2019-2020年高中数学 4.1 坐标系教案 苏教版选修4-4.doc

2019-2020年高中数学 4.1 坐标系教案 苏教版选修4-441.1直角坐标系课标解读1.掌握在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用2.对具体问题，能建立适当的坐标系，使所刻画的代数形式具有更简便的结果.1直线坐标系在直线上，取一个点为原点，并确定一个长度单位和直线的方向，就建立了直线上的坐标系，即数轴数轴上任意一点P都可以由惟一的实数x确定，x称为点P的坐标2平面直角坐标系在平面上，取两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定一个长度单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系平面上任意一点P都可以由惟一的有序实数对(x，y)确定，(x，y)称为点P的坐标3空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，取这三条直线的交点为原点，并确定一个长度单位和这三条直线的方向，就建立了空间直角坐标系空间中任意一点P都可以由惟一的三元有序实数组(x，y，z)确定，(x，y，z)称为点P的坐标1建立适当的坐标系一般有哪些规则？【提示】(1)如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；(3)使图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上2由坐标(x，y)怎样确定点的位置？【提示】在平面直角坐标系中，分别过点M(x,0)，N(0，y)作x轴和y轴的垂线，两条直线的交点P即(x，y)所确定的点.建立适当的坐标系刻画点的位置正方形的边长等于4，试选择适当的坐标系，表示其顶点与中心的坐标【自主解答】法一以正方形的一个顶点为原点，两条邻边为坐标轴，且把第四个顶点放在第一象限，建立平面直角坐标系，如图(1)所示此时，其四个顶点的坐标分别为O(0,0)、A(4,0)、B(4,4)、C(0,4)，中心为M(2,2)法二以正方形的中心为原点，且使两条坐标轴平行于正方形的边，建立平面直角坐标系，如图(2)所示此时，正方形的顶点坐标分别为A(2，2)、B(2,2)、C(2,2)、D(2，2)，中心为O(0,0)法三以正方形的两条对角线为坐标轴建立直角坐标系，如图(3)所示此时，正方形的顶点坐标分别为A(2，0)、B(0,2)、C(2，0)、D(0，2)，中心为O(0,0)(作图时只要以图(2)中的原点O为圆心，OA为半径作圆，该圆与坐标轴的四个交点即是图(3)中正方形的各个顶点)选择适当的坐标系，表示两条直角边长都为1的直角三角形的三个顶点的坐标【解】法一以直角三角形的两条直角边AC、BC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图(1)所示的平面直角坐标系，则C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)法二以斜边AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立如图(2)所示的平面直角坐标系则A(，0)，B(，0)，C(0，)建立坐标系解决证明问题用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点，到两腰的距离之差等于一腰上的高【自主解答】如图，在ABC中，ABAC，P为BC延长线上一点，PDAB于D，PEAC于E，CFAB于F，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设A(0，b)，B(a,0)，C(a,0)(a0，b0)，则直线AB的方程为bxayab0，直线AC的方程为bxayab0，取P(x0,0)，使x0a，则点P到直线AB、AC的距离分别为PD，PE.点C到直线AB的距离为CF，则PDPECF.故所需证明命题成立已知ABC中，ABAC，BD、CE分别为两腰上的高，求证：BDCE.【证明】如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系设B(a,0)，C(a,0)，A(0，h)则直线AC的方程为yxh，即：hxayah0.直线AB的方程为yxh，即：hxayah0.由点到直线的距离公式得：BD，CE.BDCE.建立坐标系求轨迹方程如图411所示，过点P(2,4)有两条互相垂直的直线l1，l2，l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M满足的方程图411【思路探究】法一设点求斜率斜率积为1整理得方程检查有无不适合的点结论法二设M(x，y)寻求M满足的条件列方程检查有无不适合的点结论法三：O，A，P，B四点共圆PMMO求kOP及OP中点坐标点斜式写出OP的垂直平分线方程为所求【自主解答】法一设点M的坐标为(x，y)，因为M为线段AB的中点，所以点A的坐标为(2x,0)，点B的坐标为(0,2y)因为l1l2，且l1，l2过点P(2,4)，所以kAPkPB1.而kAP(x1)，kPB，所以1(x1)，整理，得x2y50(x1)因为当x1时，点A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，所以线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x2y50.综上所述，点M满足的方程是x2y50.法二设点M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM.因为l1l2，所以PMAB.而PM，AB，所以2，化简，得x2y50，即为所求方程法三因为l1l2，OAOB，点M为线段AB的中点，所以O，A，P，B四点共圆，且该圆的圆心为M(x，y)，所以PMMO，所以点M的轨迹为线段OP的垂直平分线因为kOP2，OP的中点坐标为(1,2)，所以点M满足的方程为y2(x1)，化简得x2y50.通过建立坐标系精确地刻画集合图形的位置和物体运动的轨迹的方法称为解析法解决此类问题的关键：(1)建立平面直角坐标系；(2)设点(点与坐标的对应)；(3)列式(方程与坐标的对应，列出几何条件，并将几何条件代数化)；(4)化简(注意变形的等价性)；(5)证明(若保证等价变形，则此步骤可以省略)设圆(x1)2y21的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程【解】法一(直接法)：设B点坐标为(x，y)，由题意，得OB2BC2OC2，如图所示，即x2y2(x1)2y21，即OA中点B的轨迹方程为(x)2y2(去掉原点)法二(几何法)：设B点坐标为(x，y)，由题意知CBOA，OC的中点记为M(，0)，则MBOC，故B点的轨迹方程为(x)2y2(去掉原点)法三(代入法)：设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x，y)，由题意得即又因为(x11)2y1，所以(2x1)2(2y)21，即(x)2y2(去掉原点)法四(交点法)：设直线OA的方程为ykx，当k0时，B为(1,0)；当k0时，直线BC的方程为：y(x1)，直线OA，BC的方程联立消去k即得其交点轨迹方程：y2x(x1)0，即(x)2y2(x0,1)，显然B(1,0)满足(x)2y2，故(x)2y2(去掉原点)为所求(教材第16页习题4.1第4题)据气象台预报，在A市正东方300 km的B处有一台风中心形成，并以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响问：从现在起经过多少时间，台风将影响A市，持续时间多长？(xx郑州模拟)已知B村位于A村的正西方向1公里处，原计划经过B村沿着北偏东60的方向埋设一条地下管线m.但在A村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区试问：埋设地下管线m的计划需要修改吗？【命题意图】本题主要考查合理建立直角坐标系，并能应用其解决实际问题的能力【解】以A村为原点，直线BA为x轴，建立如图所示的坐标系则点B坐标为(1 000,0)，点W坐标为(200，200)，由题意，管线m的斜率为ktan 30，所以管线m所在的方程为y(x1 000)，化简得x3y1 0000，即xy1 0000.点W到该直线m的距离为d|500100100|100(5)因为51，所以d100.故管线m不会穿过禁区，故该计划不需要修改1已知点P(12m，3m)在第三象限，则m的取值范围是_【解析】第三象限点的坐标特征是横坐标与纵坐标均小于0，即3m.【答案】(3，)2点P(2，3，1)关于yOz坐标平面对称的点的坐标是_【解析】P(x，y，z)关于平面yOz坐标平面对称的为点P(x，y，z)，点(2，3，1)关于yOz平面的对称点为(2，3，1)【答案】(2，3，1)3ABC中，B(2,0)，C(2,0)，ABC的周长为10，则A点的轨迹方程是_【解析】BC4，ABAC10BC6BC，A的轨迹为椭圆除去B、C两点，设椭圆方程为1，故2a6,2c4，即a3，c2，b232225.故轨迹方程为1(y0)【答案】1(y0)4点(2，3)关于直线3x4y50对称的点的坐标为_【解析】设所求对称点为(x，y)，则解得所求对称点坐标为(，)【答案】(，)1已知点Q(1,2)，求Q点关于M(3,4)的对称点【解】设点P的坐标为(x，y)，由题意知，M是PQ的中点，因此点P的坐标为(5,6)2设ABC的三个顶点坐标分别为A(3，1)，B(8,2)，C(4,6)，求ABC的面积【解】如图，作直线l：y1，过点B、C向l引垂线，垂足分别为B1、C1，则ABC的面积为SSAC1CS梯形C C1B1BSAB1B17(73)45316.3已知点P(0,4)，求P点关于直线l：3xy10的对称点【解】设P点关于l的对称点Q的坐标为(a，b)，由题意得即解之得P点关于直线l的对称点坐标为(3,3)4已知一条长为6的线段两端点A，B分别在x，y轴上滑动，点M在线段AB上，且AMMB12，求动点M的轨迹方程【解】如图，设A(xA,0)，B(0，yB)，M(x，y)，AB6，6，即xy36，又AMMB12，x，y，即代入得x29y236，即x24y216.得动点M的轨迹方程为x24y216.5设点P是矩形ABCD所在平面上任意一点，试用解析法证明：PA2PC2PB2PD2.【证明】如图，以(矩形的)顶点A为坐标原点，边AB、AD所在直线分别为x轴与y轴建立平面直角坐标系，并设B(b,0)、D(0，d)，则点C的坐标为(b，d)又设P(x，y)，则PA2PC2x2y2(xb)2(yd)2，PB2PD2(xb)2y2x2(yd)2.比较两式，可知PA2PC2PB2PD2.6有相距1 400 m的A、B两个观察站，在A站听到爆炸声的时间比在B站听到时间早4 s已知当时声音速度为340 m/s，试求爆炸点所在的曲线【解】由题知：爆炸点P到B的距离比到A的距离多34041 360米即PBPA1 3601 400，PBPA.故P在以A、B为焦点的双曲线上，且离A近的一支以A、B两点所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由题意得，2a1 360,2c1 400，故a680，c700，b27002680227 600，故爆炸点所在曲线为1(x0)7在黄岩岛海域执行渔政执法的渔政310船发现一艘不明船只从离小岛O正东方向80海里的B处，沿东西方向向O岛驶来指挥部立即命令在岛屿O正北方向40海里的A处的我船沿直线前往拦截，以东西方向为x轴，南北方向为y轴，岛屿O为原点，建立平面直角坐标系并标出A，B两点，若两船行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我船最快拦住不明船只的位置，并求出该点的坐标【解】A，B两点如图所示，A(0,40)，B(80,0)，OA40(海里)，OB80(海里)我船直行到点C与不明船只相遇，设C(x,0)，OCx，BCOBOC80x.两船速度相同，ACBC80x.在RtAOC中，OA2OC2AC2，即402x2(80x)2，解得x30.点C的坐标为(30,0)教师备选8学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M(0，)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)观测点A(4,0)，B(6,0)(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，航天器离观测点A、B分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？【解】(1)设曲线方程为yax2， 点D(8,0)在抛物线上，a，曲线方程为yx2.(2)设变轨点为C(x，y)，根据题意可知得4y27y360.y4或y(舍去)，y4.得x6或x6(舍去)C点的坐标为(6,4)，AC2，BC4.所以当航天器离观测点A、B的距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令41.2极坐标系课标解读1.了解极坐标系2.会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置3.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.1极坐标系(1)在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴(2)设M是平面上任一点，表示OM的长度，表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角那么，每一个有序实数对(，)确定一个点的位置称为点M的极径，称为点M的极角有序实数对(，)称为点M的极坐标约定0时，极角可取任意角(3)如果(，)是点M的极坐标，那么(，2k)或(，(2k1)(kZ)都可以看成点M的极坐标2极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图412所示)，平面内任一点M的直角坐标(x，y)与极坐标(，)可以互换，图412公式是：或通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取0,02.1建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可2为什么点的极坐标不惟一？【提示】根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2的整数倍，所以点(，)还可以写成(，2k)(kZ)；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(，)的坐标还可以写成(，2k)(kZ)3将直角坐标化为极坐标时如何确定和的值？【提示】由2x2y2求时，不取负值；由tan (x0)确定时，根据点(x，y)所在的象限取得最小正角当x0时，角才能由tan 按上述方法确定当x0时，tan 没有意义，这时又分三种情况：(1)当x0，y0时，可取任何值；(2)当 x0，y0时，可取；(3)当x0，y0时，可取.极坐标系中点的坐标写出下图中A、B、C、D、E、F、G各点的极坐标(0,02)图413【自主解答】对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A，B，C，D，E，F(3，)，G.已知边长为a的正六边形ABCDEF，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标【解】以正六边形中心O为极点，OC所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系由正六边形性质得：C(a,0)，D(a，)，E(a，)，F(a，)，A(a，)，B(a，)或C(a,0)，D(a，)，E(a，)，F(a，)，A(a，)，B(a，).极坐标的对称性在极坐标系中，求与点M(3，)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标【自主解答】极坐标系中点M(，)关于极轴对称的点的极坐标为M(，2k)(kZ)，利用这个规律可得对称点的坐标(3,2k)(kZ)在极坐标系中，点A的极坐标为(3，)(限定0，02)(1)点A关于极轴对称的点的极坐标是_；(2)点A关于极点对称的点的极坐标是_(3)点A关于直线对称的点的极坐标是_【解析】通过作图如图可求解为【答案】(1)(3，)(2)(3，)(3)(3，)极坐标与直角坐标的互化(1)把点M的极坐标化成直角坐标；(2)把点P的直角坐标(，)化成极坐标(0，02)【自主解答】(1)x8cos4，y8sin4，因此，点M的直角坐标是(4,4)(2)2，tan ，又因为点P在第四象限且02，得.因此，点P的极坐标为(2，)(1)把点A的极坐标(2，)化成直角坐标；(2)把点P的直角坐标(1，)化成极坐标(0,02)【解】(1)x2cos ，y2sin 1，故点A的直角坐标为(，1)(2)2，tan .又因为点P在第四象限且02，得.因此点P的极坐标是(2，).极坐标系的应用在极坐标系中，已知A(3，)，B(1，)，求A、B两点之间的距离【思路探究】将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解【自主解答】对于A(3，)，x3cos()；y3sin()，A(，)对于B(1，)，x1cos ，y1sin ，B(，)AB4，A、B两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了在极坐标系中，已知三点：A(4,0)、B(4，)、C(，)(1)求直线AB与极轴所成的角；(2)若A、B、C三点在一条直线上，求的值【解】(1)点A的直角坐标为(4,0)，点B的直角坐标为(0，4)，直线AB在直角坐标系中的方程为xy4.故直线AB与x轴所成角为.(2)点C的直角坐标为，代入直线方程得4，解得4(1)(教材第17页习题4.1第6题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：(，)，(6，)，(2，)，(5，)，(4，)，(4，)(xx镇江模拟)已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标(1)A(3，)；(2)B(2，2)；(3)C(0，2)；(4)D(3,0)【命题意图】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题【解】(1)由题意可知：2，tan ，所以，所以点A的极坐标为(2，)(2)4，tan ，又由于为第三象限角，故，所以B点的极坐标为(4，)(3)2.为，在y轴负半轴上，所以点C的极坐标为(2，)(4)3，tan 0，故0.所以D点的极坐标为(3,0)1点P(2,2)的极坐标(0,2)为_【解析】由2，tan 1，P点在第二象限内，的极坐标为(2，)【答案】(2，)2在极坐标系中，与(，)关于极轴对称的点是_【解析】极径为，极角为，关于极轴对称的角为负角，故所求的点为(，)【答案】(，)3将极坐标化为直角坐标为_【解析】xcos 2cos0，ysin 2sin2，故直角坐标为(0，2)【答案】(0，2)4已知A，B的极坐标分别是和，则A和B之间的距离等于_【解析】由余弦定理得AB .【答案】1在极坐标系中，作出下列各点：A，B，C，D，E(4，0)，F(2.5，)【解】各点描点如下图2极坐标系中，点A的极坐标是(3，)，求点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标【解】极坐标系中的点(，)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(，(2k1)(kZ)，利用此，即可写出其中一个为(3，)3已知点M的极坐标为(2，)，若限定0,02，求点M的极坐标【解】(，)与(，)表示同一点，(2，)与(2，)为同一点的极坐标，故点M的极坐标为(2，)4在极坐标中，若等边ABC的两个顶点是A、B(2，)，那么顶点C的坐标是多少？【解】如右图，由题设可知A、B两点关于极点O对称，即O是AB的中点又AB4，ABC为正三角形，OC2，AOC，C对应的极角或，即C点极坐标为或.5设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标【解】如图所示，建立极坐标系，使极点O位于抛物线的焦点处，极轴Ox过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：(1)当时，30(万千米)；(2)当时，30(万千米)；(3)当时，30(万千米)；(4)当时， 30(万千米)彗星此时的极坐标有四种情形：(30，)，(30，)，(30，)，(30，)6已知A、B两点的极坐标分别是(2，)、(4，)，求A、B两点间的距离和AOB的面积【解】求两点间的距离可用如下公式：AB2.SAOB|12sin(12)|24sin()|244.7已知定点P(4，)(1)将极点移至O(2，)处极轴方向不变，求P点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动角，求P点的新坐标【解】(1)设P点新坐标为(，)，如图所示，由题意可知OO2，OP4，POx，OOx，POO.在POO中，242(2)2242cos 1612244，2.又，sinOPO2，OPO.OPP，PPx.POx.P点的新坐标为(2，)(2)如图，设P点新坐标为(，)，则4，.P点的新坐标为(4，)教师备选8已知ABC三个顶点的极坐标分别是A(5，)，B(5，)，C(4，)，试判断ABC的形状，并求出它的面积【解】C(4，)，AOB，且AOBO，所以AOB是等边三角形，AB5，BC ，AC ，ACBC，ABC为等腰三角形，AB边上的高为45，SABC5.41.3球坐标系与柱坐标系课标解读1.球坐标系、柱坐标系的理解2.球坐标、柱坐标与直角坐标的互化.1球坐标系与球坐标(1)在空间任取一点O作为极点，从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系 (2)设P是空间一点，用r表示OP的长度，表示以Oz为始边，OP为终边的角，表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组(r，)就叫做点P的球坐标，其中r0,0，02.图4142直角坐标与球坐标间的关系若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标系的极点、Ox轴及Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的关系，如图415所示x2y2z2r2，xrsin_cos_，yrsin_sin_，zrcos_.3柱坐标系图416建立了空间直角坐标系Oxyz后，设P为空间中任意一点，它在xOy平面上的射影为Q，用极坐标(，)(0,02)表示点Q在平面xOy上的极坐标，这时点P的位置可以用有序数组(，z)(zR)表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组(，z)叫做点P的柱坐标，记作P(，z)，其中0,02，zR.4直角坐标与柱坐标之间的关系1空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别？【提示】柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成2在空间的柱坐标系中，方程0(0为不等于0的常数)，0，zz0分别表示什么图形？【提示】在极坐标中，方程0(0为不等于0的常数)表示圆心在极点，半径为0的圆，方程0(0为常数)表示与极轴成0角的射线而在空间的柱坐标系中，方程0表示中心轴为z轴，底半径为0的圆柱面，它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的方程0表示与zOx坐标面成0角的半平面方程zz0表示平行于xOy坐标面的平面，如图所示常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面.将点的柱坐标或球坐标化为直角坐标(1)已知点M的球坐标为，则点M的直角坐标为_(2)设点M的柱坐标为(2，7)，则点M的直角坐标为_【自主解答】(1)设M(x，y，z)，则x2sin cos 1，y2sin sin 1，z2cos .即M点坐标为(1,1，)(2)设M(x，y，z)，则x2cos ，y2sin 1，z7.即M点坐标为(，1,7)【答案】(1)(1,1，)(2)(，1,7)(1)已知点P的柱坐标为(4，8)，则它的直角坐标为_(2)已知点P的球坐标为(4，)，则它的直角坐标为_【解析】(1)由变换公式得：x4cos 2，y4sin 2，z8.点P的直角坐标为(2,2，8)(2)由变换公式得：xrsin cos 4sin cos 2，yrsin sin 4sin sin 2，zrcos 4cos 2.它的直角坐标为(2,2，2)【答案】(1)(2,2，8)(2)(2,2，2)将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图417建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标图417【思路探究】解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可【自主解答】点C1的直角坐标为(1,1,1)，设点C1的柱坐标为(，z)，球坐标为(r，)，其中0，r0,0，02，由公式及得及得及结合图形得，由cos 得tan .点C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(，1)，球坐标为(，)，其中tan ，0.化点M的直角坐标(x，y，z)为柱坐标(，z)或球坐标(r，)，需要对公式以及进行逆向变换，得到以及提醒在由三角函数值求角时，要先结合图形确定角的范围再求值(1)设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标(2)设点M的直角坐标为(1,1，)，求它的球坐标【解】(1)设M的柱坐标为(，z)，则有解之得，.因此，点M的柱坐标为.(2)由坐标变换公式，可得r2.由rcos z，得cos ，.又tan 1，(M在第一象限)，从而知M点的球坐标为.(教材第17页习题4.1第16题)建立适当的球坐标系或柱坐标系表示棱长为3的正四面体的四个顶点(xx洛阳模拟)结晶体的基本单位称为晶胞，如图418(1)是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体)图形中的点代表钠原子，如图418(2)，建立空间直角坐标系Oxyz后，试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标 (1) (2)图418【命题意图】本题以食盐晶胞为载体，主要考查柱坐标系及球坐标系在确定空间点的位置中的应用【解】下层的原子全部在xOy平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0)，(1，0)，(，)，(1，)，(，)；它们的柱坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)，(，0)，(1，0)，(，0)1已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为_【解析】由点A的柱坐标为(1,0,1)知，1，0，z1，故xcos 1，ysin 0，z1，所以直角坐标为(1,0,1)【答案】(1,0,1)2设点M的直角坐标为(1，1，)，则它的球坐标为_【解析】由坐标变换公式，r2.cos ，.tan 1，.故M的球坐标为.【答案】3已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，这两个点在空间直角坐标系中点的坐标分别为_【解析】设P(x y，z)，则xcos1，ysin1，z5，P(1,1,5)设B(x，y，z)，则xsin cos ，ysinsin，zcos .故B(，)【答案】P(1,1,5)，B(，)4把A(4，2)、B(3，2)两点的柱坐标化为直角坐标，则两点间的距离为_【解析】点A化为直角坐标为A(2，2,2)，点B化为直角坐标为B.AB222(22)21264616416()所以AB.【答案】1把下列各点的球坐标化为直角坐标：(1)M；(2)N；(3)P.【解】(1)设点M的直角坐标为(x，y，z)，M在xOy平面内的射影为M，则OM2 sin2.于是x2cos1，y2sin，z2cos0.故点M的直角坐标为(1，0)(2)x5sincos0，y5sinsin，z5cos，点N的直角坐标为.(3)x9sincos，y9sinsin，z9cos.点P的直角坐标为.2把下列各点的柱坐标化为直角坐标：(1)Q；(2)R；(3)S.【解】(1)x0，y5，故点Q的直角坐标为Q(0,5，2)(2)x6cos3，y6sin3，故点R的直角坐标为R(3,3，4)(3)x8cos4，y8sin4，故点S的直角坐标为S(4，4，3)3已知长方体ABCDA1B1C1D1的边长为AB14，AD6，AA110，以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为x、y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标【解】如图，C1点的直角坐标(x，y，z)分别对应着CD、BC、CC1；C1点的柱坐标(，z)分别对应着CA、BAC、CC1；C1点的球坐标(r，)分别对应着AC1、BAC、A1AC1.C1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C1点的柱坐标为(其中tan )，C1点的球坐标为(2，)(其中cos ，tan )4在球坐标面内，方程r1表示空间中的什么曲面？方程表示空间中的什么曲面？【解】方程r1表示球心在原点的单位球面；方程表示顶点在原点，半顶角为的圆锥面，中心轴为z轴5在球坐标系中，求两点P，Q的距离【解】将P，Q两点球坐标转化为直角坐标：P：x3sincos，y3sinsin，z3cos，P点的直角坐标为.Q：x3sincos，y3sinsin，z3cos，Q点的直角坐标为.|PQ| ，即P、Q的距离为.6建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体各个顶点坐标【解】以正四面体的一个顶点B为极点O，选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴，在面BCD上建立极坐标系过O点与面BCD垂直的线为z轴过A作AA垂直于平面BCD，垂足为A，则BA，AA，ABx，则A(，)，B(0,0,0)，C(3，0)，D(3，0)7一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m，每相邻两排的间距为1 m，每层看台的高度为0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系，把点A的坐标求出来【解】以圆形体育馆中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A与体育场中轴线Oz的距离为203 m，极轴Ox按逆时针方向旋转，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度为2.8 m，因此点A的柱坐标为(203，2.8)教师备选8如图建立球坐标系，正四面体ABCD的边长为1，求A、B、C、D的球坐标(其中O是BCD的中心)【解】O是BCD的中心，OCODOB，AO.C(，0)，D(，)，B(，)，A(，0,0)