2019-2020年高中数学 1.4 直角三角形的射影定理教案 新人教A版选修4-1.doc

2019-2020年高中数学 1.4 直角三角形的射影定理教案 新人教A版选修4-1课标解读1.了解射影定理的推导过程2.会用射影定理进行相关计算与证明.1射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影. (2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段(3)射影：点和线段的正射影简称为射影2射影定理(1)文字语言直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项(2)图形语言如图141，在RtABC中，CD为斜边AB上的高，则有CD2ADBD.AC2ADAB.BC2BDAB.1如何使用射影定理？【提示】运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理条件时，可直接运用，有时也可通过作垂线使之满足定理的条件，在处理一些综合问题时，常常与三角形的相似相联系2如何用射影定理证明勾股定理？【提示】如图所示，在RtABC中，ACCB，CDAB于D，则由射影定理可得AC2ADAB，BC2BDBA，则AC2BC2ADABBDBA(ADBD)ABAB2，即AC2BC2AB2.由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明勾股定理，而且这种方法简捷明快，比面积法要方便得多3直角三角形射影定理的逆定理是什么？如何证明？【提示】直角三角形射影定理的逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形符号表示：如图，在ABC中，CDAB于D，若CD2ADBD，则ABC为直角三角形证明如下：CDAB，CDABDC90，又CD2ADBD，即ADCDCDBD，ACDCBD，CADBCD.又ACDCAD90，ACBACDBCDACDCAD90，即ABC为直角三角形与射影定理有关的计算已知：CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC，BC的长度比为ACBC34.求：(1)ADBD的值；(2)若AB25 cm，求CD的长【思路探究】先根据ACBC与ADBD之间的关系求出ADBD的值；再根据斜边AB的长及ADBD的值分别确定AD与BD的值最后由射影定理CD2ADBD，求得CD的长【自主解答】(1)AC2ADAB，BC2BDAB，()2()2，即ADBD916.(2)AB25 cm，ADBD916，AD259(cm)BD2516(cm)，CD12(cm)1解答本题(1)时，关键是把转化为()2.2解此类题目的关键是反复利用射影定理求解直角三角形中有关线段的长度在解题时，要紧抓线段比之间的关系及线段的平方与乘积相等这些条件，紧扣等式结构形式，达到最终目的图142如图142，在RtABC中，CD为斜边AB上的高，若AD2 cm，DB6 cm，求CD，AC，BC的长【解】CD2ADDB2612，CD2(cm)AC2ADAB2(26)16，AC4(cm)BC2BDAB6(26)48，BC4(cm)故CD、AC、BC的长分别为2 cm,4 cm,4 cm.与射影定理有关的证明图143已知如图143，在ABC中，ACB90，CDAB于D，DEAC于E，DFBC于F.求证：CD3AEBFAB.【思路探究】ACB90，CDABCD2ADDBCD3AEBFAB.【自主解答】BCA90，CDBA，CD2ADBD.又DEAC，DFBC，AD2AEAC，BD2BFBC，CD4AD2BD2AEACBFBCAEBFACBC.而SABCACBCABCD，CD4AEBFABCD.即CD3AEBFAB.1解答本题的关键是利用SABCACBCABCD进行转化2在证明与直角三角形有关的问题时，常用射影定理来构造比例线段，从而为证明三角形相似创造条件在本例条件不变的情况下，求证：.【证明】根据题意可得，DECF，CEDF，DE2AECE，DF2BFCF，DE2BFCFDF2AECE，DE3BFDF3AE，即.(教材第22页习题1.4第1题)在ABC中，C90，CD是斜边AB上的高，已知CD60，AD25，求BD，AB，AC，BC的长(xx商丘模拟)如图144，已知RtABC的两条直角边AC、BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD_cm.图144【命题意图】本题主要考查直角三角形的射影定理及运算求解能力【解析】连接CD，则CDAB.由AC3cm，BC4cm得AB5cm.由射影定理得BC2BDBA，即425BD.所以BDcm.【答案】1. 如图145，在RtABC中，ACCB，CDAB于D且CD4，则ADDB()A16B4C2 D不确定图145【解析】由射影定理ADDBCD24216.【答案】A2已知：在ABC中，ACB90，CD是AB边上的高，BC cm，BD3 cm，则AD的长是()A5 cm B2 cmC6 cm D24 cm【解析】BC2BDAB，153AB，即AB5，ADABBD532(cm)【答案】B3. 如图146所示，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，CD2，BD3，则AC_.图146【解析】由CD2BDAD得AD，ABBDAD3，AC2ADAB，AC.【答案】4一个直角三角形两条直角边的长分别为1 cm和 cm，则它们在斜边上的射影比为_【解析】如图，在RtACB中，ACB90，CDAB于D，AC1 cm，BC cm，AC2ADAB1，BC2BDAB5，.【答案】15一、选择题1ABC中，ACB90，CDAB于D，AD3，BD2，则ACBC的值是()A32B94C. D.【解析】如图，在RtACB中，CDAB，由射影定理知AC2ADAB，BC2BDAB，又AD3，BD2，ABADBD5，AC23515，BC22510.，即ACBC，故选C.【答案】C2.图147如图147所示，在ABC中，ACB90，CDAB，D为垂足，若CD6，ADDB12，则AD的值是()A6 B3C18 D3【解析】由题意知AD218，AD3.【答案】B3在RtABC中，BAC90，ADBC于点D，若，则等于()A.B. C.D.【解析】如图，由射影定理，得AC2CDBC，AB2BDBC，()2，即，.【答案】C4在RtACB中，ACB90，CDAB于D，若BD：AD1：4，则tanBCD的值是()A. B.C.D2【解析】如图，由射影定理得CD2ADBD，又BD：AD1：4，令BDx，则AD4x(x0)CD2ADBD4x2，CD2x，在RtCDB中，tanBCD.【答案】C二、填空题图1485如图148，在矩形ABCD中，AEBD，OFAB.DEEB13，OFa，则对角线BD的长为_【解析】OFa，AD2a，AEBD，AD2DEBD.DEEB13，DEBD，AD2BDBD.BD24AD244a216a2，BD4a.【答案】4a6已知在梯形ABCD中，DCAB，D90，ACBC，AB10 cm，AC6 cm，则此梯形的面积为_【解析】如图，过C点作CEAB于E.在RtACB中，AB10 cm，AC6 cm，BC8 cm，BE6.4 cm，AE3.6 cm.CE4.8(cm)，AD4.8 cm.又在梯形ABCD中，CEAB，DCAE3.6 cm.S梯形ABCD32.64(cm2)【答案】32.64 cm2三、解答题7已知直角三角形周长为48 cm，一锐角平分线分对边为35两部分. (1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长【解】(1)如图，设CD3x，BD5x，则BC8x，过D作DEAB，由题意可得，DE3x，BE4x，AEAC12x48.又AEAC，AC246x，AB242x，(246x)2(8x)2(242x)2，解得：x10(舍去)，x22，AB20，AC12，BC16，三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm.(2)作CFAB于F，AC2AFAB，AF(cm)；同理：BF(cm)两直角边在斜边上的射影长分别为 cm， cm.图1498如图149，RtABC中有正方形DEFG，点D、G分别在AB、AC上 ，E、F在斜边BC上，求证：EF2BEFC.【证明】如图，过点A作AHBC于H.DEAHGF.，.又AH2BHCH，DEGFBEFC.而DEGFEF.EF2BEFC.图14109如图1410，已知：BD，CE是ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且HBCF，求证：GD2GFGH.【证明】HBCE，EBCGBH，BCEBHG，BECBGH90，HGBC.BDAC，在RtBCD中，由射影定理得，GD2BGCG.FGCBGH90，GCFH，FCGBHG，BGGCGHFG.由得，GD2GHFG.10.如图所示，在ABC中，AD为BC边上的高，过D作DEAB，DFAC，E，F为垂足求证：(1)AEABAFAC；(2)AEFACB.【证明】(1)ADBC，DEAB，DFAC，在RtABD中，由射影定理得AD2AEAB，在RtADC中，由射影定理得AD2AFAC，AEABAFAC.(2)AEABAFAC，.又EAFCAB，AEFACB.