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2019-2020年高中数学 幂函数、零点与函数的应用 板块一 幂函数完整讲义(学生版)典例分析题型一:幂函数的定义【例1】 下列所给出的函数中,是幂函数的是( )A B C D【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 形如的函数叫做幂函数,答案为B【答案】B【例2】 11函数的定义域是 .【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】【例3】 如果幂函数的图象经过点,则的值等于( ). A. 16 B. 2 C. D. 【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D【例4】 幂函数的图象过点,则的值为 . 【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】【例5】 下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是( ). A. B. C. D.【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】B【例6】 下列命题中正确的是( )A当时函数的图象是一条直线B幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点C若幂函数是奇函数,则是定义域上的增函数D幂函数的图象不可能出现在第四象限【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 A错,当时函数的图象是一条直线(去掉点(0,1);B错,如幂函数的图象不过点(0,0);C错,如幂函数在定义域上不是增函数;D正确,当时,【答案】D【例7】 函数是幂函数,求的值.【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 幂函数需要保证系数为1,同时指数为有理数,从此两个条件入手,可以得到关于m的等式和不等式,从而解出m的值.是幂函数,函数可以写成如下形式(是有理数),解得当时,时,的值域为-1或2.【点评】本题为幂函数的基本题目,注意不要忘了检验是有理数.【答案】-1或2【例8】 求函数的定义域.【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 这是几个幂函数的复合函数,求复合函数的定义域需要保证每一个函数都有意义,即分母不为0、被开方数大于等于0.使函数有意义,则必须满足,解得:且即函数的定义域为.【答案】【例9】 函数的定义域是全体实数,则实数m的取值范围是()【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 要使函数的定义域是全体实数,可转化为对一切实数都成立,即且解得故选()【答案】【例10】 讨论幂函数(a为有理数)的定义域.【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)若,则,这是函数的定义域为.(2)若负整数 ,则,这时函数的定义域是(3)若 ,则:是偶数,这是函数的定义域是;是奇数,这时函数的定义域为(4)若,则:是偶数,这是函数的定义域是;是奇数,这时函数的定义域是. 【答案】(1)若,则,这是函数的定义域为.(2)若负整数 ,则,这时函数的定义域是(3)若 ,则:是偶数,这是函数的定义域是;是奇数,这时函数的定义域为(4)若,则:是偶数,这是函数的定义域是;是奇数,这时函数的定义域是. 【例11】 已知幂函数与的图象都与、轴都没有公共点,且的图象关于y轴对称,求的值【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 幂函数图象与、轴都没有公共点, ,解得.又 的图象关于y轴对称, 为偶数,即得.【答案】【例12】 幂函数是偶函数,且在上为增函数,求函数解析式.【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 是幂函数, ,解得.当时,是奇函数,不合题意;当时;是偶函数,在上为增函数;当时;是偶函数,在上为增函数.所以,或.【答案】或.【例13】 已知幂函数 的图形与轴对称,轴无交点,且关于轴对称,试确定的解析式.【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 由得和时解析式为,是解析式为【答案】题型二:幂函数的性质与应用【例14】 下列函数在区间上是增函数的是( ). A. B. C. D. 【考点】幂函数的性质与应用【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】B【例15】 下列函数中既是偶函数又是上是增函数的是( ) A B C D【考点】幂函数的性质与应用【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 A、D中的函数为偶函数,但A中函数在为减函数【答案】C【例16】 是偶函数,且在是减函数,则整数的值是 .【考点】幂函数的性质与应用【难度】1星【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】5;【例17】 比较下列各组中两个值大小(1)与(2)【考点】幂函数的性质与应用【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)函数在上是增函数且 (2)函数在上增函数且,即【答案】(1)(2)【例18】 幂函数(互质)图象在一、二象限,不过原点,则的奇偶性为 .【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】为奇数,是偶数;【例19】 求证:函数在R上为奇函数且为增函数.【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】显然,奇函数;令,则,其中,显然,=,由于,且不能同时为0,否则,故.从而. 所以该函数为增函数.【例20】 设,c,则( ). A. cba B. cab C. abc D. ba, ,所以,从而.比较与的大小,也可以将它们看成底数相同(都是a)的两个幂,于是可以利用指数函数 是减函数,由于1,得到. 由于,函数 (01)是减函数,因此. 综上,【点评】解答本题的关键都在于适当地选取一个函数,函数选得恰当,问题可以顺利地获得解决.【答案】【例29】 已知,求的取值范围.【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 在、上是减函数,对于不同的a+1和3-2a进行讨论,将它们等价转化到同一个单调区间.和是幂函数的两个函数值,且在、上是减函数当时,有,解得;当时,有,此时无解当时,有且,解得综上可知的取值范围为.【答案】.【例30】 若,试求实数m的取值范围【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 (分类讨论):(1)解得;(2)此时无解;(3), 解得综上可得【答案】【例31】 若,试求实数m的取值范围【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 (利用单调性):由于函数在上单调递增,所以,解得【答案】【例32】 若,试求实数m的取值范围【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 由图3,解得【答案】【例33】 若,试求实数m的取值范围【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 作出幂函数的图象如图4由图象知此函数在上不具有单调性,若分类讨论步骤较繁,把问题转化到一个单调区间上是关键考虑时,于是有,即.又幂函数在上单调递增, 解得,或m4【答案】,或m4【例34】 已知函数,设函数,问是否存在实数,使得在区间是减函数,且在区间上是增函数?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由【考点】幂函数的性质与应用【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】 ,则假设存在实数,使得满足题设条件,设,则若,易知,要使在上是减函数,则应有恒成立,而,.从而要使恒成立,则有,即若,易知,要使在上是增函数,则应有恒成立,而,要使恒成立,则必有,即综上可知,存在实数,使得在上是减函数,且在上是增函数【答案】存在,【例35】 由于对某种商品开始收税,使其定价比原定价上涨x成(即上涨率为),涨价后,商品卖出个数减少bx成,税率是新定价的a成,这里a,b均为正常数,且a10,设售货款扣除税款后,剩余y元,要使y最大,求x的值.【考点】幂函数的性质与应用【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】 设原定价A元,卖出B个,则现在定价为A(),现在卖出个数为,现在售货金额为,应交税款为,剩余款为,所以时y最大 要使y最大,x的值为.【答案】题型三:幂函数的图像【例36】 函数和图象满足( )A关于原点对称 B关于轴对称C关于轴对称 D关于直线对称【考点】幂函数的图像【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D【例37】 函数的图象是( )【考点】幂函数的图像【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】A【例38】 幂函数与在第一象限内的图象如图所示,则( ).A B C D 【考点】幂函数的图像【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 由幂函数图象在第一象限内的分布规律,观察第一象限内直线的右侧,图象由下至上,依次是,所以有. 选B.点评:观察第一象限内直线的右侧,结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象与. 【答案】B.【例39】 【答案】 如图19所示,幂函数在第一象限的图象,比较的大小( )A B C D【考点】幂函数的图像【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D 【例40】 下图为幂函数在第一象限的图象,则按由小到大的顺序排列为 。【考点】幂函数的图像【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】【例41】 如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象. 已知分别取,四个值,与曲线、相应的依次为( ).A B. C. D. 【考点】幂函数的图像【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】A【例42】 下面六个幂函数的图象如图所示,试建立函数与图象之间的对应关系.(1);(2);(3);(4);(5);(6)【考点】幂函数的图像【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)定义域为,非奇非偶函数,在上为增函数,对应图(A);(2)定义域为R,奇函数,在R上为增函数,对应图(F);(3)定义域为R,偶函数,在上为增函数,对应图(E);(4)定义域为,偶函数,在上为减函数,对应图(C);(5)定义域为,奇函数,在上为减函数,对应图(D);(6)定义域为,非奇非偶函数,在上为减函数,对应图(B)【答案】(1)(A),(2)(F),(3)(E),(4)(C),(5)(D),(6)(B)【例43】 利用幂函数图象,画出下列函数的图象(写清步骤)(1);(2)【考点】幂函数的图像【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】(1)函数的图象可以由的图象向右平移2个单位,再向下平移1个单位而得到(2),把函数的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,可以得到函数的图象
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