2019-2020年高三数学 2.1数学归纳法及其应用举例(第二课时)大纲人教版选修.doc

2019-2020年高三数学 2.1数学归纳法及其应用举例(第二课时)大纲人教版选修课题2.1.2数学归纳法(二)教学目标一、教学知识点1.深入理解数学归纳法原理和证明问题的步骤.数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法.2.让学生理解运用数学归纳法的关键为什么是第二步,而缺少第一步是不对的.3.理解并掌握递推思想在解决问题中的重要作用.二、能力训练要求1.能灵活运用数学归纳法证明有关等式和不等式问题.2.会用递推思想解决实际问题.三、德育渗透目标1.培养学生分类思想、递推思想、函数与方程思想、化归思想等数学思想方法.2.培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力.3.引导学生发展、探索创新能力,培养学生的有效的学习方式,使学生由“学会”到“会学”,教会学生掌握自学的方法.教学重点数学归纳法原理及其运用是本课时的教学重点.数学归纳法的基本思想,即先验证使结论成立(有意义)的最小的正整数n0,如果当n=n0时,命题成立,再假设当n=k(kn0,kN*)时命题成立(这时命题是否成立不是确定的),根据这个假设,如能推出当n=k+1时,命题也成立,那么就可以递推出对于所有不小于n0的正整数n0+1,n0+2,n0+3,命题都成立,所以说第二步是数学归纳法运用的重点.教学难点数学归纳法的应用是这节课的教学难点，特别是应用数学归纳法证明有关等式或不等式中的第二步的代数式变换是一个难点，学生不知道使用整式变形的知识.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方式.在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法.目的是在于加强学生对教学过程的参与程度.为了使这种参与有一定的智能度,教师应做好发动、组织、引导、协调和点拨.学生的思维参与往往是从问题开始的.尽快提出适当的问题,并提出思维的要求,让学生尽快地投入到思维活动中来,引导学生用已学的知识、方法予以解决,并获得新的发展,从而实现了建构主义的最终的要求.教具准备实物投影仪(或幻灯机、幻灯片)幻灯片记作：(2.1.2 A)请看问题1：用数学归纳法证明等式2+4+6+2n=n2+n+1.如采用下面的证法,对吗？证明：(1)(略).(2)假设n=k时,等式成立,就是2+4+6+2k=k2+k+1,那么,2+4+6+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k2+2k+1)+k+2=(k+1)2+(k+1)+1.所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2),可知等式对于一切自然数nN*都成立.幻灯片记作：(2.1.2 B)用数学归纳法证明：(nN*).如采用下面的证明方法,对吗？为什么？证明：(1)当n=1时,左边,右边,等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即,则当n=k+1时,即n=k+1时,等式也成立.由(1)(2),可知对于任意自然数nN*,原等式都成立.教学过程.课题导入师上节课我们已经学习了数学归纳法以及运用数学归纳法解题(证明题)的步骤,请同学说出数学归纳法的步骤.生1数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题P(n)的一种方法.(1)证明当n=n0时n0是使命题P(n)成立的第一个值,命题正确,即P(n0)正确；(2)假设n=k(kN且kn0)时,结论成立,即P(k)成立,证明当n=k+1时,结论也成立,也就是P(k)P(k+1).根据(1)(2),就可以判定命题P(n)对从n0开始的所有自然数都成立.师请同学们看投影上的问题1.(打出幻灯片 2.1.2 A,请学生阅读)生2证明过程正确.生3证明过程不正确.因为缺少第一步,而这个等式本身就是错误的,所以证明过程是不正确的.事实上,当n=1时,上式左边=2,右边=12+1+1=3,左边右边,所以不对.师回答得很好！这个问题说明如果缺少步骤(1)这个基础,步骤(2)就没有意义了,也就是失去了递推的基础,只有第一步和第二步结合在一起,才能得出普遍性结论.再看问题2.(打出幻灯片2.1.2 B,仍然由学生阅读)生4证明过程正确,两步都证明了.生5这是不正确的.因为递推思想要求的不是n=k,n=k+1时命题到底成立不成立,而是n=k时命题成立作为条件能否保证n=k+1时这个结论正确,即要求的这种逻辑关系是否成立.证明的主要部分应改为师完全正确.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.在第(2)步中,n=k时命题成立,可作为条件加以运用,而n=k+1时的情况则有待利用归纳假设及已知的定义、公式、定理等加以证明.不能直接将n=k+1代入命题,也不能直接用求和公式证明(如问题2).这节课我们将学习怎样运用数学归纳法证明恒等式和不等式(板书课题).讲授新课1.课本例题师在明确数学归纳法本质的基础上,我们来共同研究它在等式证明中的应用.例1用数学归纳法证明：12+22+32+n2=.(板书)师首先确定第一个值是什么,如何由P(k)P(k+1)呢？请同学思考.生6(学生说；教师写)证明：(1)当n=1时,左式=12=1,右式,左边=右边,n=1时,等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即12+22+32+k2=,那么,12+22+32+k2+(k+1)2=+(k+1)2.当n=k+1时,等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何nN*都成立.师完全正确.生6在P(k)P(k+1)时的等式变换是很好的,要一步一步推,不要跳步.例2用数学归纳法证明：14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2.请同学们思考一下如何证明呢？生7(到黑板上书写,教师在下巡视并指导)证明：(1)当n=1时,左边=14=4,右边=122=4,左边=右边.等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即14+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2;那么,14+27+310+k(3k+1)+(k+1)3(k+1)+1=k(k+1)2+(k+1)3(k+1)+1=(k+1)k(k+1)+3(k+1)+1=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)(k+2)2=(k+1)(k+1)+12.n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可知,等式对一切nN*都成立.生8应该进行解题回顾,在将归纳假设代入n=k+1时的左边表达式后,一定要有完整的推导过程,而不能直接写出n=k+1时等式右边的表达式,这一点对于我们来说尤为重要.师总结得很好！目前,有些同学就是缺少解题回顾,在解完题后一定要进行反思,反思方法和过程,总结规律,以待进一步提高.生9这道题不用数学归纳法证明,也可以证明.证明：左边=(312+1)+(322+2)+(332+3)+(3n2+n)=3(12+22+32+n2)+(1+2+3+n)=n(n+1)2=右边,等式成立.生10你的证明过程中运用了例1的结论,而例1又不是公式,所以,我认为你的证明跳步.除非你先证明12+22+32+n2=才行.师生9的证明思路是对的,正如刚才生10所言要先证一个辅助命题,然后才能利用.但你的证法不符合题目的总体要求用数学归纳法证明等式,所以平时解题一定要按要求去做.2.精选例题例1(xx年全国高考天津市试题压轴题)设a0为常数,且an=3n-1-2an-1(nN*).(1)求证:对任意n1,an=3n+(-1)n-12n+(-1)n2na0;(2)假设对任意n1,有anan-1, 求a0的取值范围.生11(1)n=1时,左边=a1=31-1-2a1-1=1-2a0,右边=31+(-1)021+(-1)121a0= (3+2)+(-1)121a0=1-2a0,左边=右边.n=1时等式成立.第二步,我就不会证明了.师假设n=k时,等式成立,即可以翻译成什么样的式子呢？生11ak=3k+(-1)k-12k+(-1)k2ka0.师当n=k+1时,等式的两边表达式各是怎样的呢？生11右=3k+1+(-1)k2k+1+(-1)k+12k+1a0,左=ak+1.师ak+1能否用ak来表示呢？请看已知递推关系.生11ak+1=3k-2ak.师如何利用归纳假设ak的表达式呢？生11ak+1=3k-2ak=3k-23k+(-1)k-12k+(-1)k2ka0=3k+1+(-1)k2k+1+(-1)k+12k+1a0,当n=k+1时,等式也成立.由上述可知,等式对一切nN*都成立.师你不是证明得很好吗？要自信！生12第(2)题也用数学归纳法求解.先取n=1,2时有a1-a0=1-3a00,a2-a1=6a00,因此0a0.下面用数学归纳法证明.生13(径直走到黑板前,边讲边写)由an通项公式5(an-an-1)=23n-1+(-1)n-132n-1+(-1)n532n-1a0.(i)当n=2k-1,k=1,2,3,时,5(an-an-1)=23n-1+32n-1-532n-1a022n-1+32n-1-52n-1=0.(ii)当n=2k,k=1,2,3,时,5(an-an-1)=23n-1-32n-1+532n-1a023n-1-32n-10.故a0的取值范围为(0,).师生12的思路特别好,充分利用题设探索出a0的范围,生13给出了非常漂亮的证明.同学们,你们的实力是坚实的,只要再细心一点和规范一点那就更好了.例2求证:n2时,.(板书)(由学生自行完成第一步的验证；第二步中的假设,教师应重点讲解P(k)P(k+1)命题的转化过程)师当n=k+1时,不等式的左边表达式是怎样的？生14当n=k+1时,左边.师考虑是否正确？是否是此数列的第k项？显然, 不是第k项,应是第2k项,数列各项分母是连续的自然数,最后一项是以3k收尾,故n=k+1时,最后一项应为.根据此数列分母的特点,在3k后面还有3k+1,3k+2,最后才为3k+3,即3(k+1),所以正确的答案是左边.(在这里,学生极易出现错误,错误的思维定势认为从n=k到k+1时,只增加一项,求和式中最后一项即为第n项的通项.教师在这里应重点分析,化解难点)为了能利用归纳假设,左边还要添上项,故当n=k+1时,左边.明确转化目的,即向方向努力,为了避免通分化简一系列烦琐运算,应针对问题的特点,巧妙合理地利用“放缩技巧”,使问题获得简捷的证明.生15由于,因此左边 =右边.所以n=k+1时不等式也成立.师设S(n)表示原式左边,f(n)表示原式右边,则由上面的证法可知,从n=k到n=k+1的命题的转化途径是：要注意：这里S(k)不一定是一项,应根据题目情况确定.课堂练习用数学归纳法证明：1.(xx年河南模拟题)设f(x)=1+(xN*).求证:n+f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)(nN*且n2).证明:(1)n=2时,左边=2+f(1)=2+1=3,右边=2f(2)=2(1+)=3.等式成立.(2)假设n=k时等式成立,即k+f(1)+f(2)+f(k-1)=kf(k).那么当n=k+1时,左边=(k+1)+f(1)+f(2)+f(k-1)+f(k)=kf(k)+1+f(k)=(k+1)f(k)+1=(k+1)f(k)-+1=(k+1)f(k+1)-1+1=(k+1)f(k+1),即n=k+1时,等式亦成立.由(1)(2)知,对于nN*且n2,等式成立.2.12+32+52+(2n-1)2=n(4n2-1).提示：n=k时结论成立,即12+32+52+(2k-1)2=k(4k2-1).那么n=k+1时,12+32+52+(2k-1)2+(2k+1)2=k(4k2-1)+(2k+1)2=(2k+1)k(2k-1)+3(2k+1)=(2k+1)(2k2+5k+3)=(2k+1)(2k+3)(k+1)=(k+1)2(k+1)+12(k+1)-1.3.12+23+34+n(n+1)=n(n+1)(n+2).提示：n=k时,结论成立,即12+23+34+k(k+1)=k(k+1)(k+2),那么n=k+1时,12+23+34+k(k+1)+(k+1)(k+1+1)=k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+3).4.1(n2-12)+2(n2-22)+3(n2-32)+n(n2-n2)=n2(n2-1).提示：假设n=k时结论成立,即1(k2-12)+2(k2-22)+3(k2-32)+k(k2-k2)=k2(k2-1),那么n=k+1时,1(k+1)2-12+2(k+1)2-22+3(k+1)2-32+k(k+1)2-k2+(k+1)(k+1)2-(k+1)2=1(k2-12)+(2k+1)+2(k2-22)+(2k+1)+3(k2-32)+(2k+1)+k(k2-k2)+(2k+1)+0=1(k2-12)+2(k2-22)+3(k2-32)+k(k2-k2)+(2k+1)(1+2+3+k)=k2(k2-1)+(2k+1)=k(k+1)k(k-1)+4k+2=k(k+1)(k2+3k+2)=k(k+1)(k+1)(k+2)=(k+1)2(k+1)-1(k+1)+1=(k+1)2(k+1)2-12.5.如果x0,n为正奇数,那么xn+xn-2+x2-n+x-nn+1.分析：由于n是正奇数,在假设n=k不等式成立后,下一步应证明n=k+2时不等式成立.证明：(1)当n=1时,x0,x+x-12,即命题成立.(2)假设n=k时命题成立,即xk+xk-2+x2-k+x-kk+1,则n=k+2时,xk+2+xk+xk-2+x2-k+x-k+x-2-k=xk+2+x-(k+2)+(xk+xk-2+x2-k+x-k)2+k+1=(k+2)+1.n=k+2时,不等式成立.由(1)(2),可知对一切正奇数n,不等式成立.解题回顾：(1)有些命题可能仅当n为偶数(或奇数)时成立.这时,在第一步中,应验证n=n0取偶数(或奇数)时成立,在第二步中应从n=k递推到n=k+2.(2)本题若验证了n=2时不等式成立,则就可推出不等式对一切正偶数也成立,从而得出此不等式对一切自然数都成立.课时小结用数学归纳法证明等式,其步骤是先证明当n=n0时等式成立(左边与右边的值相等),再假设当n=k时等式成立,利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时等式也成立.注意n=k+1时的等式是待证明的,常采用从一边开始以另一边为目标进行推证的办法.可以看出,推证过程中除运用归纳假设外,较多地运用了整式变形的知识.用数学归纳法证明不等式是较困难的课题,除运用证明不等式的几种基本方法外,经常使用的方法就是放缩法,针对目标,合理放缩,从而达到目标.数学归纳法也不是万能的,例如,求证：(nN*).错误解法：(1)n=1时,左边,右边,则左右,不等式成立.(2)假设当n=k时,不等式成立,即,当n=k+1时,左边.则n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2),可知原不等式对一切nN*都成立.错误原因：不成立,此时无法实现由n=k推出n=k+1,从而数学归纳法失效.课后作业(一)课本P683、4.(二)精选作业题.1.用数学归纳法证明tantan2+tan2tan3+tan(n-1)tann=-n(n2,nN).提示：(1)当n=2时,左边=tantan2,右边=tantan2,左边=右边.原等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即tantan2+tan2tan3+tan(k-1)tank=,则当n=k+1时,tantan2+tan2tan3+tan(k-1)tank+tanktan(k+1)=-k+tanktan(k+1),即n=k+1时,等式成立.根据(1)(2),可知对一切n2,nN*,等式恒成立.2.用数学归纳法证明.证明：(1)n=1时,左边=1,右边,左右,即命题成立.(2)假设n=k时,命题成立,即,则当n=k+1时,要证,只要证.,成立,即成立.n=k+1时,命题也成立.由(1)(2),知对一切nN*,成立.板书设计2.1.2数学归纳法(二)证明等式与不等式一、数学归纳法证题步骤(1)n=n0时成立;(2)假设当n=k时,命题成立,证明n=k+1时命题也成立.二、例题分析课本例1：12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1).例2：14+27+n(3n+1)=n(n+1)2.精选例题1.(xx年全国高考天津市试题压轴题)2.求证：n2时,.总结：(1)(2)