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2019-2020年高一数学上 第二章 函数:函数2.2.1优秀教案教学目的 使学生进一步巩固函数的概念,能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系,求出它的解析式,并掌握解析式的一些形式的变换.重点难点重点、难点:函数解析式的求法.教学过程 一、复习引入 用映射刻划的函数的定义是什么?函数符号的含义是什么?函数的表示方法常用的有哪些?答:函数是两个非空数集A到B的特殊映射f:xy=f(x),xR,yCB;定义域A、值域C和定义域到值域的对应法则f称为函数的三要素;符号y=f(x)表示y是x的函数,不是f与x的乘积;函数的表示方法常用的有解析法、列表法和图象法,而中学阶段所研究的函数主要是能用解析式表示的函数.引入:我们已经了解了函数的概念和表示方法.在此基础上,今天我们来学习确定函数解析式的几种常见方法.二、学习、讲解新课 我们知道,把两个变量的函数关系用一个等式表示,这个等式就叫做函数的解析表达式,简称解析式.下面我们通过例题来说明求函数解析式的几种常用方法例1 已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x);已知f(+1)=x+2,求f(x+1);已知f(x)满足2f(x)+f(1/x)=3x,求f(x);设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)且f(x)=0的两实根平方和为10,图象过点(0,3),求f(x)的解析式.解:设f(x)=ax+b,则3f(x+1)-2f(x-1)=3a(x+1)+b-2a(x-1)+b=ax+(5a+b)=2x+17,比较系数得a=2且5a+b=17, a=2,b=7,f(x)=2x+7.设u=+11,则=u-1,x=(u-1)2,于是f(u)=(u-1)2+2(u-1)=u2-1(u1),即f(u)=u2-1(u1), f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x+11),即f(x+1)=x2+2x(x0).已知2f(x)+f(1/x)=3x -,将中x换成1/x得2f(1/x)+f(x)=3/x -,2-得3f(x)=6x-3/x,f(x)=2x-1/x.设f(x)的解析式是f(x)=ax2+bx+c(a0), 图象过点(0,3),有f(0)=c=3,故c=3;又f(x)满足f(x+2)=f(2-x)且f(x)=0的两实根平方和为10,得对称轴x=2且x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=10,即(-b/2a)=2且(b2/a2)-(6/a)=10,a=1,b=-4,f(x)=x2-4x+3.说明:求函数解析式常用的方法有:待定系数法(如)、换元法(如)、构造方程法(如)等.例2 高为h,底面半径为r的圆柱形容器内,以单位时间内体积为a的速度充水,试求出水面高y与时间t的函数关系式,并求其定义域.(提示:圆柱的体积=底面积高)解:由题意有at=r2y,即y=(a/r2)t,0yh,即0(a/r2)h, 0tr2h/a,即定义域是0,r2h/a.说明:这是函数知识在实际问题中的应用,其定义域是由实际问题所决定的.练习:若f(1/x)=1/(1+x),则f(x)= ;已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,则f(x)= ;已知g(x)=1-2x,fg(x)=(1-x2)/x2(x0),则f(1/2)= ;将长为a的铁丝折成矩形,面积y关于边长x的函数关系是 ,其定义域是 ;已知f(x)=,若f(x)=10,则x= ;已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b)且f(2)=p,f(3)=q,则f(36)= .解:令u=1/x,则x=1/u,f(u)=u/(1+u),f(x)=x/(1+x);设f(x)=ax2+bx+c(a0),f(0)=1,c=1,又f(x+1)-f(x)=2x,a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-ba-1=2x,即2ax+a+b=2x,比较系数得2a=2且a+b=0,a=1,b=-1,f(x)=x2-x+1.由g(x)=1-2x=1/2,得x=1/4,f(1/2)=1-(1/4)2/(1/4)2=15.设矩形的长为x,则宽为(a-2x)/2,y=x(a-2x)/2=ax/2-x2,定义域是(0,a/2).由已知-2x0,f(x)=x2+1=10,即x=3,又x0,x=-3.f(36)=f(66)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(23)=2f(2)+f(3)=2(p+q).三、小 结解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量之间建立联系的桥梁;解析式只表示一种对应关系,与所取的字母无关,如y=2x-1与u=2t-1是同一个函数;求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法,若已知函数的构造模式,可用待定系数法;若已知复合函数ff(x)的表达式来求f(x),常用换元法;当已知表达式较简单时,甚至可直接用凑合法求解.用赋值法(特殊值法)求函数式中的参数,是一种比较常用的方法.根据实际问题求函数的表达式,是应用函数知识解决实际问题的基础,在设定或选定自变量后去寻找等量关系,以求得表达式,要注意函数定义域应由实际问题确定.四、布置作业(一)复习:课本和课堂上的有关内容.(二)书面:填空:若f(x)=2x+1,则ff(2)= ;f(-x)= ;ff(x)= .若f(x+1)=x2-2x+5,则f(x)= .若f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)= .若3f(x)+2f(1/x)=4x,则f(x)= .若f(x)=x2-mx+n,f(n)=m,f(1)=-1,则f(-5)= .设函数f(x)=x2-4x-4的定义域为t-2,t-1,对任意tR,求函数f(x)的最小值(t)的解析式,并画出图象.(练习册P26B组第2题)
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