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2.2几种常见的平面变换 反射变换与旋转变换,高中数学选修4-2矩阵与变换,1.恒等变换矩阵(单位矩阵),温故知新,恒等变换是指对平面上任何一点(向量)或图形施以 矩阵 对应的变换,都把自己变为自己.,2.伸压变换矩阵,伸压变换 矩阵是指将图形作沿x轴方向伸长或压缩, 或沿y轴方向伸长或压缩的变换矩阵.,伸压变换,温故知新,两个几何图形有何特点？,问题情境,O,已知在平面直角坐标的第一象限有一张汽车图片F, 将它做关于x轴、y轴和坐标原点对称的变换,分别得到图片F1 , F2 , F3 ,这些变换能用矩阵来刻画吗?,问题情境,轴对称的几,问题1：若将一个平面图形,在矩阵,的作用变换下得到关于,何图形，则如何来求出这个矩阵呢？,变换矩阵为,问题2：能否再找出其它类似的变换矩阵吗？,对称的图形；,对称的图形；,一般地，称形如,这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵,称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换，其中（3）叫做中心反射，其余叫轴反射.其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点.,构建数学,例1 求出曲线,在矩阵,作用下变换所得的图形.,数学应用,例2.求出直线,在矩阵,作用下变换得到的图形.,1,数学应用,变:,例3.求直线,在矩阵,作用下变换得到的图形.,思考2：我们从中能猜想什么结论？,数学应用,一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线.,或点,建构数学,M(l1a+l2b) = l1Ma+l2Mb,上式表明，在矩阵M的作用下，直线l1a+l2b 变成直线 l1Ma+l2Mb.,这种把直线变成直线的变换，通常叫做线性变换.,反之，平面上的线性变换可以用矩阵来表示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的性变换.,(即形如 的几何变换叫做线性变换),建构数学,因此，在研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后形成的图形时，只需考察顶(端)点的变化结果即可.,课堂反馈,变式训练,1.设 ,若,所定义的线性变,变换成另一直线,求a，b的值.,换把直线,2.二阶矩阵M对应的变换将 (1,-1)与(-2,1 ) 分别,变换成(5,7)与(-3,6),（1）求矩阵M,（2）求直线,在此变换下所变成的,的解析式.,直线,变式训练,3.求直线x=2在二阶矩阵 对应的变换下所变成的图形.,变式训练,问题情境,假设大风车的叶片在同一平面内转动，以旋转中心为坐标原点建立直角坐标系，如上图.,O,x,y,O,x,y,已知大风车上一点P(x，y)，它围绕旋转中心O逆时针旋转q角到另外一点P(x，y).,问题情境,因此，旋转前后叶片上的点的位置变化可以看做是一个几何变换.,思考：怎样用矩阵来刻画这一变换？,r,旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转的变换矩阵.其中称为旋转角,点O为旋转中心.,旋转变换,构建数学,旋转变换,M=,旋转变换矩阵主对角线上的两个数相等，副对角线上的两个数互为相反数,且每行、每列的两个数的平方和为1.另外中心对称与旋转1800是同一变换, 要注意旋转变换中旋转方向为逆时针.,旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.,旋转变换与反射变换有什么异同点？,绕定点旋转1800的变换相当于关于定点作中心反射变换.,数学应用,例1.已知A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）、D（0，1） 试求矩形ABCD绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并 求出其顶点坐标，画出示意图.,变式：将条件改为矩形ABCD绕原点顺时针旋转300.,例2求圆C：,绕原点逆时针旋转300的旋转变换所得的曲线，并写出变换矩阵.,练习1：矩阵,将平面上的点作怎样的变换？,练习2：点（1，y）在旋转变换矩阵,的作用下得到点(x,2),求m,n,x,y的值,本课小结,矩阵 通常叫做旋转变换矩阵.,对应的变换称做旋转变换.,其中的角q做旋转角.,点O叫做旋转中心.,旋转变换只改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状.,图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.,本节内容中心为坐标原点,作业：,P34 6、8,
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