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2019-2020年高中信息技术 全国青少年奥林匹克联赛教案 排列与组合课题：排列与组合目标：知识目标：如何利用程序就各种排列和组合 能力目标：排列组合的运用重点：求出n的全排列和从m中取n个的组合难点：算法的理解板书示意：1） 求全排列的算法2） 求组合数的算法授课过程：例5：有3个人排成一个队列，问有多少种排对的方法，输出每一种方案？分析：如果我们将3个人进行编号，分别为1、2、3，显然我们列出所有的排列，123，132，213，231，312，321共六种。可用循环枚举各种情况，参考程序：program exam5;var i,j,k:integer;begin for I:=1 to 3 do for j:=1 to 3 do for k:=1 to 3 do if (i+j+k=6) and (i*j*k=6) then writeln(i,j,k);end.上述情况非常简单，因为只有3个人，但当有N个人时怎么办？显然用循环不能解决问题。下面我们介绍一种求全排列的方法。设当前排列为P1 P2 ,Pn，则下一个排列可按如下算法完成：1求满足关系式Pj-1 Pj的J的最大值，设为I，即I=maxj | Pj-1 Pj , j = 2.n2求满足关系式Pi -1 Pk的k的最大值，设为j，即J=maxK | Pi-1 Pk , k = 1.n3Pi -1与Pj互换得 (P) = P1 P2 ,Pn4(P) = P1 P2 , Pi-1 Pi, Pn部分的顺序逆转，得P1 P2 , Pi-1 Pn Pn-1, Pi便是下一个排列。例：设P1 P2 P3 P4 =34211I= maxj | Pj-1 Pj , j = 2.n = 22J=maxK | Pi-1 Pk , k =1.n = 23P1与P2交换得到432144321的321部分逆转得到4123即是3421的下一个排列。程序设计如下：program exam5;const maxn = 100;var i,j,m,t : integer; p : array1.maxn of integer; count :integer; 排列数目统计变量begin write(m:);readln(m); for i:=1 to m do begin pi:=i; write(i) end; writeln; count:=1; repeat求满足关系式Pj-1 1) and (pi-1=pi) do dec(i); if i=1 then break; 求满足关系式Pi -1 0) and (pi-1=pj) do dec(j); if j=0 then break; Pi -1与Pj互换得 (P) = P1 P2 ,Pm t:=pi-1;pi-1:=pj;pj:=t;Pi, Pm的顺序逆转 for j:=1 to (m-i+1) div 2 do begin t:=pi+j-1;pi+j-1:=pm-j+1;pm-j+1:=t end; 打印当前解 for i:=1 to m do write(pi); inc(count); writeln; until false; writeln(count)End.例6：求N个人选取M个人出来做游戏，共有多少种取法？例如：N=4，M=2时，有12，13，14，23，24，34共六种。分析：因为组合数跟顺序的选择无关。因此对同一个组合的不同排列，只需取其最小的一个（即按从小到大排序）。因此，可以设计如下算法：1最后一位数最大可达N，倒数第二位数最大可达N-1，依此类推，倒数第K位数最大可达N-K+1。若R个元素组合用C1C2 CR表示，且假定C1C2 CR, CR=N-R+I, I=1,2,R。2当存在CjN-R+J时，其中下标的最大者设为I，即I=maxJ | CjN-R+J，则作Ci := Ci +1,与之对应的操作有Ci+1 := Ci +1 ，Ci+2 := Ci +1+1 ，. ，CR := CR-1 +1参考程序：program exam6;const maxn=10;var i,j,n,m :integer; c :array1.maxnof integer; c数组记录当前组合BeginWrite(n & m:); readln(n,m); for i:=1 to m do begin初始化，建立第一个组合 ci:=i; write(ci); end; writeln; while c1n-m+1) and ( j0) do dec(j);求I=maxJ | CjN-R+J cj:=cj+1; for i:=j+1 to m do ci:=ci-1+1;建立下一个组合 for i:=1 to m do write(ci);writeln输出 end;End.
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