2019-2020年高中数学 4.3 平面坐标系中几种常见变换教案 苏教版选修4-4.doc

2019-2020年高中数学 4.3 平面坐标系中几种常见变换教案 苏教版选修4-443.1平面直角坐标系中的平移变换课标解读1.理解平移的意义，深刻认识一个平移就对应一个向量2.掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数的解析式.1平移在平面内，将图形F上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F的平移，若以向量a表示移动的方向和长度，也称图形F按向量a平移2平移变换公式设P(x，y)，向量a(h，k)，平移后的对应点P(x，y)，则(x，y)(h，k)(x，y)或1求平移后曲线的方程的步骤是什么？【提示】步骤：(1)设平移前曲线上一点P的坐标为(x，y)，平移后的曲线上对应点P的坐标为(x，y)；(2)写出变换公式并转化为(3)利用上述公式将原方程中的x，y代换；(4)按习惯，将所得方程中的x，y分别替换为x，y，即得所求曲线的方程2在图形平移过程中，每一点都是按照同一方向移动同样的长度，你是如何理解的？【提示】其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此，从向量的角度看，一个平移就是一个向量其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图形上点的平移.平移变换公式的应用点M(8，10)按a平移后的对应点M的坐标为(7,4)，求a.【自主解答】由平移公式得解得即a(15,14)把点A(2,1)按a(3,2)平移，求对应点A的坐标(x，y)【解】由平移公式得即对应点A的坐标(1,3)平移变换公式在圆锥曲线中的应用求双曲线4x29y216x54y290的中心坐标、顶点坐标、焦点坐标与对称轴方程、准线方程和渐近线方程【思路探究】把双曲线方程化为标准方程求解【自主解答】将方程按x，y分别配方成4(x2)29(y3)236，即1.令方程可化为1.双曲线1的中心坐标为(0,0)，顶点坐标为(0,2)和(0，2)，焦点坐标为(0，)和(0，)，对称轴方程为x0，y0，准线方程为y，渐近线方程为0.根据公式可得所求双曲线的中心坐标为(2,3)，顶点坐标为(2,5)和(2,1)，焦点坐标为(2,3)和(2,3)，对称轴方程为x2，y3，准线方程为y3，渐近线方程为0，即2x3y130和2x3y50.几何量a，b，c，e，p决定了圆锥曲线的几何形状，它们的值与圆锥曲线的位置无关，我们将其称为位置不变量已知抛物线yx24x7.(1)求抛物线顶点的坐标；(2)求将这条抛物线平移到顶点与坐标原点重合时的函数解析式【解】(1)设抛物线yx24x7的顶点O的坐标为(h，k)，那么 h2，k3，即这条抛物线的顶点O的坐标为(2,3)(2)将抛物线yx24x7平移，使点O(2,3)与点O(0,0)重合，这种图形的变换可以看做是将其按向量平移得到的，设的坐标为(m，n)，那么所以抛物线按(2，3)平移，平移后的方程为yx2.(教材第40页习题4.3第3题)写出抛物线y28x按向量(2,1)平移后的抛物线方程和准线方程(xx无锡质检)将函数y2x的图象l按a(0,3)平移到l，求l的函数解析式【命题意图】本题主要考查平面直角坐标系中平移公式的运用【解】设P(x，y)为l的任意一点，它在l上的对应点P(x，y)由平移公式得将它们代入y2x中得到y32x，即函数的解析式为y2x3.1将点P(7,0)按向量a平移，得到对应点A(11,5)，则a_.【答案】(4,5)2直线l：3x2y120按向量a(2，3)平移后的方程是_【答案】3x2y03曲线x2y22x2y10的中心坐标是_【解析】配方，得(x1)2(y1)21.【答案】(1，1)4开口向上，顶点是(3,2)，焦点到顶点距离是1的抛物线方程是_【解析】开口向上，焦点到顶点距离是1的抛物线的标准方程是x24y，所以所求抛物线的方程是(x3)24(y2)【答案】(x3)24(y2)1已知函数yx2图象F按平移向量a(2,3)平移到F的位置，求图象F的函数表达式【解】在曲线F上任取一点P(x，y)，设F上的对应点为P(x，y)，则xx2，yy3，xx2，yy3.将上式代入方程yx2，得：y3(x2)2，y(x2)23，即图象F的函数表达式为y(x2)23.2求椭圆4x29y224x18y90的中心坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、离心率及准线方程【解】因椭圆方程可化为1，其中心为(3,1)，焦点坐标为(3，1)，长轴长为6，短轴长为4，离心率为，准线方程为x3.3圆x2y225按向量a平移后的方程是x2y22x4y200，求过点(3,4)的圆x2y225的切线按向量a平移后的方程【解】由题意可知a(1，2)，因为平移前过点(3,4)的圆x2y225的切线方程为3x4y25，所以平移后的切线方程为3(x1)4(y2)25，即3x4y200.4已知两个点P(1,2)、P(2,10)和向量a(3,12)回答下列问题：(1)把点P按向量a平移，求对应点的坐标；(2)把某一点按向量a平移得到对应点P，求这个点的坐标；(3)点P按某一向量平移，得到的对应点是P，求这个向量的坐标【解】(1)平移公式为由x1，y2，解得x2，y14，即所求的对应点的坐标为(2,14)(2)平移公式为由x2，y10，解得x5，y2，即所求点的坐标为(5，2)(3)平移公式为由x1，y2，x2，y10，解得h1，k8，所以所求的向量的坐标为(1,8)5将二次函数yx2的图象按向量a平移后得到的图象与一次函数y2x5的图象只有一个公共点(3,1)，求向量a的坐标【解】设a(h，k)，所以yx2平移后的解析式为yk(xh)2，即yx22hxh2k与直线y2x5只有一个公共点，则直线为抛物线在(3,1)处的切线，由导数知识，知yx22hxh2k在(3,1)处切线的斜率为62h，从而62h2，h2.又点(3,1)在yk(xh)2上，解得k0，所以向量a的坐标为(2,0)6抛物线yx24x7按向量a平移后，得到抛物线的方程是yx2.求向量a及平移前抛物线的焦点坐标【解】抛物线方程可化为y3(x2)2，平移后的抛物线方程为yx2，所以a(2，3)，因为yx2的焦点坐标为(0，)，所以平移前抛物线的焦点坐标为(02，3)，即(2，)7已知双曲线的渐近线方程为4x3y90与4x3y150，一条准线的方程为y，求此双曲线的方程【解】两渐近线的交点即双曲线中心，故由解得交点为(3,1)，即中心为(3,1)又一条准线方程为y，说明焦点所在的对称轴平行于y轴，所以可设双曲线方程为1，它的渐近线方程可写成0，准线方程为y1，而已知渐近线方程为4x3y90，即4(x3)3(y1)0，另一条渐近线方程为4x3y150，即4(x3)3(y1)0，合并即为0.对照，得.而已知准线方程y，即y1.对照，得.由，解得a4，b3，c5.故所求双曲线方程为1.教师备选8已知抛物线yx24x8，(1)求将这条抛物线的顶点平移到点(3，2)时的抛物线方程；(2)将此抛物线按怎样的向量a平移，能使平移后的方程是yx2?【解】(1)将抛物线yx24x8配方，得y(x2)212，故抛物线顶点的坐标为P(2，12)，将点(2，12)移到(3，2)时，其平移向量a(1,10)，于是平移公式为即因为点(x，y)在抛物线yx24x8上，所以y10(x1)24(x1)8，即yx26x7.所以平移后的方程为yx26x7.(2)法一设平移向量a(h，k)，则平移公式为将其代入yx24x8，得yk(xh)24(xh)8，化简整理，得yx2(2h4)xh24hk8.令解得此时yx2.所以当图象按向量a(2,12)平移时，可使函数的解析式化为yx2.法二将抛物线yx24x8，即y12(x2)2平移到yx2.只需要作变换所以平移对应的向量坐标为(2,12)43.2平面直角坐标系中的伸缩变换课标解读1.了解平面直角坐标系中的伸缩变换，能运用伸缩变化进行简单的变换2.体会平面直角坐标系中的伸缩变换给图形带来的变化.1横坐标的伸缩变换一般地，由(k0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着y轴的伸缩变换(当k1时，表示伸长；当0k1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k倍(这里(x，y)是变换前的点，(x，y)是变换后的点)2纵坐标的伸缩变换一般地，由(k0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着x轴的伸缩变换(当k1时，表示伸长；当0k1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的k倍(这里(x，y)是变换前的点，(x，y)是变换后的点)3伸缩变换一般地，设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称为伸缩变换1如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的，圆x2y24的图形变为什么图形？伸缩变换可以改变图形的形状吗？那平移变换呢？【提示】x2y24的图形变为椭圆：y21.伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不改变它的形状2如何理解平面直角坐标系中的伸缩变换？【提示】在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化如在下列平面直角坐标系中，分别作出f(x，y)0的图形：(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的.第(1)种坐标系中的意思是x轴与y轴上的单位长度一样，f(x，y)0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f(x，y)0的图形；第(2)种坐标系中的意思是如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，此时f(x，y)0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的；第(3)种坐标系中的意思是如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，此时f(x，y)0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的伸缩变换对下列曲线进行伸缩变换(k0，且k1)(1)ykxb；(2)(xa)2(yb)2r2.【自主解答】设P(x，y)是变换前的点，P(x，y)是变换后的点，由题意，得即(1)由yk(x)b，ykxkb，得直线ykxb经过伸缩变换后的方程为ykxkb，仍然是一条直线当b0时，该直线和原直线重合；当b0时，该直线和原直线平行(2)由(xa)2(yb)2r2，(xka)2(ykb)2(kr)2，得圆(xa)2(yb)2r2经过伸缩变换后的方程为(xka)2(ykb)2(kr)2，它是一个圆心为(ka，kb)，半径为|kr|的圆在同一平面直角坐标系中，将直线x2y2变成直线2xy4，求满足图象变换的伸缩变换【解】设变换为，代入直线方程2xy4得：2xy4，即xy2，比较系数得：1，4，即直线x2y2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2xy4.伸缩变换的应用曲线y2sin 3x变换成曲线y3sin 2x，求它的一个伸缩变换【思路探究】设代入y3sin 2x，所得式再与y2sin 3x比较即可求、.【自主解答】将变换后的曲线y3sin 2x改成y3sin 2x.设伸缩变换代入y3sin 2x；得y3sin(2x)即ysin(2x)，与y2sin 3x比较系数，得即所以伸缩变换为确定一个伸缩变换，实际上就是求其变换方法，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数即可(1)圆x2y2a2经过什么样的伸缩变换，可以使方程变为1(0ba)?(2)分析圆x2y2a2的一条弦所在直线和经过该弦中点的直径所在直线经过上述伸缩变换后的位置关系【解】(1)椭圆1可以化为x2a2，设即所以圆x2y2a2经过向着x轴方向上的伸缩变换，伸缩系数k，可以使方程变为1.(2)若圆x2y2a2的一条弦所在直线的斜率存在且不为0，设其方程为ykxm，根据垂径定理，经过该弦中点的直径所在直线的方程为yx.由ykxm，得yxm.所以直线ykxm经过变换，方程可变为yxm.由yx，得yx，所以直线yx经过变换，方程可变为yx.此时，两条直线的斜率乘积是定值.若圆x2y2a2的弦所在直线的方程为xn，则经过其中点的直径所在直线的方程为y0，伸缩变换后其方程分别变为xn，y0.此时两直线依然垂直若圆x2y2a2的弦所在直线的方程为yn，则经过其中点的直径所在直线的方程为x0，伸缩变换后其方程分别变为yn，x0.此时两直线依然垂直(教材第41页习题4.3第8题)对下列曲线向着x轴进行伸缩变换，伸缩系数k2：(1)x24y216；(2)x2y24x2y10.(xx南京模拟)求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x2y21变成曲线1.【命题意图】本题主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换【解】设变换为代入方程1，得1.与x2y21比较，将其变形为x2y21，比较系数得3，2.即将圆x2y21上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆1.1直线x4y60按伸缩系数向着x轴的伸缩变换后，直线的方程是_【答案】x8y602直线2x3y0按伸缩系数3向着y轴的伸缩变换后，直线的方程是_【答案】2x9y03曲线x2y24按伸缩系数2向着y轴的伸缩变换后，曲线的方程是_【答案】14ycos x经过伸缩变换后，曲线方程变为_【解析】由，得，代入ycos x，得ycos x，即y3cos x.【答案】y3cos 1在平面直角坐标系中，求下列方程经过伸缩变换后的方程(1)2x3y0；(2)x2y21.【解】由伸缩变换得到(1)将代入2x3y0，得到经过伸缩变换后的方程为xy0，所以，经过伸缩变换后，直线2x3y0变成直线xy0.(2)将代入x2y21，得1.所以，经过伸缩变换后，方程x2y21变成1.2伸缩变换的坐标表达式为曲线C在此变换下变为椭圆x21.求曲线C的方程【解】把代入x21，得x2y21，即曲线C的方程为x2y21.3设F：(x1)2(y1)21在的伸缩变换下变为图形F，求F的方程【解】由得所以(x1)2(y1)21变换为(x1)2(y1)21，即(y1)21，所以F的方程是(y1)21.4双曲线1经过伸缩变换能化为等轴双曲线x2y21吗？【解】双曲线方程1可以化为()2()21.令则x2y21.所以双曲线1可以通过伸缩变换化为等轴双曲线x2y21，具体步骤是：按伸缩系数向着y轴进行伸缩变换，再将曲线按伸缩系数向着x轴进行伸缩变换5已知G是ABC的重心，经过伸缩系数k向着x轴(或y轴)的伸缩变换后，得到G和ABC.试判断G是否为ABC的重心【解】设ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，则G(，)经过伸缩系数k向着x轴的伸缩变换后，得到ABC的三个顶点及点G的坐标分别为A(x1，ky1)、B(x2，ky2)，C(x3，ky3)，G(，k)由于ABC的重心坐标为(，)，所以G仍然是ABC的重心同理可证，若伸缩变换向着y轴方向，G同样也是ABC的重心6已知：ABC经过伸缩变换(k0，且k1)后，得到ABC.求证：ABC和ABC相似，且面积比为k2.【证明】设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则A(kx1，ky1)、B(kx2，ky2)所以AB|k|k|AB.同理可得AC|k|AC，BC|k|BC，所以ABCABC，所以AA，SABC(|k|AB)(|k|AC)sin Ak2(ABAC)sin Ak2SABC.7设P1、P2是直线l上的两点，点P是l上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数，使PP2，称为点P分有向线段P1P2所成比设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，点P分有向线段P1P2所成比为，经过伸缩变换后，点P1、P2和P分别变为P1、P2和P.求证：P1、P2和P三点依然共线，且P分有向线段P1P2所成比等于.【证明】设P(x0，y0)，由，得(x0x1，y0y1)(x2x0，y2y0)，所以设给定伸缩变换为则有P1(k1x1，k2y1)、P2(k1x2，k2y2)、P(k1，k2)(k1k1x1，k2k2y1)(，)，(k1x2k1，k2y2k2)(，)，所以.所以P1、P2和P三点依然共线，且P分有向线段P1P2所成比等于.教师备选8在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线1的图形：(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍【解】(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，双曲线1的图形如下：(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，双曲线1的图形如下：(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，双曲线1的图形如下：选修44阶段归纳提升坐标系)极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标互化的公式或当不能直接使用公式时，可通过适当变换，化成能使用的形式把下列极坐标化为直角坐标：(1)M(5，)；(2)N(2，)；(3)P(2，)；(4)Q(2，)【解】(1)由题意知x5cos 5()，y5sin 5.所以M点的直角坐标为(，)(2)x2cos 200，y2sin 2(1)2.所以N点的直角坐标为(0，2)(3)x2cos 2()，y2sin 2().所以P点的直角坐标为(，)(2)x2cos()2，y2sin()2()1.所以Q点的直角坐标为Q(，1).极坐标的应用主要应用极坐标与直角坐标的互化公式解决问题，注意极坐标系中的和的含义(xx陕西高考)直线2cos 1与圆2cos 相交的弦长为_【解析】直线2cos 1可化为2x1，即x；圆2cos 两边同乘得22cos ，化为直角坐标方程是x2y22x.将x代入x2y22x得y2，y.弦长为2.【答案】伸缩变换变换公式其中P(x，y)为变换前的点，P(x，y)为变换后的点将圆锥曲线C按伸缩变换公式变换后得到双曲线x2y21，求曲线C的方程【解】设曲线C上任意一点P(x，y)，通过伸缩变换后的对应点为P(x，y)，由得代入x2y21得()2()21，即1为所求综合检测(一)(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1极坐标为M(8，)，N(8，)，P(8，)，Q(8，)的四点中，与点A(8，)表示同一点的有_个【答案】32已知点P的直角坐标为(，3)，其极坐标为_【答案】(2，)3曲线的极坐标方程4sin 化成直角坐标方程为_【答案】x2(y2)244在极坐标系中，曲线4sin 和cos 1相交于点A、B，则AB_.【解析】平面直角坐标系中，曲线4sin 和cos 1分别表示圆x2(y2)24和直线x1，作图易知AB2.【答案】25极坐标方程表示的曲线是_【答案】椭圆6以(1，)为圆心，且过极点的圆的极坐标方程是_【答案】2cos 7(xx北京高考)在极坐标系中，点到直线sin 2的距离等于_【解析】极坐标系中点对应的直角坐标为(，1)极坐标系中直线sin 2对应直角坐标系中直线y2.故所求距离为1.【答案】18已知点M的柱坐标为(，)，则点M的直角坐标为_，球坐标为_【解析】设点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(，z)，球坐标为(r，)，由得由得即所以点M的直角坐标为(，)，球坐标为(，)【答案】(，)(，)9在极坐标系中，曲线2cos 和cos 2的位置关系是_【答案】相切10极坐标方程sin 表示的曲线是_【答案】两条直线11(xx天津高考)已知圆的极坐标方程为4cos ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|_.【解析】由4cos 可得x2y24x，即(x2)2y24，因此圆心C的直角坐标为(2,0)又点P的直角坐标为(2,2)，因此|CP|2.【答案】212(xx湖南高考)在极坐标系中，曲线C1：(cos sin )1与曲线C2：a(a0)的一个交点在极轴上，则a_.【解析】(cos sin )1，即cos sin 1对应的普通方程为xy10，a(a0)对应的普通方程为x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.将(，0)代入x2y2a2得a.【答案】13在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后曲线C变为曲线2x28y21，则曲线C的方程为_【解析】将代入2x28y21，得：2(5x)28(3y)21，即50x272y21.【答案】50x272y2114已知圆的极坐标方程2cos ，直线的极坐标方程为cos 2sin 70，则圆心到直线的距离为_【解析】将2cos 化为22cos ，即有x2y22x0，亦即(x1)2y21.将cos 2sin 70化为x2y70，故圆心到直线的距离d.【答案】二、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)在极坐标系中，点M坐标是(2，)，曲线C的方程为2sin()；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l经过点M和极点(1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)直线l和曲线C相交于两点A、B，求线段AB的长【解】(1)直线l过点M(2，)和极点，直线l的极坐标方程是(R)2sin()即2(sin cos )，两边同乘以得22(sin cos )，曲线C的直角坐标方程为x2y22x2y0.(2)点M的直角坐标为(1，)，直线l过点M和原点，直线l的直角坐标方程为yx.曲线C的圆心坐标为(1,1)，半径r，圆心到直线l的距离为d，AB2.16(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(x5)2(y6)21，求曲线C的方程，并判断其形状【解】将代入(x5)2(y6)21，得(2x5)2(2y6)21.化简，得(x)2(y3)2.该曲线是以(，3)为圆心，半径为的圆17(本小题满分13分)过抛物线y22px(p0)的顶点O，作两垂直的弦OA、OB，求AOB的面积的最小值【解】取O为极点，Ox轴为极轴，建立极坐标系，将抛物线方程化成极坐标方程，有2sin22pcos ，设点B的极坐标为(1，)，因为OAOB，所以A的极坐标为(2，)所以1，2.所以SAOBOAOB4p2，当时取到等号，因此AOB的面积的最小值为4p2.18(本小题满分13分)过曲线的右焦点作一倾斜角为60的直线l，求l被曲线截得的弦长【解】设直线与曲线的两个交点分别为A，B.设A(1，)，则B(2，)弦长AB|12|.