问题【解答】解：|PF1|，|PF2|，|F1F2|依次成公差为正数的等差数列，2|PF2|=|PF1|+|F1F2|，|PF2|PF1|=2a，|PF2|=2（ca）=8，|PF1|=2c4a=6，|F1F2|=10，PF1PF2，F1PF2的面积=24，故选：A6已知sin（）=，则cos（）=（）ABCD【考点】两角和与差的余弦函数【分析】运用、的诱导公式，计算即可得到【解答】解：sin（）=，即为sin（）=，即有sin（+）=，即cos（）=故选A7若两个正实数x，y满足+=1，且x+2ym2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A（，2）4，+）B（，4）2，+）C（2，4）D（4，2）【考点】基本不等式【分析】由题意和基本不等式可得x+2y的最小值，再由恒成立可得m的不等式，解不等式可得m范围【解答】解：正实数x，y满足+=1，x+2y=（x+2y）（+）=4+4+2=8，当且仅当=即x=4且y=2时x+2y取最小值8，x+2ym2+2m恒成立，8m2+2m，解关于m的不等式可得4m2故选：D8过点（4，0）且斜率为的直线交圆x2+y24x=0于A，B两点，C为圆心，则的值为（）A6B8CD4【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算【分析】直线方程为y=（x4），代入x2+y24x=0，可得x25x+4=0，求出AB，可得CAB=30，利用向量的数量积公式，求出的值【解答】解：由题意，直线方程为y=（x4），代入x2+y24x=0，可得x25x+4=0，x=1或4，|AB|=2，圆的半径为2，CAB=30，=2=6，故选：A9已知数列an为等差数列，Sn是它的前n项和，若a1=2，S4=20，则S6=（）A32B36C40D42【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列的前n项和公式求出公差，由此能求出前6项和【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，a1=2，S4=20，解得d=2，S6=62+2=42故选：D10已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率等于（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】利用全身心的渐近线方程，列出关系式，求解离心率即可【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程是y=x，可得=，可得，解得e=故选：C11实数x，y满足不等式组的取值范围是（）A，1）B1，1）C（1，1）D【考点】简单线性规划的应用【分析】确定不等式组表示的可行域，明确目标函数的几何意义，根据图形可得结论【解答】解：不等式组表示的可行域如图，目标函数的几何意义是（x，y）与（1，1）两点连线的斜率由（1，0）和（1，1），可得斜率为=直线xy=0的斜率为1由图可知目标函数的取值范围为，1）故选A12设定义域为R的函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解xi（i=1，2，3，4，5），则f（x1+x2+x3+x4+x5+2）=（）ABC2D1【考点】分段函数的应用【分析】画出f（x）的图象，由图象可知，令f（x）=t，则t2+bt+c=0有两个不等的实数根，且其中一个为2，由于lg|x2|的图象关于直线x=2对称，且其中一个解为2，即有x1+x2+x3+x4+x5=10，再由对数的运算性质即可得到答案【解答】解：画出f（x）的图象，由于关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，令f（x）=t，则t2+bt+c=0有两个不等的实数根，且其中一个为2，画出直线y=m（m2），得到5个交点，其横坐标为x1，x2，x3，x4，x5，设x3=2，且x1x2x3x4x5，由于y=lg|x2|的图象关于直线x=2对称，则x1+x5=x2+x4=4，即有x1+x2+x3+x4+x5=10，则f（x1+x2+x3+x4+x5+2）=f（12）=lg10=1，故选：D二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是2+2【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是侧棱垂直于底面的三棱锥，根据题意画出图形，结合图形求出它的表面积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的三棱锥，且侧棱PC底面ABC；所以，SABC=22=2，SPAC=SPBC=1=，SPAB=2=；所以，该三棱锥的表面积为S=2+2+=2+2故答案为：14已知抛物线 y2=8x的焦点与双曲线y2=1的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为【考点】圆锥曲线的共同特征；双曲线的简单性质【分析】先确定抛物线的焦点坐标，可得双曲线的焦点坐标，从而可求双曲线的离心率【解答】解：抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0）抛物线y2=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，a2+1=4，a=e=故答案为：15设数列an是首项为1，公比为3的等比数列a1+|a2|+a3+|a4|+a5=121【考点】等比数列的前n项和【分析】根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a1+|a2|+a3+|a4|+a5的值【解答】解：数列an是首项为1，公比为3的等比数列，an=a1qn1=（3）n1，a1=1，a2=3，a3=9，a4=27，a5=81，则a1+|a2|+a3+|a4|=1+3+9+27+81=121故答案是：12116已知实数a，b满足2a+1+2b+1=4a+4b，则a+b的取值范围是（，2【考点】有理数指数幂的化简求值【分析】由已知得（2a1）2+（2b1）2=2，借助圆的参数方程得到2a+2b=2+=2+2sin（），由此利用均值定理能求出a+b的取值范围【解答】解：实数a，b满足2a+1+2b+1=4a+4b，22a+22b=（2a）2+（2b）2，（2a1）2+（2b1）2=2，2a+2b=2+=2+2sin（）02a+2b4，=，（）2=4=22a+b2故答案为：（，2三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）17在ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC（1）求A+C的值；（2）若，求ABC面积的最大值【考点】正弦定理【分析】（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，从而cosBsinC=sinCsinB，由此能求出A+C的值（2）由余弦定理得到：b2=a2+c22accosB，从而，当且仅当时“=”成立，由此能求出ABC面积的最大值【解答】解：（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC因为在三角形中，sinA=sin（B+C）=sin（B+C）所以sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC所以cosBsinC=sinCsinB因为C（0，），sinC0，所以cosB=sinB即tanB=1，B（0，）所以即（2）由余弦定理得到：b2=a2+c22accosB，所以，所以即当且仅当a=c即时“=”成立，而，所以ABC面积的最大值为18如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点 求证：（1）PA平面BDE；（2）BD平面PAC【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）连接OE，根据三角形中位线定理，可得PAEO，进而根据线面平行的判定定理，得到PA平面BDE（2）根据线面垂直的定义，可由PO底面ABCD得到BDPO，结合四边形ABCD是正方形及线面垂直的判定定理可得BD平面PAC【解答】证明（1）连接OE，在CAP中，CO=OA，CE=EP，PAEO，又PA平面BDE，EO平面BDE，PA平面BDE（2）PO底面ABCD，BD平面ABCD，BDPO又四边形ABCD是正方形，BDACACPO=O，AC，PO平面PACBD平面PAC19已知抛物线y2=2px（p0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4（1）求t，p的值；（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）利用抛物线y2=2px （p0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4，根据抛物线的定义，可求t，p的值；（2）设直线AB的方程为x=my+t，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合，可求t的值，即可求出该定点P的坐标【解答】解：（1）由抛物线定义得，所以抛物线方程为y2=4x，代入点T（3，t），可解得（2）设直线AB的方程为x=my+n，联立消元得：y24my4n=0，则：y1+y2=4m，y1y2=4n由得：，所以：y1y2=20或y1y2=4（舍去）即4n=20n=5，所以直线AB的方程为x=my+5，所以直线AB过定点P（5，0）20已知椭圆E： =1（ab0）的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6（1）求椭圆E的方程；（2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T证明：线段OT的长为定值【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质【分析】（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）利用直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理即可得出【解答】解：（1）由题意可得，解得椭圆E的方程为（2）有（1）可知：A1（0，1），A2（0，1），设P（x0，y0），则则直线PA1的方程为，令y=0，得xN=；直线PA2的方程为，令y=0，得由切割线定理可得：|OT|2=|OM|ON|=4，|OT|=2，即线段OT的长为定值221设aR，函数f（x）=lnxax（1）若a=2，求曲线y=f（x）在P（1，2）处的切线方程；（2）若f（x）无零点，求实数a的取值范围；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：x1x2e2【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）先确定函数f（x）的定义域，然后对函数f（x）求导，根据导函数求出f（1）=1，得到切线方程（2）当a0时，函数有零点；当a0时，极大值小于0，函数没有零点，由此可求实数a的取值范围（3）由于f（x）有两个相异零点x1，x2，可知f（x1）=0，f（x2）=0，再原不等式x1x2e2进一步整理得到，只要能证出上述不等式恒成立即可【解答】解：在区间（0，+）上，（1）当a=2时，f（1）=12=1，则切线方程为y（2）=（x1），即x+y+1=0 （2）若a0，则f（x）0，f（x）是区间（0，+）上的增函数，f（1）=a0，f（ea）=aaea=a（1ea）0，f（1）f（ea）0，函数f（x）在区间（0，+）有唯一零点若a=0，f（x）=lnx有唯一零点x=1若a0，令f（x）=0得：在区间（0，）上，f（x）0，函数f（x）是增函数；在区间（，+）上，f（x）0，函数f（x）是减函数；故在区间（0，+）上，f（x）的极大值为f（）=由于f（x）无零点，须使，解得：故所求实数a的取值范围是（，+）（3）设x1x20，f（x1）=0，f（x2）=0，lnx1ax1=0，lnx2ax2=0，lnx1lnx2=a（x1x2），lnx1+lnx2=a（x1+x2）原不等式x1x2e2等价于lnx1+lnx22a（x1+x2）2令，则t1，于是设函数，求导得：，故函数g（t）是（1，+）上的增函数，g（t）g（1）=0即不等式成立，故所证不等式x1x2e2成立请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1：几何证明选讲22如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC（1）求证：APMABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定【分析】（I）由切割线定理，及N是PM的中点，可得PN2=NANB，进而=，结合PNA=BNP，可得PNABNP，则APN=PBN，即APM=PBA；再由MC=BC，可得MAC=BAC，再由等角的补角相等可得MAP=PAB，进而得到APMABP（II）由ACD=PBN，可得PCD=CPM，即PMCD；由APMABP，PM是圆O的切线，可证得MCP=DPC，即MCPD；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形【解答】证明：（）PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，MN2=PN2=NANB，=，又PNA=BNP，PNABNP，APN=PBN，即APM=PBA，MC=BC，MAC=BAC，MAP=PAB，APMABP（）ACD=PBN，ACD=PBN=APN，即PCD=CPM，PMCDAPMABP，PMA=BPAPM是圆O的切线，PMA=MCP，PMA=BPA=MCP，即MCP=DPC，MCPD，四边形PMCD是平行四边形选修4-4：极坐标与参数方程选讲23在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（）求C2的方程；（）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|【考点】简单曲线的极坐标方程；轨迹方程【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线=与C1的交点A的极径为1，以及射线=与C2的交点B的极径为2，最后根据|AB|=|21|求出所求【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（为参数）（）曲线C1的极坐标方程为=4sin，曲线C2的极坐标方程为=8sin射线=与C1的交点A的极径为1=4sin，射线=与C2的交点B的极径为2=8sin所以|AB|=|21|=选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|3x1|+ax+3（）若a=1，解不等式f（x）4；（）若函数f（x）有最小值，求a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）需要去掉绝对值，得到不等式解得即可，（）把含所有绝对值的函数，化为分段函数，再根据函数f（x）有最小值的充要条件，即可求得【解答】解：（）当a=1时，f（x）=|3x1|+x+3，当x时，f（x）4可化为3x1+x+34，解得；当x时，f（x）4可化为3x+1+x+34，解得综上可得，原不等式的解集为x|，（）f（x）=|3x1|+ax+3=函数f（x）有最小值的充要条件为，即3a3xx11月20日