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2019-2020年高中数学2.3平面向量的数量积2.3.2向量数量积的运算律优化训练新人教B版必修5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.有下面四个关系式:00=0;(ab)c=a(bc);ab=ba;0a=0.其中正确的个数是 ( )A.4 B.3 C.2 D.1解析:只有是正确的.错,因为数量积的结果是数量而不是向量;错,因为数量积不满足结合律;错,因为实数与向量的积结果应是向量.答案:D2.已知e1和e2是两个单位向量,夹角为,则下面的向量中与2e2-e1垂直的是( )A.e1+e2 B.e1-e2 C.e1 D.e2解析:依题意,|e1|2=|e2|2=1,=,e1e2=|e1|e2|cos=.对于A,(e1+e2)(2e2-e1)=2e22-e12+e1e2=;对于B,(e1-e2)(2e2-e1)=-2e22-e12+3e1e2=;对于C,e1(2e2-e1)=2e1e2-e12=0;对于D,e2(2e2-e1)=2e22-e1e2=.e1(2e2-e1).答案:C3.已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为,则|a+b|、|a-b|的值分别为_、_.解析:依题意得a2=|a|2=25,b2=|b|2=25. ab=|a|b|cos=55cos=.|a+b|=.同理,|a-b|=5.答案: 54.已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60,则(a+2b)(a-3b)= _.解:(a+2b)(a-3b)=aa-ab-6bb=|a|2-ab-6|b|2=|a|2-|a|b|cos-6|b|2=62-64cos60-642=-72.答案:-7210分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.关于向量a、b,下列命题中正确的是( )A.a-b=a+(-b) B.a-a=0C.|a-b|a|-|b| D.ab存在唯一的R,使b=a解析:向量的和与差仍是向量,因此B是错误的,应改为a-a=0.根据向量减法的三角形法则,当非零向量a与b不共线时,|a-b|a|-|b|;当a与b同向或a,b中有一个为0时,|a-b|=|a|-|b|,因此C不正确;D是在判断两向量平行时最常见的错误,它成立的前提是a0.答案:A2.向量m和n满足|m|=1,|n|=2,且m(m-n),则m与n夹角的大小为( )A.30 B.45 C.75 D.135解析:设m与n夹角为,则由m(m-n),知m(m-n)=0,m2-mn=0,mn=m2=|m|2=1.cos=.=45.答案:B3.已知非零向量a、b、c两两夹角相等,且|a|=|b|=|c|=1,则|a+b+c|等于( )A.0 B.1 C.3 D.0或3解析:a、b、c两两夹角相等有两种情形:夹角为0(即三个向量同向)和夹角为120.答案:D4.若向量a、b、c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4,则ab+bc+ca=_.解析:解法一:根据已知条件,知|c|=|a|+|b|,c=-a-b,从而可知a与b同向,c与a、b反向.所以有ab+bc+ca=31cos0+14cos+43cos=3-4-12=-13.解法二:因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),所以ab+bc+ca=-13.答案:-135.已知|a|=4,|b|=5,且a,b夹角为60.求值:(1)a2-b2;(2)(2a+3b)(3a-2b).解:(1)a2-b2=|a|2-|b|2=42-52=-9;(2)(2a+3b)(3a-2b)=6a2+5ab-6b2=616+545cos60-625=-4.6.在ABC中,若=,那么点O是ABC的什么特殊点?解:如图,由=,得(-)=0,=0.即OBCA.同理,OCAB. BC.O为ABC的垂心.30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.以下等式中恒成立的有( )|ab|=|a|b| (ab)2=a2b2 |a|= a2-2b2=(a-b)(a+b)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析:对于,|ab|=|a|b|cos|a|b|,仅当=0或180时或b=0或a=0时等号成立;对于,实质上是依据乘法结合律进行的变形,对于向量的内积运算不适用;和均符合运算法则,故只有正确.答案:B2.若a+b=c,a-b=d,且cd,则一定有( )A.a=b B.|a|=|b| C.ab D.|a|=|b|且ab解析:cd,(a+b)(a-b)=0.a2-b2=0,即|a|=|b|,故应选B.答案:B3.(xx高考浙江卷,文2)设向量a,b,c满足a+b+c=0,ab,|a|=1,|b|=2,则|c|2等于( )A.1 B.2 C.4 D.5解析:|c|2=|a+b|2=a2+b2+2ab=|a|2+|b|2=5.答案:D4.已知a,b是非零向量,满足(a-2b)a,(b-2a)b,则a与b的夹角是( )A. B. C. D.解析:由(a-2b)a,(b-2a)b,a(a-2b)=0,b(b-2a)=0.a2=2ab,b2=2ab.2|a|b|cos=|a|2=|b|2.cos=,=.答案:B5.在菱形ABCD(如图2-3-1)中,下列关系式不正确的是( )图2-3-1A. B.(+)(+)C.(-)(-)=0 D.=解析:A显然正确;B:+=,+=,菱形对角线垂直,.B正确;C:-=,-=,同B一样,正确.D:=|cosBAD,=|cos(-BAD)=-|cos BAD=-|.D错误.答案:D6.A、B、C、D为平面上四个互异点,且满足(+-2)(-)=0,则ABC的形状是( )A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形解析:由(+-2)(-)=0,知(-)+( -)(-)=0,(+)(-)=0,即2=2.|=|.答案:B7.已知:ab=,|a|=4,则b在a方向上的射影数量为_.解析:|a|b|cosa,b=,又|a|=4,|b|cosa,b=.答案:8.设O、A、B、C为平面上的四个点,=a,=b,=c,且a+b+c=0,ab=bc=ca=-1,则|a|+|b|+|c|=_.解析:a(a+b+c)=a0=0,aa+ab+ac=0,aa-1-1=0,|a|=.同理|b|=|c|=,即|a|+|b|+|c|=.答案:9.已知|a|=4,|b|=3,a与b的夹角为120,且c=a+2b,d=2a+kb,问当k取何实数时,(1)cd;(2)cd?解:设c与d的夹角为,则由已知得cd=(a+2b)(2a+kb)=2a2+(4+k)ab+2kb2=242+(4+k)43cos120+2k32=8+12k,|c|=|a+2b|=,|d|=|2a+kb|=.cos=.(1)要使cd,只要cos=0,即6k+4=0.k=.(2)要使cd,只要cos=1,即=(6k+4),解得k=4.综上,当k=时,cd;当k=4时,cd.10.已知a,b为非零向量,当a+tb(tR)的模取到最小值时,(1)求t的值;(2)已知a与b共线同向,求证:b(a+tb).(1)解:令m=|a+tb|,为a,b的夹角,则m2=|a|2+2tab+t2|b|2=t2|b|2+2t|a|b|cos+|a|2=|b|2(t+cos)2+|a|2sin2,当t=cos时,|a+tb|有最小值|a|sin.(2)证明:a与b共线且同向,故cos=1,t=.b(a+tb)=ab+t|b|2=|a|b|-|a|b|=0.b(a+tb).11.设ab,且|a|=2,|b|=1,又k,t是两个不同时为零的实数,(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,求k关于t的函数关系式k=f(t);(2)求出函数k=f(t)的最小值.解:(1)ab,ab=0.又xy,xy=0,即a+(t-3)b(-ka+tb)=0.-ka2-k(t-3)ab+tab+t(t-3)b2=0,|a|=2,|b|=1,-4k+t2-3t=0,即k=(t2-3t).(2)由(1)知k=(t2-3t)=(t-)2-,即函数最小值为-.
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