2019-2020年高三最后一卷（临门一脚）数学试题含答案.doc

2019-2020年高三最后一卷（临门一脚）数学试题含答案参考公式：棱锥的体积公式：，其中S为锥体的底面积，h为高一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应的位置上1已知集合A=1，k-1，B=2，3，且AB=2，则实数k的值为 2若复数z满足iz=2(i为虚数单位)，则z= 3不等式组所表示的平面区域的面积为 4函数y=sin2x的最小正周期为 5若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥A-BDA1的体积为 6已知函数若f(x)=5，则x= 7设函数f(x)=log2x(0x5)，则f(x)2y0，则的最小值为 12设tR，t表示不超过t的最大整数则在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2=13的点P(x，y)所围成的图形的面积为 13设函数f(x)满足f(x)=f(3x)，且当x时，f(x)=lnx若在区间内，存在3个不同的实数x1，x2，x3，使得=t，则实数t的取值范围为 14设各项均为正整数的无穷等差数列an，满足a54=xx，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）如图，在ABC中，|=3，|=5，|=7(第15题图)BACD(1)求C的大小；(2)设D为AB的中点，求CD的长16（本小题满分14分）如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆上，四边形ABCD为矩形，ABEF，BAF=，M为BD的中点，平面ABCD平面ABEF求证：(第16题图)ACDFEMOB(1)BF平面DAF；(2)ME平面DAF17（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4若凹槽的强度T等于横截面的面积与边的乘积，设AB=2x，BC=y(1)写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；(第17题图)图1图2ABCDm(2)求当x取何值时，凹槽的强度T最大18（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(ab0)过点(1，1)(1)若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；(2)若椭圆上两动点P，Q，满足OPOQ 已知命题：“直线PQ恒与定圆C相切”是真命题，试直接写出圆C的方程；(不需要解答过程) 设中的圆C交y轴的负半轴于M点，二次函数y=x2-m的图象过点M点A，B在该图象上，当A，O，B三点共线时，求MAB的面积S的最小值19（本小题满分16分）设数列an，a1=1，数列bn，正数数列dn，(1)求证：数列bn为等差数列；(2)设数列bn，dn的前n项和分别为Bn，Dn，求数列bnDn+dnBn-bndn的前n项和Sn20（本小题满分16分）设函数f(x)=ax2+ex(aR)有且仅有两个极值点x1，x2(x1x2)(1)求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a满足f(x1)=?如存在，求f(x)的极大值；如不存在，请说明理由数学（附加题）21【选做题】本题包括A、B、C、D共4小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲（本小题满分10分）OAECDBF(第21A图)如图，O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交O于点E，连结BE与AC交于点F，求证BE平分ABCB选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵，A的两个特征值为，=3(1)求a，b的值；(2)求属于的一个特征向量C选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）圆C的参数方程为(q为参数)，设P是圆C与x轴正半轴的交点以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系设过点P的圆C的切线为l，求直线l的极坐标方程D选修45：不等式选讲（本小题满分10分）已知a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，求的最大值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）(1)计算：；(2)观察下面一组组合数等式：； 由以上规律，请写出第k(kN*)个等式并证明23（本小题满分10分）设数列an，bn满足a1=b1，且对任意正整数n，an中小于等于n的项数恰为bn；bn中小于等于n的项数恰为an(1)求a1；(2)求数列an的通项公式南通市xx高三数学临门一脚参考答案与评分建议数学I参考公式：棱锥的体积公式：，其中S为锥体的底面积，h为高一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应的位置上1已知集合A=1，k-1，B=2，3，且AB=2，则实数k的值为 答案：32若复数z满足iz=2(i为虚数单位)，则z= 答案：-2i3不等式组所表示的平面区域的面积为 答案：24函数y=sin2x的最小正周期为 答案：5若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥A-BDA1的体积为 答案：6已知函数若f(x)=5，则x= 答案：8或-27设函数f(x)=log2x(0x5)，则f(x)2y0，则的最小值为 答案：412设tR，t表示不超过t的最大整数则在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2=13的点P(x，y)所围成的图形的面积为 答案：813设函数f(x)满足f(x)=f(3x)，且当x时，f(x)=lnx若在区间内，存在3个不同的实数x1，x2，x3，使得=t，则实数t的取值范围为 答案：14设各项均为正整数的无穷等差数列an，满足a54=xx，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为 答案：92二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）如图，在ABC中，|=3，|=5，|=7(第15题图)BACD(1)求C的大小；(2)设D为AB的中点，求CD的长解：(1)依题意BC=3，CA=5，AB=71分由余弦定理，得= 4分因0C，6分故C=8分(2)由余弦定理，得11分在ADC中，AD=，CD2=AC2+AD2-2ACADcosA=，于是CD=14分16（本小题满分14分）(第16题图)ACDFEMOB如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆上，四边形ABCD为矩形，ABEF，BAF=，M为BD的中点，平面ABCD平面ABEF求证：(1)BF平面DAF；(2)ME平面DAF解：(1)因四边形ABCD为矩形，故DAAB因平面ABCD平面ABEF，且DA平面ABCD，平面ABCD平面ABEF=AB，故DA平面ABEF 3分因BF平面ABEF，故DABF 4分因AB为直径，故BFAF因DA，AF为平面DAF内的两条相交直线，故BF平面DAF7分(2)因BAF=，ABEF，故EF=8分取DA中点N，连NF，MN，因M为BD的中点，故MNAB，且MN=，于是四边形MNFE为平行四边形，所以MENF11分因NF平面DAF，ME平面DAF，故ME平面DAF14分注：第(2)问，亦可先证明ME平面MOE17（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4若凹槽的强度T等于横截面的面积与边的乘积，设AB=2x，BC=y(1)写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；(第17题图)图1图2ABCDm(2)求当x取何值时，凹槽的强度T最大解：(1)易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为x所以，4=2x+2y+x，得4分依题意，知：0xb0)过点(1，1)(1)若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；(2)若椭圆上两动点P，Q，满足OPOQ(2)若椭圆上两动点P，Q，满足OPOQ 已知命题：“直线PQ恒与定圆C相切”是真命题，试直接写出圆C的方程；(不需要解答过程) 设中的圆C交y轴的负半轴于M点，二次函数y=x2-m的图象过点M点A，B在该图象上，当A，O，B三点共线时，求MAB的面积S的最小值解：(1)由，所以2分设椭圆方程为，将(1，1)代入得，所以，椭圆方程为5分(2)9分由题意，二次函数为y=x2-110分设直线AB的方程为y=kx由，消去得，设，则，12分所以 14分当时，MAB的面积S的最小值为1 16分19（本小题满分16分）设数列an，a1=1，数列bn，正数数列dn，(1)求证：数列bn为等差数列；(2)设数列bn，dn的前n项和分别为Bn，Dn，求数列bnDn+dnBn-bndn的前n项和Sn解：(1)由，得又，所以3分又b1=a1=1，所以数列bn是以1为首项，1为公差的等差数列4分(2)由(1)得，Bn=6分因，故由dn0，得于是， 10分又当n2时，bnDn+dnBn-bndn=(Bn-Bn-1)Dn+(Dn-Dn-1)Bn-(Bn-Bn-1)(Dn-Dn-1)=BnDn-Bn-1Dn-1，所以Sn=(BnDn-Bn-1Dn-1)+(Bn-1Dn-1-Bn-2Dn-2)+(B2D2-B1D1)+B1D1=BnDn14分因S1=b1D1+d1B1-b1d1=B1D1也适合上式，故对于任意的nN*，都有Sn=BnDn所以Sn=BnDn= 16分20（本小题满分16分）设函数f(x)=ax2+ex(aR)有且仅有两个极值点x1，x2(x1x2)(1)求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a满足f(x1)=?如存在，求f(x)的极大值；如不存在，请说明理由解：(1)=2ax+ex显然a0，x1，x2是直线y=与曲线y=g(x)=两交点的横坐标2分由=0，得x=1列表：x(-，1)1(1，+)+0-g(x)g(x)max= 4分此外注意到：当x0时，g(x)0；当x0，1及x(1，+)时，g(x)的取值范围分别为0，和(0，)于是题设等价于0a，故实数a的取值范围为(-，)6分(2)存在实数a满足题设证明如下：由(1)知，0 x11x2，=2ax1+=0，故f(x1)=，故8分记R(x)=(0x0，0，而x1=(0，1)，故当a=时，f(x)极大=f(x1)=16分南通市xx高三数学临门一脚数学（附加题）21【选做题】本题包括A、B、C、D共4小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，O是三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交O于点E，连结BE与AC交于点F，求证BE平分ABCOAECDBF(第21A题图)解：因CD=AC，故D=CAD因AB=AC，故ABC=ACB因EBC=CAD，故EBC=D因ABC=ABE+EBC，ACB=D+CAD故ABE=EBC，即BE平分ABC 10分B选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵，A的两个特征值为，=3(1)求a，b的值；(2)求属于的一个特征向量解：(1)令，于是+=a+4，=4a+b解得a=1，b=2 5分(2)设=，则=3=，故解得x=y于是，=10分C选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）圆C的参数方程为(q为参数)，设P是圆C与x轴正半轴的交点以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系设过点P的圆C的切线为l，求直线l的极坐标方程解：由题设知，圆心，CPO=60，故过P点的切线的倾斜角为30 3分设是过P点的圆C的切线上的任一点，则在PMO中，MOP=，由正弦定理得，于是，即（或）即为所求切线的极坐标方程10分D选修45：不等式选讲（本小题满分10分）已知a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，求的最大值解：因 a、b、c0，故()2 = ()2(a+1)+(b+1)+(c+1)(1+1+1)=12，3分于是，当且仅当，即a=b=c=时，取“=”所以，的最大值为10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）(1)计算：；(2)观察下面一组组合数等式：； 由以上规律，请写出第k(kN*)个等式并证明解：(1)原式=20745分(2)等式为：，kN* 7分证明：=10分23（本小题满分10分）数列an，bn满足a1=b1，且对任意正整数n，an中小于等于n的项数恰为bn；bn中小于等于n的项数恰为an(1)求a1；(2)求数列an的通项公式解：(1)首先，容易得到一个简单事实：an与bn均为不减数列且anN，bnN若a1=b1=0，故an中小于等于1的项至少有一项，从而b11，这与b1=0矛盾若a1=b12，则an中没有小于或等于1的项，从而b1=0，这与b12矛盾所以，a1=14分(2)假设当n=k时，ak=bk=k，kN*若ak+1k+2，因an为不减数列，故an中小于等于k+1的项只有k项，于是bk+1=k，此时bn中小于等于k的项至少有k+1项(b1，b2，bk，bk+1)，从而akk+1，这与假设ak=k矛盾若ak+1=k，则an中小于等于k的项至少有k+1项(a1，a2，ak，ak+1)，于是bkk+1，这与假设bk=k矛盾所以，ak+1=k+1所以，当n=k+1时，猜想也成立综上，由(1)，(2)可知，an=bn=n对一切正整数n恒成立所以，an=n，即为所求的通项公式10分