2019-2020年高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介达标训练新人教A版选修.doc

2019-2020年高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介达标训练新人教A版选修基础巩固1已知点P的柱坐标为(,5)，点B的球坐标为(,)，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )A.P点(5,1,1)，B点()B.P点(1,1,5)，B点()C.P点()，B点(1,1,5)D.P点(1,1,5)，B点()思路解析：设P点的直角坐标为(x,y,z),x=cos=1,y=sin=1,z=5.设B点的直角坐标为(x,y,z),x=sincos=,y=sinsin=,z=cos=.所以点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标为(,).答案：B2如图1-4-8，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5),C1(6,5)，则此长方体外接球的体积为_.图1-4-8思路解析：由长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5),C1(6,5),可知OA=4,OC=6,OO1=5,则对角线长为,那么球的体积为()3=.答案：3我国首都北京的球坐标为(6 370,50,)，求北京所在的纬线的长度约为多少千米?（地球半径约6 370 km,cos40=0.766 0）思路解析：如图,可根据点A的球坐标找到纬度圈上的半径，从而可以求出纬线的长度来.解：首都北京的球坐标为(6 370,50,)，设为点A，则|OA|=6 370，AOO=50，|OA|=|OA|sin50=|OA|cos40=6 3700.766 0，所以纬度圈长为23.1426 3700.766 0=3.066104 km.4在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CACB1，BCA=90，棱AA1=2，M是A1B1的中点.求出点M的空间直角坐标,柱坐标,球坐标来.思路解析：建立适当的坐标系，如图.求点M的空间直角坐标，需要找到(x,y,z)；求点M的柱坐标，需要找到(,z)；求点M的球坐标，需要找到(r,).解：过点M作底面xCy的垂线MN，ABCA1B1C1是直三棱柱，N点在直线AB上.由点N分别作x轴,y轴的垂线EN,NF，根据已知可得ABC是等腰直角三角形，EN=NF=，这样，点M的空间直角坐标为(,2)；由于点M在平面xCy的射影为点N，CN的长度与ECN的大小就是点M的柱坐标的量，CN=，ECN=，这样，点M的柱坐标为(,2)；CM=r=，在CC1M中，tan=，这样点M的球坐标为(,arctan,).5如图1-4-9，两平行面去截球，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A(25,arctan,A)、B(25,-arctan,B)，求出这两个截面间的距离.图1-4-9思路解析：根据已知可得球半径为25,这样就可以在RtAOO1和RtBOO1中求出OO1及OO2的长度来,可得两个截面间的距离为O1O2.解：由已知,OA=OB=5,AOO1=arctan,BOO1=-arctan,在AOO1中,tanAOO1=.OA=25,OO1=7.在BOO2中,BOO2=arctan,tanBOO2=.OB=25,OO2=20.故O1O2=OO1+OO2=7+20=27.6如图，在柱坐标系中，O(0,0,4),A(3,a,4),B1(3,b,0)，其中，a-b=60，求直线AB1与圆柱的轴OO1所成的角和AB1的长.图1-4-0思路分析：由点O,A,B1的柱坐标，可知圆柱的高为4，底面半径为3，AOB=60.解：作OBO1B1交上底圆周于点B，连结AB，AOB=60，则OAB为等边三角形.OBO1B1,BB1与AB1所成的角就是AB1与圆柱的轴OO1所成的角.又BB1垂直AB所在平面，BB1AB.在RtABB1中，tanAB1B=,AB1B=arctan.AB1=5.综合应用7在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系.有A、B两个城市，它们的球坐标分别为A(R,)、B(R,).飞机应该走怎样的航线最快，所走的路程有多远？思路分析：根据A、B两地的球坐标找到地球的半径,纬度,经度,当飞机走AB两地的大圆时,飞机最快,所走的路程实际上是过A,B两地的球面距离.解：如图所示,因为A(R,),B(R,),可知AOO1=O1OB=,O1AO=O1BO=.又EOC=,EOD=,COD=-=.COD=AO1B=.在RtOO1B中,O1BO=,OB=R,O1B=O1A=R.AO1B=,AB=R.在AOB中,AB=OB=OA=R,AOB=.经过A、B两地的球面距离为R.走经过A、B两地的大圆,飞机航线最短,其距离为R.8结晶体的基本单位称为晶胞，图1-4-11(1)是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），图形中的点代表钠原子，其他点代表氯原子，如图1-4-11(2)，建立空间直角坐标系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标,柱坐标.图1-4-11思路分析：在空间直角坐标中,我们需要找点的(x,y,z)；在柱坐标系中,需要找到(,z)；在球坐标系中,需要找到(r,).解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层的原子全部在xOy平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),(1,0),(,),(1,),(,),它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0),(,0),(1,0),(,0)；中层的原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交点的竖坐标为,所以这四个钠原子所在位置的球坐标分别为(,0),(,arccos,arctan),(,arccos,arctan2),(,),它们的柱坐标分别为(,0,)、(,arctan,)、(,arctan2,)、(,)；上层的钠原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交点的竖坐标为1,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1,0,0),(,0),(,arctan,),(,),(,arctan,),它们的柱坐标分别为(0,0,1),(1,0,1),(,1),(1,1),(,1).9距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离.你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？解：(1)在平面直角坐标系中,已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),则|P1P2|=.(2)在空间直角坐标系,如图,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,且点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)在xOy平面上的射影分别为M、N,那么M、N的坐标为M(x1,y1,0)、N(x2,y2,0),在xOy平面上,|MN|=.过点P1作P2N的垂线,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|.在RtP1HP2中,|P1H|=|MN|=,根据勾股定理,得|P1P2|=.因此,空间中点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1P2|=.(3)我们来确定P1、P2两点在柱坐标系中的距离公式：根据空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(,z)之间的变换公式：P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),有可得|P1P2|=.(4)我们来确定P1、P2两点在球坐标系中的距离公式：空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,)之间的变换关系为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),有及.可得|P1P2|=