2019-2020年高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.8抛物线课时提升作业理.doc

2019-2020年高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.8抛物线课时提升作业理一、选择题(每小题5分,共25分)1.设抛物线y=x2上的一点P到x轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离为()A.3B.4C.5D.6【解题提示】由题意可得点P的纵坐标为4,由抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线y=-1的距离,由此求得结果.【解析】选C.由于抛物线y=x2上的一点P到x轴的距离是4,故点P的纵坐标为4.再由抛物线y=x2的准线为y=-1,结合抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离,故点P到该抛物线焦点的距离是4-(-1)=5.2.(xx邢台模拟)已知圆C:(x+1)2+y2=r2与抛物线D:y2=16x的准线交于A,B两点,且=8,则圆C的面积为()A.5B.9C.16D.25【解析】选D.设抛物线的准线交x轴于点E,则CE=3,所以r2=32+42=25,所以圆C的面积为25.【加固训练】设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若+=0,则|FA|+|FB|+|FC|等于()A.9B.6C.4D.3【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又F(1,0).由+=0知(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,即x1+x2+x3=3,|FA|+|FB|+|FC|=x1+x2+x3+p=6.3.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则POF的面积为()A.2B.2C.2D.4【解析】选C.抛物线C的方程为y2=4x,所以2p=4,可得=,得焦点F(,0).设P(m,n),根据抛物线的定义,得|PF|=m+=4,即m+=4,解得m=3.因为点P在抛物线C上,得n2=43=24,所以n=2,因为|OF|=,所以POF的面积S=|OF|n|=2=2.4.已知抛物线y2=4x的焦点F,A,B是抛物线上横坐标不相等的两点,若AB的垂直平分线与x轴的交点是(4,0),则|AB|的最大值为()A.2B.4C.6D.10【解题提示】可将|AB|与|AF|,|BF|之间的关系联系起来,再利用抛物线的定义求解.【解析】选C.因为抛物线y2=4x的焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),因为线段AB的垂直平分线恰过点M(4,0),所以|MA|2=|MB|2,即(4-x1)2+=(4-x2)2+,又=4x1,=4x2,代入并展开得:16-8x1+4x1=-8x2+16+4x2,即-=4x1-4x2,又x1x2,所以x1+x2=4,所以线段AB中点的横坐标为(x1+x2)=2,所以ABAF+BF=+=4+2=6(当A,B,F三点共线时取等号),即|AB|的最大值为6.5.(xx郑州模拟)已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为-2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=2C.x=-1D.x=-2【解析】选C.由题意可设直线方程为y=-,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程整理得y2+2py-p2=0,所以y1+y2=-2p.因为线段AB的中点的纵坐标为-2,所以=-2.所以p=2.所以抛物线的准线方程为x=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,且经过点M(-2,-4)的抛物线方程是.【解析】满足题意的抛物线应有两条,设为y2=ax或x2=by,将点M(-2,-4)的坐标代入求得y2=-8x或x2=-y.答案:y2=-8x或x2=-y7.抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=.【解析】如图,在等边三角形ABF中,DF=p,BD=p,所以B点坐标为.又点B在双曲线上,故-=1.解得p=6.答案:6【加固训练】已知直线l1:4x-3y+11=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是.【解析】因为x=-1恰为抛物线y2=4x的准线,所以可画图观察.如图,连接PF,过F作FQl1于点Q,d2=PF,所以d1+d2=d1+PFFQ=3.答案:38.已知过点P(4,0)的直线与抛物线y2=4x相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值是.【解析】当直线的斜率不存在时,直线方程为x=4,代入y2=4x,得交点为(4,4),(4,-4),所以+=16+16=32;当直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-4),与y2=4x联立,消去x得ky2-4y-16k=0,由题意,知k0,则y1+y2=,y1y2=-16.所以+=(y1+y2)2-2y1y2=+3232.综上知,(+)min=32.答案:32【误区警示】本题易出现最小值不存在的错误结论.其原因是忽略直线的斜率不存在的情况,从而得出错误的结论.三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点F(0,c)(c0)到直线y=2x的距离是.(1)求抛物线C的方程.(2)若直线y=kx+1(k0)与抛物线C交于A,B两点,设线段AB的中垂线与y轴交于点P(0,b),求实数b的取值范围.【解析】(1)由题意,=,故c=.所以抛物线C的方程为x2=2y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则由得x2-2kx-2=0.所以=4k2+80.所以x1+x2=2k,所以线段AB的中点坐标为(k,k2+1).线段AB的中垂线方程为y=-(x-k)+k2+1,即y=-x+k2+2.令x=0,得b=k2+2.所以b(2,+).10.(xx陕西高考)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(ab0,y0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y0)连接而成,C1,C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.(1)求a,b的值.(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于P,Q(均异于点A,B),若APAQ,求直线l的方程.【解析】(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左右顶点.设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.所以a=2,b=1.(2)由(1)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y0).易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设点P的坐标为(xP,yP),因为直线l过点B,所以x=1是方程(*)的一个根,由求根公式,得xP=,从而yP=,所以点P的坐标为.同理,由得Q点的坐标为(-k-1,-k2-2k).所以=(k,-4),=-k(1,k+2).因为APAQ,所以=0,即k-4(k+2)=0,因为k0,所以k-4(k+2)=0,解得k=-.经检验,k=-符合题意,故直线l的方程为y=-(x-1).(20分钟40分)1.(5分)(xx忻州模拟)若抛物线C:y2=2px(p0)上一点到焦点和x轴的距离分别为5和3,则此抛物线的方程为()A.y2=2xB.y2=(-4)xC.y2=2x或y2=18xD.y2=3x或y2=(-4)x【解析】选C.因为抛物线y2=2px(p0)上一点到x轴的距离为3,所以设该点为P,则点P的坐标为(x0,3),因为点P到抛物线的焦点F的距离为5,所以由抛物线的定义,得x0+=5(1)因为点P是抛物线上的点,所以2px0=9(2)由(1)(2)联立,解得p=1,x0=或p=9,x0=,则抛物线方程为y2=2x或y2=18x.2.(5分)已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=()A.B.C.D.【解析】选D.设抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)(k0)恒过定点P(-2,0).如图过A,B分别作AMl于M,BNl于N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,所以点B为AP的中点,连接OB,又因为点O是PF的中点,则|OB|=|AF|,所以|OB|=|BF|,所以点B的横坐标为1,故点B的坐标为,所以k=.3.(5分)(xx廊坊模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为直线l,过抛物线上一点P作PEl于点E,若直线EF的倾斜角为150,则|PF|=.【解析】由抛物线方程y2=4x,可得焦点F(1,0),准线l的方程为:x=-1.因为直线EF的倾斜角为150,所以k1=tan150=-.所以直线EF的方程为:y=-(x-1),联立解得y=.所以E.因为PEl于点E,所以yP=,代入抛物线的方程可得=4xP,解得xP=.所以|PF|=|PE|=xP+1=.答案:4.(12分)(xx安阳模拟)如图,已知抛物线y2=2px(p0)上点(2,a)到焦点F的距离为3,直线l:my=x+t(t0)交抛物线C于A,B两点,且满足OAOB.圆E是以(-p,p)为圆心,p为直径的圆.(1)求抛物线C和圆E的方程.(2)设点M为圆E上的任意一动点,求当动点M到直线l的距离最大时的直线方程.【解析】(1)由题意得2+=3,得p=2,所以抛物线C和圆E的方程分别为y2=4x;(x+2)2+(y-2)2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程整理得y2-4my+4t=0,由根与系数的关系得则x1x2=(my1-t)(my2-t)=m2y1y2-mt(y1+y2)+t2,由OAOB得x1x2+y1y2=0,即(m2+1)y1y2-mt(y1+y2)+t2=0,将代入上式整理得t2+4t=0,由t0得t=-4.故直线AB过定点N(4,0).所以当MNl,动点M经过圆心E(-2,2)时到直线l的距离d取得最大值.由kMN=-,得kl=3.此时的直线方程为l:y=3(x-4),即3x-y-12=0.5.(13分)(xx福建高考)已知点F为抛物线E:y2=2px(p0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程.(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.【解析】方法一:(1)由抛物线的定义得=2+,因为=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),所以kGA=,kGB=-,所以kGA+kGB=0,且AGF=BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.方法二:(1)同方法一.(2)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2),由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r=.又直线GB的方程为2x+3y+2=0,所以点F到直线GB的距离d=r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.