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2019-2020年高中数学 幂函数、零点与函数的应用 板块一 幂函数完整讲义（学生版）典例分析题型一：幂函数的定义【例1】 下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）A B C D【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 形如的函数叫做幂函数，答案为B【答案】B【例2】 11函数的定义域是 .【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】【例3】 如果幂函数的图象经过点，则的值等于（ ）. A. 16 B. 2 C. D. 【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D【例4】 幂函数的图象过点，则的值为 . 【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】【例5】 下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）. A. B. C. D.【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】B【例6】 下列命题中正确的是（ ）A当时函数的图象是一条直线B幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数D幂函数的图象不可能出现在第四象限【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 A错，当时函数的图象是一条直线（去掉点（0，1）；B错，如幂函数的图象不过点（0，0）；C错，如幂函数在定义域上不是增函数；D正确，当时，【答案】D【例7】 函数是幂函数，求的值.【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 幂函数需要保证系数为1，同时指数为有理数，从此两个条件入手，可以得到关于m的等式和不等式，从而解出m的值.是幂函数，函数可以写成如下形式(是有理数)，解得当时，时，的值域为-1或2.【点评】本题为幂函数的基本题目，注意不要忘了检验是有理数.【答案】-1或2【例8】 求函数的定义域.【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 这是几个幂函数的复合函数，求复合函数的定义域需要保证每一个函数都有意义，即分母不为0、被开方数大于等于0.使函数有意义，则必须满足，解得：且即函数的定义域为.【答案】【例9】 函数的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是（）【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 要使函数的定义域是全体实数，可转化为对一切实数都成立，即且解得故选（）【答案】【例10】 讨论幂函数(a为有理数)的定义域.【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)若，则，这是函数的定义域为.(2)若负整数 ，则，这时函数的定义域是(3)若 ，则：是偶数，这是函数的定义域是；是奇数，这时函数的定义域为(4)若，则：是偶数，这是函数的定义域是；是奇数，这时函数的定义域是. 【答案】(1)若，则，这是函数的定义域为.(2)若负整数 ，则，这时函数的定义域是(3)若 ，则：是偶数，这是函数的定义域是；是奇数，这时函数的定义域为(4)若，则：是偶数，这是函数的定义域是；是奇数，这时函数的定义域是. 【例11】 已知幂函数与的图象都与、轴都没有公共点，且的图象关于y轴对称，求的值【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 幂函数图象与、轴都没有公共点， ，解得.又 的图象关于y轴对称， 为偶数，即得.【答案】【例12】 幂函数是偶函数，且在上为增函数，求函数解析式.【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 是幂函数， ，解得.当时，是奇函数，不合题意；当时；是偶函数，在上为增函数；当时；是偶函数，在上为增函数.所以，或.【答案】或.【例13】 已知幂函数 的图形与轴对称，轴无交点，且关于轴对称，试确定的解析式.【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 由得和时解析式为，是解析式为【答案】题型二：幂函数的性质与应用【例14】 下列函数在区间上是增函数的是（ ）. A. B. C. D. 【考点】幂函数的性质与应用【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】B【例15】 下列函数中既是偶函数又是上是增函数的是（ ） A B C D【考点】幂函数的性质与应用【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 A、D中的函数为偶函数，但A中函数在为减函数【答案】C【例16】 是偶函数，且在是减函数，则整数的值是 .【考点】幂函数的性质与应用【难度】1星【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】5；【例17】 比较下列各组中两个值大小（1）与（2）【考点】幂函数的性质与应用【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）函数在上是增函数且 （2）函数在上增函数且，即【答案】（1）（2）【例18】 幂函数（互质）图象在一、二象限，不过原点，则的奇偶性为 .【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】为奇数，是偶数；【例19】 求证：函数在R上为奇函数且为增函数.【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】显然，奇函数；令，则，其中，显然，=，由于，且不能同时为0，否则，故.从而. 所以该函数为增函数.【例20】 设，c，则（ ）. A. cba B. cab C. abc D. ba, ，所以，从而.比较与的大小，也可以将它们看成底数相同(都是a)的两个幂，于是可以利用指数函数 是减函数，由于1，得到. 由于，函数 (01)是减函数，因此. 综上，【点评】解答本题的关键都在于适当地选取一个函数，函数选得恰当，问题可以顺利地获得解决.【答案】【例29】 已知，求的取值范围.【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 在、上是减函数，对于不同的a+1和3-2a进行讨论，将它们等价转化到同一个单调区间.和是幂函数的两个函数值，且在、上是减函数当时，有，解得；当时，有，此时无解当时，有且，解得综上可知的取值范围为.【答案】.【例30】 若，试求实数m的取值范围【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 （分类讨论）：（1）解得；（2）此时无解；（3）， 解得综上可得【答案】【例31】 若，试求实数m的取值范围【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 （利用单调性）：由于函数在上单调递增，所以，解得【答案】【例32】 若，试求实数m的取值范围【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 由图3，解得【答案】【例33】 若，试求实数m的取值范围【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 作出幂函数的图象如图4由图象知此函数在上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键考虑时，于是有，即.又幂函数在上单调递增， 解得，或m4【答案】，或m4【例34】 已知函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由【考点】幂函数的性质与应用【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】 ，则假设存在实数，使得满足题设条件，设，则若，易知，要使在上是减函数，则应有恒成立，而，.从而要使恒成立，则有，即若，易知，要使在上是增函数，则应有恒成立，而，要使恒成立，则必有，即综上可知，存在实数，使得在上是减函数，且在上是增函数【答案】存在，【例35】 由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x成（即上涨率为），涨价后，商品卖出个数减少bx成，税率是新定价的a成，这里a,b均为正常数，且a10，设售货款扣除税款后，剩余y元，要使y最大，求x的值.【考点】幂函数的性质与应用【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】 设原定价A元，卖出B个，则现在定价为A()，现在卖出个数为，现在售货金额为，应交税款为，剩余款为，所以时y最大 要使y最大，x的值为.【答案】题型三：幂函数的图像【例36】 函数和图象满足（ ）A关于原点对称 B关于轴对称C关于轴对称 D关于直线对称【考点】幂函数的图像【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D【例37】 函数的图象是（ ）【考点】幂函数的图像【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】A【例38】 幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则（ ）.A B C D 【考点】幂函数的图像【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线的右侧，图象由下至上，依次是，所以有. 选B.点评：观察第一象限内直线的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象与. 【答案】B.【例39】 【答案】 如图19所示，幂函数在第一象限的图象，比较的大小（ ）A B C D【考点】幂函数的图像【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D 【例40】 下图为幂函数在第一象限的图象，则按由小到大的顺序排列为 。【考点】幂函数的图像【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】【例41】 如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象. 已知分别取，四个值，与曲线、相应的依次为（ ）.A B. C. D. 【考点】幂函数的图像【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】A【例42】 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【考点】幂函数的图像【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）定义域为，非奇非偶函数，在上为增函数，对应图（A）；（2）定义域为R，奇函数，在R上为增函数，对应图（F）；（3）定义域为R，偶函数，在上为增函数，对应图（E）；（4）定义域为，偶函数，在上为减函数，对应图（C）；（5）定义域为，奇函数，在上为减函数，对应图（D）；（6）定义域为，非奇非偶函数，在上为减函数，对应图（B）【答案】（1）（A），（2）（F），（3）（E），（4）（C），（5）（D），（6）（B）【例43】 利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）（1）；（2）【考点】幂函数的图像【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】（1）函数的图象可以由的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位而得到（2），把函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，可以得到函数的图象
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