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2019-2020年高考数学一轮复习第九章解析几何第5讲双曲线理一、选择题1设双曲线1(a0)的渐近线方程为3x2y0,则a的值为()A4 B3 C2 D1解析双曲线1的渐近线方程为3xay0与已知方程比较系数得a2.答案C2已知双曲线C:1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为 ()A.1 B.1C.1 D.1解析不妨设a0,b0,c.据题意,2c10,c5.双曲线的渐近线方程为yx,且P(2,1)在C的渐近线上,1.由解得b25,a220,故正确选项为A.答案A3已知双曲线x21的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则的最小值为 ()A2 B C1 D0解析设点P(x,y),其中x1.依题意得A1(1,0),F2(2,0),则有x21,y23(x21),(1x,y)(2x,y)(x1)(x2)y2x23(x21)x24x2x542,其中x1.因此,当x1时,取得最小值2,选A.答案A4过双曲线1(a0,b0)的左焦点F(c,0)(c0)作圆x2y2的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若2,则双曲线的离心率为 ()A. B. C. D.解析设双曲线的右焦点为A,则,故2,即OEAP.所以E是PF的中点,所以AP2OE2a.所以PF3a.在RtAPF中,a2(3a)2(2c)2,即10a24c2,所以e2,即离心率为e ,选C.答案C5已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ()A. B4 C3 D5解析易求得抛物线y212x的焦点为(3,0),故双曲线1的右焦点为(3,0),即c3,故324b2,b25,双曲线的渐近线方程为yx,双曲线的右焦点到其渐近线的距离为.答案A6如图,已知点P为双曲线1右支上一点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,I为PF1F2的内心,若SIPF1SIPF2SIF1F2成立,则的值为()A. B. C. D.解析 根据SIPF1SIPF2SIF1F2,即|PF1|PF2|F1F2|,即2a2c,即.答案 B二、填空题7双曲线1的右焦点到渐近线的距离是_解析 由题意得:双曲线1的渐近线为yx.焦点(3,0)到直线yx的距离为.答案 8在平面直角坐标系xOy中,若双曲线1的离心率为,则m的值为_解析由题意得m0,a,b.c,由e,得5,解得m2.答案29如图,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点,且双曲线过C、D两顶点若AB4,BC3,则此双曲线的标准方程为_解析设双曲线的标准方程为1(a0,b0)由题意得B(2,0),C(2,3),解得双曲线的标准方程为x21.答案x2110如图,双曲线1(a,b0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D.则(1)双曲线的离心率e_;(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值_.解析(1)由题意可得a bc,a43a2c2c40,e43e210,e2,e.(2)设sin ,cos ,e2.答案(1)(2)三、解答题11中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|2,椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4,离心率之比为37.(1)求这两曲线方程;(2)若P为这两曲线的一个交点,求cosF1PF2的值解(1)由已知:c,设椭圆长、短半轴长分别为a,b,双曲线半实、虚轴长分别为m,n,则解得a7,m3.b6,n2.椭圆方程为1,双曲线方程为1.(2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|PF2|14,|PF1|PF2|6,所以|PF1|10,|PF2|4.又|F1F2|2,cosF1PF2.12已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,)(1)求双曲线方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:0;(3)求F1MF2的面积(1)解e,设双曲线方程为x2y2.又双曲线过(4,)点,16106,双曲线方程为x2y26.(2)证明法一由(1)知ab,c2,F1(2,0),F2(2,0),kMF1,kMF2,kMF1kMF2,又点(3,m)在双曲线上,m23,kMF1kMF21,MF1MF2,0.法二(32,m),(23,m),(32)(32)m23m2.M在双曲线上,9m26,m23,0.(3)解在F1MF2中,|F1F2|4,且|m|,SF1MF2|F1F2|m|46.13已知双曲线1(a0,b0)的两个焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且PF1PF2,|PF1|8,|PF2|6.(1)求双曲线的方程;(2)设过双曲线左焦点F1的直线与双曲线的两渐近线交于A,B两点,且2,求此直线方程解(1)由题意知,在RtPF1F2中,|F1F2|,即2c10,所以c5.由椭圆的定义,知2a|PF1|PF2|862,即a1.所以b2c2a224,故双曲线的方程为x21.(2)左焦点为F1(5,0),两渐近线方程为y2x.由题意得过左焦点的该直线的斜率存在设过左焦点的直线方程为yk(x5),则与两渐近线的交点为和.由2,得2或者2,解得k.故直线方程为y(x5)14 P(x0,y0)(x0a)是双曲线E:1(a0,b0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率;(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足,求的值解(1)由点P(x0,y0)(x0a)在双曲线1上,有1.由题意有,可得a25b2,c2a2b26b2,e.(2)联立得4x210cx35b20.设A(x1,y1),B(x2,y2),则设(x3,y3),即又C为双曲线上一点,即x5y5b2,有(x1x2)25(y1y2)25b2.化简得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2.又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以x5y5b2,x5y5b2.由式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2,式可化为240,解得0或4.
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