2019-2020年高中数学 2.1.4余弦定理(二)教案 北师大版必修5.doc

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2019-2020年高中数学 2.1.4余弦定理(二)教案 北师大版必修5知识梳理1余弦定理:(1)形式一:,形式二:,(角到边的转换)2.解决以下两类问题:1)、已知三边,求三个角;(唯一解)2)、已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(唯一解)3.三角形ABC中 典例剖析题型一:利用余弦定理解三角形例1在中,已知,求c.解且,为钝角,由余弦定理知,即,解得或(舍去).评述 已知三角形的三边或两边和一角可应用余弦定理求解。熟练掌握余弦定理是解题的关键,同时还要注意方程思想的运用。题型二:判断三角形的形状例2在中,若,试判断的形状.解:方法一:由正弦定理和已知条件得:,即,B、C为的内角,故为直角三角形.方法二:原等式变形为:,即:,由余弦定理得:故为直角三角形.评述:判断三角形的形状,一般是从题设条件出发,根据正弦定理、余弦定理进行边角变换,全化为边的关系或全化为角的关系,导出边或角的某种特殊关系,然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。备选题:余弦定理的应用例3:已知A、B、C是ABC的三个内角,且满足(sinAsinB)2sin2C3sinAsinB求证:AB120证明:由(sinAsinB)2sin2C3sinAsinB可得sin2Asin2Bsin2CsinAsinB又sinA,sinB,sinC,整理得a2b2c2abcosC又0C180,C60AB180C120评述:(1)有关三角形内角的证明,选择余弦值与正弦值相比较,要省去取舍的麻烦.但注意在根据三角函数值求角时,应先确定角的范围;(2)在将已知条件中角的关系转化为边的关系时,运用了正弦定理的变形式:a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC,这一转化技巧,要求熟练掌握.(2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式,但应注意在根据三角函数值求角时,一定要先确定角的范围.另外,也可运用同角三角函数的商数关系,在等式sinBcosAsinAcosB两端同除以sinAsinB得cotAcotB,再由0A,B,而得AB.点击双基1.在在ABC中,AB=3,AC=4,BC=,则AC边上的高为( )A. B. C. D, 解:由余弦定理知:cosA=,A=AC边上的高为ABsinA=答案:B2.在在ABC中,已知其面积S=(a),则角C的度数为( )A. 135 B. 45 C. 60 D. 120解:S=(a),absinC=(a)sinC=即sinC=cosC,tanC=1C=45答案:C3在ABC中,若,则其面积等于( )A B C D解: 答案:D4. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、,则的取值范围是 解:在锐角三角形中, 答案:5在ABC中,若,则 解: 答案:120课后作业1若三条线段的长分别为5,6,7,则用这三条线段能组成( )三角形。A.锐角 B.钝角 C.直角 D.等腰解:长为7的边所对角最大,设它为, 则 答案:A2.ABC中,若a4+b4+c4=2(a2+b2)c2 则C的度数( )A、600 B、450或1350 C、1200 D、300解:由a4+b4+c4=2(a2+b2)c,得 a4+b4+c4-2a2c-2b2c=0(a)= a4+b4+c4-2a2c-2b2c+2bc=2bc, a=,C=450或1350答案:B3.设a,a+1,a+2是钝角三角形的三边,则a的取值范围是 ( )A. B. C. D.4aa+(a+1),a0-1a0 答案:A4. ABC中,a,b,c分别是A、B、C的对边,若0,则ABC ( )A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形解:由余弦定理得cosC0,C是钝角答案:C5.已知ABC的三边满足(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则C的度数为( )A. 15 B. 30 C. 45 D. 60解:由条件将a+b看作一个整体,利用平方差公式得到(a+b)-c=3ab,化简整理,得a=ab,cosC=,C= 60答案:D6.在ABC中,cos=,则ABC的形状是( )A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形解:根据余弦的二倍角公式变形式,原式可化为=,cosA=,a+b=cABC为直角三角形答案:B7.在ABC中,若,C=,则此三角形有( )A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 无法判断解:由余弦定理得:负值不合题意,舍去。答案:A8. 若的周长等于20,面积是,则边的长是( )A. 5 B. 6 C. 7 D. 8解:由三角形面积,得,又的周长等于20,由余弦定理得:=,解得.答案:C二填空题9.在ABC中,A=600,最大边和最小边的长是方程的两实根,那么BC边长等于 .解: A=600最大边和最小边为b,c, 最大边和最小边的长是方程的两根,b+c=9,bc=, a=b+c-2bccosA=(b+c)-2bc-2bccosA=49, a=7答案:710.在ABC中,a=1,B=450,则ABC的外接圆的直径是 .解:S =acsinB=c,c=4,=252R=5答案:511.在ABC中,则角A= .解:由得,又=-,A=120答案:120三解答题12. 在四边形ABCD中,四个角A、B、C、D的度数的比为3:7:4:10,求AB的长。 解:设四个角A、B、C、D的度数分别为3x、7x、4x、10x 则有 解得 连BD,在中,由余弦定理得: 是以DC为斜边的直角三角形 13.在ABC中,bcosAacosB,试判断三角形的形状.解法一:利用余弦定理将角化为边.bcosAacosBbab2c2a2a2c2b2a2b2 ab故此三角形是等腰三角形.解法二:利用正弦定理将边转化为角.bcosAacosB又b2RsinB,a2RsinA2RsinBcosA2RsinAcosBsinAcosBcosAsinB0sin(AB)00A,B,ABAB0,即AB故此三角形是等腰三角形.14.在中,角所对的边分别为,且满足, (I)求的面积; (II)若,求的值解析:(I)因为,又由,得,(II)对于,又,或,由余弦定理得,
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