2019-2020年高一下学期4月月考数学试题(V).doc

2019-2020年高一下学期4月月考数学试题(V)一、选择题1若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D过点P有且仅有一条直线与l、m都异面【答案】B2已知、为三条不重合的直线，下面有三个结论：若则；若则；若则.其中正确的个数为 ( ）A个B个C 个D 个 【答案】B3已知，表示两个互相垂直的平面，a，b表示一对异面直线，则ab的一个充分条件是()Aa，bBa，bCa，bDa，b【答案】D4 已知a，b是两条不重合的直线，是两个不重合的平面,下列命题中正确的是（ ）A ，则 B a，则C ，则 D当，且时，若，则【答案】C5已知三棱锥底面是边长为1的正三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为()ABC D【答案】D6 在正方体中，若是的中点，则直线垂直于（ ） A B C D 【答案】B7已知m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A若，m，且nm，则n或nB若m不垂直于 ，则m不可能垂直于内的无数条直线C若m，nm，且n，n，则n且nD若，mn，n，则m【答案】C8给出互不相同的直线m、n、l和平面、，下列四个命题：若m，lA，Am，则l与m不共面；若m、l是异面直线，l，m，且nl，nm，则n；若l，m，lmA，l，m，则；若l，m，则lm.其中真命题有()A4个B3个C2个D1个【答案】B9已知正四面体ABCD，设异面直线AB与CD所成的角为，侧棱AB与底面BCD所成的角为，侧面ABC与底面BCD所成的角为，则()ABCD【答案】B10已知点P，直线l，m，平面，.给定下列四个命题：若lm，m，则l；若，P，Pl，l，则l；若，l，则l；若异面直线l，m所成的角为40，m与所成的角为60，则l与所成角的范围是20，80其中真命题是()ABCD【答案】B11设P表示一个点，a、b表示两条直线，、表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()Pa，PaabP，baab，a，Pb，Pbb，P，PPbABCD【答案】D12如图，在ABC中，ABAC，若ADBC，则AB2BDBC；类似地有命题：在三棱锥ABCD中，AD面ABC，若A点在面BCD内的射影为M，则有SSBCMSBCD.上述命题是()A真命题B增加条件“ABAC”才是真命题C增加条件“M为BCD的垂心”才是真命题D增加条件“三棱锥ABCD是正三棱锥”才是真命题【答案】A二、填空题13如图132，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OAOB2，OC3，D为四面体OABC外一点给出下列命题图132不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形；不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；存在点D，使CD与AB垂直并且相等；存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是_【答案】14过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有_条【答案】615如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PAa，PBPDa，则它的5个面中，互相垂直的面有_对【答案】516已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成60二面角的平面截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为_【答案】13三、解答题17 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点，求证：四边形ECD1F是梯形【答案】如图，连结EF、A1B、D1C，D1F，EC.E、F分别是AB和AA1的中点，EF綊A1B.A1D1綊BC，四边形A1D1CB是平行四边形，A1B綊D1C，EF綊D1C，四边形ECD1F是梯形18四面体ABCD中，ACBD，E、F分别是AD、BC的中点，且EFAC，BDC90.求证：BD平面ACD.【答案】如图所示，取CD的中点G，连接EG、FG、EF.E、F分别为AD、BC的中点，EG綊AC，FG綊BD.又ACBD，EGFGAC.在EFG中，EG2FG2AC2EF2.EGFG.BDAC.又BDC90，即BDCD，ACCDC，BD平面ACD.19已知E和F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的点，且AEC1F，求证：四边形EBFD1是平行四边形【答案】如图所示，在DD1上取一点G，使D1GA1E，则易知A1E綊D1G，四边形A1EGD1为平行四边形，EG綊A1D1.又A1D1綊B1C1，B1C1綊BC，EG綊BC，四边形GEBC是平行四边形，EB綊GC.又D1G綊FC，四边形D1GCF是平行四边形，GC綊D1F，EB綊D1F，四边形EBFD1是平行四边形. 20一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；(2)证明：A1C平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论【答案】(1)几何体的直观图如图四边形BB1C1C是矩形，BB1CC1，BC1，四边形AA1C1C是边长为的正方形，且垂直于底面BB1C1C，其体积V1(2)ACB90，BCAC.三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，BCCC1.ACCC1C，BC平面ACC1A1，BCA1C.B1C1BC，B1C1A1C.四边形ACC1A1为正方形，A1CAC1.B1C1AC1C1，A1C平面AB1C1.(3)当E为棱AB的中点时，DE平面AB1C1.证明：如图，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE，D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，EFAB1. AB1平面AB1C1，EF平面AB1C1，EF平面AB1C1.同理可得FD平面AB1C1，又EFFDF，平面DEF平面AB1C.而DE平面DEF，DE平面AB1C1.21如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合(1)当CF1时，求证：EFA1C；(2)设二面角CAFE的大小为，求tan的最小值【答案】解法1：过E作ENAC于N，连结EF.(1)如图1，连结NF、AC1，由直棱柱的性质知，底面ABC侧面A1C，又底面ABC侧面A1CAC，且EN底面ABC.所以EN侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影在RtCNE中，CNCEcos601.则由，得NFAC1，又AC1A1C，故NFA1C.由三垂线定理知EFA1C.(2)如图2，连结AF，过N作NMAF于M，连结ME.由(1)知EN侧面A1C，根据三垂线定理得EMAF，所以EMN是二面角CAFE的平面角，即EMN，设FAC，则045.在RtCNE中，NEECsin60，在RtAMN中，MNANsin3sin，故tan又045，0sin故当sin，即当a45时，tan达到最小值，tan，此时F与C1重合解法2：(1)建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,4)，E(，3,0)，F(0,4,1)，于是(0，4,4)，(，1,1)，则(0，4,4)(，1,1)0440，故EFA1C.(2)设CF，(04)，平面AEF的一个法向量为m(x，y，z)，则由(1)得F(0,4，)，(，3,0)，(0,4，)，于是由m，m可得即取m(，4)又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为n(1,0,0)，于是由为锐角可得cos，sin，所以tan由04，得，即tan，故当4，即点F与点C1重合时，tan取得最小值22如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.(1)证明：AA1BD；(2)证明：CC1平面A1BD. 【答案】(1)证明：DD1平面ABCD，BD平面ABCD，DD1BD又AB2AD且BAD60由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcosBAD即BDAD，AD2BD2AB2，BDAD又ADDD1DBD平面ADD1A1，又AA1平面ADD1A1，BDAA1(2)连结AC，交BD于M，连结A1M，A1C1，底面ABCD是平行四边形，AMCMAC又AB2AD2A1B1A1G綊CM，即四边形A1MCC1是平行四边形；CC1AM1，又CC1平面A1BD，A1M平面A1BDCC1平面A1BD.