2019-2020年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法教学案新人教A版选修1.doc

2019-2020年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法教学案新人教A版选修1预习课本P4243，思考并完成下列问题(1)反证法的定义是什么？有什么特点？(2)利用反证法证题的关键是什么？步骤是什么？ 新知初探反证法的定义及证题的关键点睛对反证法概念的理解(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定”(2)反证法属“间接解题方法”2“反证法”和“证逆否命题”的区别与联系(1)联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过反证法说明原命题成立属于间接证明，都是很好的证明方法(2)区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出条件的反面成立而反证法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾小试身手1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)反证法属于间接证明问题的方法()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾()答案：(1)(2)(3)2应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()结论的否定即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原命题的结论ABC D答案：C3如果两个实数之和为正数，则这两个数()A一个是正数，一个是负数B两个都是正数C至少有一个正数D两个都是负数答案：C4用反证法证明“如果ab，那么 ”，假设的内容应是_答案：用反证法证明否定性命题典例已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列求证：，不成等差数列证明假设，成等差数列，则2，即ac24b.a，b，c成等比数列，b2ac，即b，ac24，()20，即.从而abc，与a，b，c不成等差数列矛盾，故，不成等差数列1用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法2用反证法证明数学命题的步骤 活学活用已知f(x)ax(a1)，证明方程f(x)0没有负数根证明：假设x0是f(x)0的负数根，则x00且x01，且ax0，由0ax0101，解得x02，这与x00矛盾，所以假设不成立，故方程f(x)0没有负数根.用反证法证明“至多”“至少”问题典例已知a1，求证三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实数解证明假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：这与已知a1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解一题多变1变条件，变设问将本题改为：已知下列三个方程x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0至少有一个方程有实数根，如何求实数a的取值范围？解：若方程没有一个有实根，则解得故三个方程至少有一个方程有实根，实数a的取值范围是.2变条件，变设问将本题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a的取值范围解：假设三个方程都有实数根，则即解得即a.所以实数a的取值范围为实数R.3变条件，变设问已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数证明：假设a0，b0，c0，d0.abcd1，(ab)(cd)1，acbdbcad1.而acbdbcadacbd1，与上式矛盾，假设不成立，a，b，c，d中至少有一个是负数用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点(1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的(2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法 用反证法证明唯一性命题典例求证：两条相交直线有且只有一个交点证明假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点若直线a，b无交点，则ab或a，b是异面直线，与已知矛盾若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾综上所述，两条相交直线有且只有一个交点巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性活学活用求证：过直线外一点只有一条直线与它平行证明：已知：直线ba，Aa，Ab，求证：直线b唯一假设过点A还有一条直线ba.根据平行公理，ba，bb，与bbA矛盾，假设不成立，原命题成立层级一学业水平达标1用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；假设直线AC，BD是共面直线则正确的序号顺序为()ABC D解析：选B根据反证法的三个基本步骤“反设归谬结论”可知顺序应为.2用反证法证明命题“如果a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()Aa，b都能被5整除Ba，b都不能被5整除Ca，b不都能被5整除Da不能被5整除解析：选B“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”，故选B.3用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A三个内角中至少有一个钝角B三个内角中至少有两个钝角C三个内角都不是钝角D三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析：选B“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”4已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线解析：选C假设cb，而由ca，可得ab，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.5已知a，b，c，d为实数，且cd，则“ab”是“acbd”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选Bcd，cd，ab，ac与bd的大小无法比较可采用反证法，当acbd成立时，假设ab，cd，acbd，与题设矛盾，ab.综上可知，“ab”是“acbd”的必要不充分条件6否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设是_答案：自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数7命题“a，bR，若|a1|b1|0，则ab1”用反证法证明时应假设为_解析：“ab1”的反面是“a1或b1”，所以设为a1或b1.答案：a1或b18和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是_解析：假设AC与BD共面于平面，则A，C，B，D都在平面内，AB，CD，这与AB，CD异面相矛盾，故AC与BD异面答案：异面9求证：1，2不能为同一等差数列的三项证明：假设1，2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d，则1md,2nd，其中m，n为两个正整数，由上面两式消去d，得n2m(nm)因为n2m为有理数，而(nm)为无理数，所以n2m(nm)，矛盾，因此假设不成立，即1，2不能为同一等差数列的三项10已知函数f(x)在R上是增函数，a，bR.(1)求证：如果ab0，那么f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论解：(1)证明：当ab0时，ab且ba.f(x)在R上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)(2)(1)中命题的逆命题为“如果f(a)f(b)f(a)f(b)，那么ab0”，此命题成立用反证法证明如下：假设ab0，则ab，f(a)f(b)同理可得f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)，这与f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，故假设不成立，ab0成立，即(1)中命题的逆命题成立层级二应试能力达标1用反证法证明命题“关于x的方程axb(a0)有且只有一个解”时，反设是关于x的方程axb(a0)()A无解B有两解C至少有两解 D无解或至少有两解解析：选D“唯一”的否定是“至少两解或无解”2下列四个命题中错误的是()A在ABC中，若A90，则B一定是锐角B.，不可能成等差数列C在ABC中，若abc，则C60D若n为整数且n2为偶数，则n是偶数解析：选C显然A、B、D命题均真，C项中若abc，则ABC，若C60，则A60，B60，ABC180与ABC180矛盾，故选C.3设a，b，c(，0)，则a，b，c()A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于2解析：选C假设都大于2，则abc6，但2(2)(2)6，矛盾4若ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D不能确定解析：选B分ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则ADBADC，若ADB为钝角，则ADC为锐角而ADCBAD，ADCABD，ABD与ACD不可能相似，与已知不符，只有当ADBADCBAC时，才符合题意5已知数列an，bn的通项公式分别为anan2，bnbn1(a，b是常数，且ab)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有_个解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得anbn，由题意ab，nN*，则恒有anbn，从而an2bn1恒成立，所以不存在n使anbn.答案：06完成反证法证题的全过程设a1，a2，a7是1,2，7的一个排列，求证：乘积p(a11)(a22)(a77)为偶数证明：假设p为奇数，则a11，a22，a77均为奇数因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数_0.但0奇数，这一矛盾说明p为偶数解析：据题目要求及解题步骤，a11，a22，a77均为奇数，(a11)(a22)(a77)也为奇数即(a1a2a7)(127)为奇数又a1，a2，a7是1,2，7的一个排列，a1a2a7127，故上式为0，所以奇数(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0.答案：(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)7已知a，b，c(0,1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.证明：假设(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于.因为0a1,0b1,0c1，所以1a0.由基本不等式，得.同理，.将这三个不等式两边分别相加，得，即，这是不成立的，故(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.8已知数列an满足：a1，anan10(n1)；数列bn满足：bnaa(n1)(1)求数列an，bn的通项公式；(2)证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列解：(1)由题意可知，1a(1a)令cn1a，则cn1cn.又c11a，则数列cn是首项为c1，公比为的等比数列，即cnn1，故1an1a1n1.又a10，anan10，故an(1)n1 .bnaa1n1n1.(2)用反证法证明假设数列bn存在三项br，bs，bt(rst)按某种顺序成等差数列，由于数列bn是首项为，公比为的等比数列，于是有brbsbt，则只可能有2bsbrbt成立2s1r1t1，两边同乘以3t121r，化简得3tr2tr22sr3ts.由于rst，上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾故数列bn中任意三项不可能成等差数列 (时间： 120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1根据偶函数定义可推得“函数f(x)x2在R上是偶函数”的推理过程是()A归纳推理 B类比推理C演绎推理 D非以上答案解析：选C根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.2自然数是整数，4是自然数，所以4是整数以上三段论推理()A正确B推理形式不正确C两个“自然数”概念不一致D“两个整数”概念不一致解析：选A三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的3设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，b四个数，有以下说法：四个数可能都是正数；四个数可能都是负数；四个数中既有正数又有负数则说法中正确的个数有()A0 B1C2 D3解析：选B可用反证法推出，不正确，因此正确4下列推理正确的是()A把a(bc)与loga(xy)类比，则有loga(xy)logaxlogayB把a(bc)与sin(xy)类比，则有sin(xy)sin xsin yC把a(bc)与axy类比，则有axyaxayD把(ab)c与(xy)z类比，则有(xy)zx(yz)解析：选D(xy)zx(yz)是乘法的结合律，正确5已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第70个“整数对”为()A(3,9) B(4,8)C(3,10) D(4,9)解析：选D因为121166，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)，故选D.6求证：.证明：因为和都是正数，所以为了证明，只需证明()2()2，展开得525，即20，此式显然成立，所以不等式成立上述证明过程应用了()A综合法 B分析法C综合法、分析法配合使用 D间接证法解析：选B证明过程中的“为了证明”，“只需证明”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式7已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则an的类似结论为()Aa1a2a3a929 Ba1a2a929Ca1a2a929 Da1a2a929解析：选D由等差数列性质，有a1a9a2a82a5.易知D成立8若数列an是等比数列，则数列anan1()A一定是等比数列B一定是等差数列C可能是等比数列也可能是等差数列D一定不是等比数列解析：选C设等比数列an的公比为q，则anan1an(1q)当q1时，anan1一定是等比数列；当q1时，anan10，此时为等差数列9已知abc0，则abbcca的值()A大于0 B小于0C不小于0 D不大于0解析：选D法一：abc0，a2b2c22ab2ac2bc0，abacbc0.法二：令c0，若b0，则abbcac0，否则a，b异号，abbcacab0，排除A、B、C，选D.10已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN*都成立，那么a，b，c的值为()Aa，bc BabcCa0，bc D不存在这样的a，b，c解析：选A令n1,2,3，得所以a，bc.11已知数列an的前n项和Sn，且a11，Snn2an(nN*)，可归纳猜想出Sn的表达式为()ASn BSnCSn DSn解析：选A由a11，得a1a222a2，a2，S2；又1a332a3，a3，S3；又1a416a4，得a4，S4.由S1，S2，S3，S4可以猜想Sn.12设函数f(x)定义如下表，数列xn满足x05，且对任意的自然数均有xn1f(xn)，则x2 016()x12345f(x)41352A.1 B2C4 D5解析：选Dx1f(x0)f(5)2，x2f(2)1，x3f(1)4，x4f(4)5，x5f(5)2，数列xn是周期为4的数列，所以x2 016x45，故应选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分把答案填在题中的横线上)13已知x，yR，且xy0，b0，mlg，nlg，则m，n的大小关系是_解析：ab00ab2ab()2()2lglg .答案：mn15已知 2， 3， 4， 6，a，b均为正实数，由以上规律可推测出a，b的值，则ab_.解析：由题意归纳推理得 6，b62135，a6.ab63541.答案：4116现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为_解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b0，则lg ；(2)622.证明：(1)当a，b0时，有，lglg，lglg ab.(2)要证 22，只要证()2(22)2，即22，这是显然成立的，所以，原不等式成立18(本小题满分12分)若a10，a11，an1(n1,2，)(1)求证：an1an；(2)令a1，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an(不要求证明)解：(1)证明：若an1an，即an，解得an0或1.从而anan1a2a10或1，这与题设a10，a11相矛盾，所以an1an不成立故an1an成立(2)由题意得a1，a2，a3，a4，a5，由此猜想：an.19(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处(1)求证：四边形的内角和等于360.证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有ABCD90909090360，所以四边形的内角和为360.(2)已知 和 都是无理数，试证：也是无理数证明：依题设和都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以必是无理数(3)已知实数m满足不等式(2m1)(m2)0，用反证法证明：关于x的方程x22x5m20无实根证明：假设方程x22x5m20有实根由已知实数m满足不等式(2m1)(m2)0，解得2m，而关于x的方程x22x5m20的判别式4(m24)，2m，m24，0，即关于x的方程x22x5m20无实根解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法20(本小题满分12分)等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解：(1)由已知得d2.故an2n1，Snn(n)(2)由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0，p，q，rN*，2pr，(pr)20.pr，与pr矛盾数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列21(本小题满分12分)已知：sin2 30sin2 90sin2 150，sin2 5sin2 65sin2 125，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度都成立的一般性的命题，并给予证明解：一般形式为：sin2sin2(60)sin2(120).证明：左边cos 2cos(2120)cos(2240)(cos 2cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 240sin 2sin 240)cos 2cos 2sin 2cos 2sin 2右边将一般形式写成sin2(60)sin2sin2(60)也正确22(本小题满分12分)根据要求证明下列各题：(1)用分析法证明：已知非零向量a，b，且ab，求证：；(2)用反证法证明：1，3不可能是一个等差数列中的三项证明：(1)abab0，要证.只需证|a|b| |ab|，只需证|a|22|a|b|b|22(a22abb2)，只需证|a|22|a|b|b|22a22b2，只需证|a|2|b|22|a|b|0，即(|a|b|)20，上式显然成立，故原不等式得证(2)假设1，3是某一个等差数列中的三项，且分别是第m，n，k项(m，n，kN*)，则数列的公差d，即1，因为m，n，kN*，所以(nm)Z，(km)Z，所以为有理数，所以1是有理数，这与1是无理数相矛盾故假设不成立，所以1，3不可能是一个等差数列的三项