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2019-2020年高考数学四海八荒易错集专题07三角变换及解三角形理1若tan,则cos22sin2等于()A.B.C1D.答案A解析tan,则cos22sin2.2在ABC中,若AB,BC3,C120,则AC等于()A1B2C3D4答案A3方程3sinx1cos2x在区间0,2上的解为_答案,解析3sinx22sin2x,即2sin2x3sinx20,(2sinx1)(sinx2)0,sinx,x,.4在锐角三角形ABC中,若sinA2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是_答案8解析在ABC中,ABC,sinAsin(BC)sin(BC),由已知,sinA2sinBsinC,sin(BC)2sinBsinC.sinBcosCcosBsinC2sinBsinC,A,B,C全为锐角,两边同时除以cosBcosC得:tanBtanC2tanBtanC.又tanAtan(BC).tanA(tanBtanC1)tanBtanC.则tanAtanBtanCtanAtanBtanC,tanAtanBtanCtanAtanBtanCtanA2tanBtanC2,2,tanAtanBtanC8.5在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA,sinBcosC,并且a,则ABC的面积为_答案解析先把条件中角B的函数转化为角A与C的函数,求出sinC,然后用正弦定理求c,再利用SacsinB求面积因为0A0,(当且仅当tan2时等号成立),故的最大值为.7如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD_m.答案1008已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a2,且(ab)(sinAsinB) (cb)sinC,则ABC面积的最大值为_答案解析,a2,又(ab)(sinAsinB)(cb)sinC,可化为(ab)(ab)(cb)c,a2b2c2bc,b2c2a2bc.cosA,A60.ABC中,4a2b2c22bccos60b2c2bc2bcbcbc(“”当且仅当bc时取得),SABCbcsinA4.9已知函数f(x)sinxcosxcos2x(0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)在ABC中,sinB,sinA,sinC成等比数列,求此时f(A)的值域 (2)由(1)知f(x)sin(3x),易得f(A)sin(3A).因为sinB,sinA,sinC成等比数列,所以sin2AsinBsinC,所以a2bc,所以cosA(当且仅当bc时取等号),因为0A,所以0A,所以3A,所以sin(3A)1,所以1sin(3A),所以函数f(A)的值域为(1,易错起源1、三角恒等变换例1、(1)已知为锐角,若cos,则cos_.(2)已知sin,sin(),均为锐角,则角等于()A.B.C.D.答案(1)(2)C (2)因为,均为锐角,所以.又sin(),所以cos().又sin,所以cos,所以sinsin()sincos()cossin()().所以.【变式探究】(1)已知sin,cos2,则sin等于()A.BCD.(2)等于()A4B2C2D4答案(1)D(2)D解析(1)由sin,得sincoscossin,即sincos,又cos2,所以cos2sin2,即(cossin)(cossin),因此cossin.由得sin,故选D.(2)4,故选D.【名师点睛】(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,三角恒等变换公式的熟记和灵活应用,要善于观察各个角之间的联系,发现题目所给条件与恒等变换公式的联系,公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换,防止出现张冠李戴的情况(2)求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解【锦囊妙计,战胜自我】1三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”2三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换:特别是“1”的代换,1sin2cos2tan45等;(2)项的分拆与角的配凑:如sin22cos2(sin2cos2)cos2,()等;(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;(4)弦、切互化:一般是切化弦易错起源2、正弦定理、余弦定理例2、(1)(xx课标全国丙)在ABC中,B,BC边上的高等于BC,则cosA等于()A.B.CD(2)(xx北京)在ABC中,a3,b,A,则B_.答案(1)C(2)解析(1)设ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由题意得SABCaaacsinB,ca.由余弦定理得b2a2c22accosBa2a22aaa2,ba.cosA.故选C.(2)由正弦定理得sinB,因为A为钝角,所以B.【变式探究】如图,在ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍(1)求;(2)若AD1,DC,求BD和AC的长解(1)SABDABADsinBAD,SADCACADsinCAD.因为SABD2SADC,BADCAD,所以AB2AC.由正弦定理可得.(2)因为SABDSADCBDDC,所以BD.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2AD2BD22ADBDcosADB,AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26,由(1)知AB2AC,所以AC1.【名师点睛】关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正弦、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口【锦囊妙计,战胜自我】1正弦定理:在ABC中,2R(R为ABC的外接圆半径)变形:a2RsinA,sinA,abcsinAsinBsinC等2余弦定理:在ABC中,a2b2c22bccosA;变形:b2c2a22bccosA,cosA.易错起源3、解三角形与三角函数的综合问题例3(xx山东)设f(x)sinxcosxcos2.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f0,a1,求ABC面积的最大值解(1)由题意知f(x)sin2x.由2k2x2k,kZ,可得kxk,kZ;由2k2x2k,kZ,可得kxk,kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ);单调递减区间是(kZ)【变式探究】已知函数f(x)cos2x2sinxcosxsin2x.(1)求f(x)的最小正周期和值域;(2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若f()2且a2bc,试判断ABC的形状解(1)f(x)cos2x2sinxcosxsin2xsin2xcos2x2sin(2x),所以T,f(x)2,2(2)因为f()2sin(A)2,所以sin(A)1.因为0A0,cosA.又0A180,A60,由b2c得a2c20,ac.因此,ABC为等边三角形,故选C.4已知ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a2bcosA,B,c1,则ABC的面积等于()A.B.C.D.答案C5若sin2,sin(),且,则的值是()A.B.C.或D.或答案A解析sin2,cos2且,又sin(),cos(),sin()sin()2sin()cos2cos()sin2,cos()cos()2cos()cos2sin()sin2,又,故选A.6已知tan4,则的值为_答案解析.7在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ABC的面积为3,bc2,cosA,则a的值为_答案8解析cosA,0A,sinA,SABCbcsinAbc3,bc24,又bc2,b22bcc24,b2c252,由余弦定理得,a2b2c22bccosA5222464,a8.8如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60,C点的仰角CAB45以及MAC75;从C点测得MCA60.已知山高BC100m,则山高MN_m.答案1509在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,bc,且sin2Csin2BsinBcosBsinCcosC.(1)求角A的大小;(2)若a,sinC,求ABC的面积解(1)由题意得sin2Bsin2C,整理得sin2Bcos2Bsin2Ccos2C,即sin(2B)sin,由bc,得BC,又BC(0,),得2B2C,即BC,所以A.(2)因为a,sinC,由正弦定理,得c.由ca,得CA,从而cosC,故sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC.所以ABC的面积为SacsinB()10已知函数f(x)sincoscos2.(1)若f(x)1,求cos(x)的值;(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足acosCcb,求f(B)的取值范围 (2)由acosCcb,得acb,即b2c2a2bc,所以cosA.因为A(0,),所以A,BC,所以0B,所以,所以f(B)sin()(1,)所以f(B)的取值范围是(1,)
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