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2019-2020年高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用课后导练新人教B版选修基础达标1.用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边形折起,就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为()A.6B.8C.10D.12解析:设截去的小正方形的边长为x cm,铁盒的容积为V cm3,由题意,得V=x(48-2x)2(0x0;当xr时,S0.当x=时,S取极大值.当梯形的上底长为r时,它的面积最大.答案:A3.设底为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为()A.B.C.D.解析:设底面边长为x,侧棱长为l,则V=x2sin60l,l=.S表=2S底+3S侧=x2sin60+3xl=x2+.V=0.x3=4V,即x=.又当x(0,)时y0,当x=时,表面积最小.答案:C4.以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为()A.10B.15C.25D.50解析:如图,设NOB=,则矩形面积S=5sin25cos=50sincos=25sin2,故S max=25.答案:C5.函数f(x)=x3-3x(|x|0),则L=2-.令L=0,得x=16.x0,x=16.当x=16时,L极小值=Lmin=64,堆料场的长为=32米.答案:32米和16米.7.函数y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值、最小值分别是_.答案:5,-158.函数y=sin2x-x,x-,的最大值是_,最小值是_.答案:,-9.将一段长为100 cm的铁丝截成两段,一段弯成圆,一段弯成正方形.问如何截能使正方形与圆面积之和最小,并求出最小面积.解析:设弯成圆的一段长为x,另一段长为100-x,设正方形与圆的面积之和为S,则S=()2+()2(0x100),所以S=(100-x),令S=0,得x=44 cm.由于在(0,100)内函数只有一个导数为0的点,故当x=时S最小,此时S=所以截成圆的一段铁丝长为时,可使正方形与圆的面积之和最小,最小值为10.货车欲以x km/h的速度行驶,去130 km远的某地.按交通法规,限制x的允许范围是40x100.假设汽油的价格为5元/升,而汽车耗油的速率是(2+)升/小时.司机的工资是14元/小时,试问最经济的车速是多少?这次行车的总费用最低是多少?解析:汽车运行的时间为小时,耗油量为升,耗油费用为2元,司机的工资为14元.故这次行车的总费用为y=5y=130由y=0,得40x100内的唯一解为x=24342 km/h.最经济的车速为42 km/h,最低费用为130150(元).综合运用11.如图,一艘渔船停泊在距岸9 km的A处,今需派人送信给距渔船3 km处的海岸渔站C,若送信人步行速度为每小时5 km,船速为每小时4 km,问在何处上岸,可以使抵站的时间最省?参考导数公式()=f(x)解析:设上岸点为D,BD=x,BC=15,AD=,所用时间t(x)=t(x)=解得x=12.15-x=15-12=3 km.上岸点在距渔站3 km处.12.如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时,其容积最大.解析:设被切去的全等四边形的一边长为x,如图,则正六棱柱的底面边长为1-2x,高为x,正六棱柱的体积V=6(1-2x)23x(0x0,V是增函数;当x(,)时V0).当吨时,取得最大值为元.乙方获得最大利润的年产量为t=吨.(2)设乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方在索赔中获得的净收入为v元,则t=吨,v=st-0.002t2=v=令v=0,得s=20.当s20时,v0,所以v在 (20,+)上单调递减;当s0,所以v在(0,20)上单调递增.所以s=20时,v取得极大值,也就是最大值.所以在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是20元.拓展探究14.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.当每辆车的月租定为3 600元时,能租出多少辆车?每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为多少?解:(1)当每辆车的月租金为3 600元时,未出租的车辆数为所以这时租出了88辆车.(2)设每辆车的月租金定为x元,则租赁公司的月收益f(x)=f(x)=-+162由f(x)=0得当x=4 050时,f(x)最大,最大值为f(4 050)=307 050.
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