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2019-2020年高考数学函数与方程思想专题突破教案典例分析:1、记函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg(xa1)(2ax)(a1) 的定义域为B.(1) 求A; (2) 若BA, 求实数a的取值范围. (难度:) 解:(1)20, 得0, x0, 得(xa1)(x2a)0.a2a, B=(2a,a+1).BA, 2a1或a+11, 即a或a2, 而a1,a1或a2, 故当BA时, 实数a的取值范围是(,2,1) 2、已知函数,常数 (1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;(2)若函数在上为增函数,求的取值范围 解:(1)当时, 对任意, 为偶函数 当时, 取,得 , , 函数既不是奇函数,也不是偶函数 (2)解法一:设, , 要使函数在上为增函数,必须恒成立 ,即恒成立 又, 的取值范围是 解法二:当时,显然在为增函数 当时,反比例函数在为增函数,在为增函数 当时,同解法一 (难度)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)x22x ()求函数g(x)的解析式; ()解不等式g(x)f(x)|x1|; ()若h(x)g(x)f(x)1在1,1上是增函数,求实数的取值范围解:(I)设函数的图象上任一点关于原点的对称点为,则 即 .点在函数的图象上. 即 故g(x).(II)由可得:当1时,此时不等式无解。当时,因此,原不等式的解集为-1, . (III) 当时,在-1,1上是增函数,当时,对称轴的方程为(i) 当时,解得。(ii)当时,1时,解得综上, (难度)设函数在上满足,且在闭区间0,7上,只有()试判断函数的奇偶性;()试求方程=0在闭区间-xx,xx上的根的个数,并证明你的结论.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;I) (II) 又故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,xx上有402个解,在-xx.0上有400个解,所以函数在-xx,xx上有802个解. (难度)3、设(且),g(x)是f(x)的反函数.()求;()当时,恒有成立,求t的取值范围;(难度)4、已知函数 (I)求在区间上的最大值(II)是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由。分析:本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查运算能力,考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。解:(I)当即时,在上单调递增,当即时,当时,在上单调递减,综上,(II)函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点,即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时,是增函数;当时,是减函数;当时,是增函数;当或时,当充分接近0时,当充分大时,要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须即所以存在实数,使得函数与的图象有且只有三个不同的交点,的取值范围为 (难度)5、已知函数在点x0处取得极大值5,其导函数的图象经过点(1,0),(2,0)如图所示,求(I)x0的值;(II)a ,b ,c的值。 (难度)=6、已知函数,其中()当时,求曲线在点处的切线方程;()当时,求函数的单调区间与极值 分析:本小题考查导数的几何意义,两个函数的和、差、积、商的导数,利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法满分12分 ()解:当时,又,所以,曲线在点处的切线方程为,即()解:由于,以下分两种情况讨论(1)当时,令,得到,当变化时,的变化情况如下表:00极小值极大值所以在区间,内为减函数,在区间内为增函数函数在处取得极小值,且,函数在处取得极大值,且(2)当时,令,得到,当变化时,的变化情况如下表:00极大值极小值所以在区间,内为增函数,在区间内为减函数函数在处取得极大值,且函数在处取得极小值,且已知函数的图象在点M(1,f(x))处的切线方程为x+2y+5=0.()求函数y=f(x)的解析式;()求函数y=f(x)的单调区间. 解:(1)由函数f(x)的图象在点M(1f(1))处的 切线方程为x+2y+5=0,知 (难度)设函数,曲线在点处的切线方程为.(1)求的解析式;(2)证明:曲线的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心;(3)证明:曲线上任一点处的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值,并求出此定值.【解析】:(),于是解得或因,故 (II)证明:已知函数都是奇函数,所以函数也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形。而函数。可知,函数的图像按向量a=(1,1)平移,即得到函数的图象,故函数的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形。(III)证明:在曲线上任一点.由知,过此点的切线方程为.令得,切线与直线交点为.令得,切线与直线交点为.直线与直线的交点为(1,1).从而所围三角形的面积为.所以, 所围三角形的面积为定值2.【点评】:本题是函数与导数的综合题,主要考查导数的应用,以及函数的有关性质,以及函数与方程的思想,以及分析问题与解决问题的能力. (难度)7、已知求函数的单调区间. (难度) 解:函数f(x)的导数:(I)当a=0时,若x0,则0,则0.所以当a=0时,函数f(x)在区间(,0)内为减函数,在区间(0,+)内为增函数.(II)当 由所以,当a0时,函数f(x)在区间(,)内为增函数,在区间(,0)内为减函数,在区间(0,+)内为增函数;(III)当a0,解得0x,由2x+ax20,解得x.所以当a0时,函数f(x)在区间(,0)内为减函数,在区间(0,)内为增函数,在区间(,+)内为减函数.已知函数,()讨论函数的单调区间;()设函数在区间内是减函数,求的取值范围解:(1)求导:当时,在上递增当,求得两根为即在递增,递减,递增(2),且解得: (难度)8、设为实数,函数。 ()求的单调区间与极值;()求证:当且时,。 (难度)设函数f(x)(x1)ln(x1),若对所有的x0,都有f(x)ax成立,求实数a的取值范围解法一:令g(x)(x1)ln(x1)ax,对函数g(x)求导数:g(x)ln(x1)1a令g(x)0,解得xea11, 5分(i)当a1时,对所有x0,g(x)0,所以g(x)在0,)上是增函数,又g(0)0,所以对x0,都有g(x)g(0),即当a1时,对于所有x0,都有f(x)ax 9分(ii)当a1时,对于0xea11,g(x)0,所以g(x)在(0,ea11)是减函数,又g(0)0,所以对0xea11,都有g(x)g(0),即当a1时,不是对所有的x0,都有f(x)ax成立综上,a的取值范围是(,1 12分解法二:令g(x)(x1)ln(x1)ax,于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立3分对函数g(x)求导数:g(x)ln(x1)1a令g(x)0,解得xea11, 6分当x ea11时,g(x)0,g(x)为增函数,当1xea11,g(x)0,g(x)为减函数, 9分所以要对所有x0都有g(x)g(0)充要条件为ea110由此得a1,即a的取值范围是(,19、已知函数,的导函数是,对任意两个不相等的正数,证明: ()当时, ()当时,分析:本小题主要考查导数的基本性质和应用,函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力,满分14分。 证明:()由 得 而 又 由、得即()证法一:由,得下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立即证成立设,则令得,列表如下:极小值 对任意两个不相等的正数,恒有证法二:由,得是两个不相等的正数设,则,列表:极小值 即 即对任意两个不相等的正数,恒有已知函数f(x)=ln(1+x)x,g(x)=xlnx.()求函数f(x)的最大值;()设0ab,证明0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.分析:本小题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力,满分14分. ()解:函数的定义域为. 令 当 当 又 故当且仅当x=0时,取得最大值,最大值为0. ()证法一: 由()结论知由题设 因此 所以 又综上 证法二:设 则 当 在此内为减函数.当上为增函数.从而,当有极小值因此 即 设 则 当 因此上为减函数.因为 即 已知函数的图象在点处的切线方程为()用表示出,;()若在上恒成立,求的取值范围;()证明:1+)(n1)
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