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2019-2020年高一数学上册 二次函数综合问题例谈 沪教版二次函数是中学代数的基本内容之一,它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数,可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质,还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系;作为抛物线,可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系,使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.同时,有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系,是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此,从这个意义上说,有关二次函数的问题在高考中频繁出现,也就不足为奇了. 学习二次函数,可以从两个方面入手:一是解析式,二是图像特征. 从解析式出发,可以进行纯粹的代数推理,这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养;从图像特征出发,可以实现数与形的自然结合,这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题.1. 代数推理由于二次函数的解析式简捷明了,易于变形(一般式、顶点式、零点式等),所以,在解决二次函数的问题时,常常借助其解析式,通过纯代数推理,进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式中有三个参数. 解题的关键在于:通过三个独立条件“确定”这三个参数.例1已知,满足1且,求的取值范围.分析:本题中,所给条件并不足以确定参数的值,但应该注意到:所要求的结论不是的确定值,而是与条件相对应的“取值范围”,因此,我们可以把1和当成两个独立条件,先用和来表示. 解:由,可解得: (*)将以上二式代入,并整理得, .又,, .例2 设,若,, 试证明:对于任意,有.分析:同上题,可以用来表示.解: , , . 当时,当时,综上,问题获证. 1.2 利用函数与方程根的关系,写出二次函数的零点式例设二次函数,方程的两个根满足. 当时,证明.分析:在已知方程两根的情况下,根据函数与方程根的关系,可以写出函数的表达式,从而得到函数的表达式. 证明:由题意可知., , 当时,.又, ,综上可知,所给问题获证. 1.3 紧扣二次函数的顶点式对称轴、最值、判别式显合力例4 已知函数。(1)将的图象向右平移两个单位,得到函数,求函数的解析式;(2)函数与函数的图象关于直线对称,求函数的解析式;(3)设,已知的最小值是且,求实数的取值范围。解:(1)(2)设的图像上一点,点关于的对称点为,由点Q在的图像上,所以 ,于是 即 (3).设,则.问题转化为:对恒成立. 即 对恒成立. (*)故必有.(否则,若,则关于的二次函数开口向下,当充分大时,必有;而当时,显然不能保证(*)成立.),此时,由于二次函数的对称轴,所以,问题等价于,即,解之得:.此时,故在取得最小值满足条件.2 数形结合二次函数的图像为抛物线,具有许多优美的性质,如对称性、单调性、凹凸性等. 结合这些图像特征解决有关二次函数的问题,可以化难为易.,形象直观.2.1 二次函数的图像关于直线对称, 特别关系也反映了二次函数的一种对称性. 例5 设二次函数,方程的两个根满足. 且函数的图像关于直线对称,证明:.解:由题意 .由方程的两个根满足, 可得且, ,即 ,故 .2.2 二次函数的图像具有连续性,且由于二次方程至多有两个实数根. 所以存在实数使得且在区间上,必存在的唯一的实数根. 例6 已知二次函数,设方程的两个实数根为和. (1)如果,设函数的对称轴为,求证:;(2)如果,求的取值范围.分析:条件实际上给出了的两个实数根所在的区间,因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化. 解:设,则的二根为和.(1)由及,可得 ,即,即 两式相加得,所以,;(2)由, 可得 .又,所以同号. ,等价于或,即 或解之得 或.2.3 因为二次函数在区间和区间上分别单调,所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得;函数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得. 例7 已知二次函数,当时,有,求证:当时,有.分析:研究的性质,最好能够得出其解析式,从这个意义上说,应该尽量用已知条件来表达参数. 确定三个参数,只需三个独立条件,本题可以考虑,这样做的好处有两个:一是的表达较为简洁,二是由于正好是所给条件的区间端点和中点,这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的. 要考虑在区间上函数值的取值范围,只需考虑其最大值,也即考虑在区间端点和顶点处的函数值.解:由题意知:, , .由时,有,可得 . ,.(1)若,则在上单调,故当时, 此时问题获证. (2)若,则当时,又, 此时问题获证. 综上可知:当时,有. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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