2019-2020年高一数学直线与圆的位置关系 新课标 人教版3.doc

2019-2020年高一数学直线与圆的位置关系 新课标 人教版3学习目标主要概念：直线与圆的位置关系相交、相切、相离。相交直线与圆有两个公共点。相切直线与圆只有一个公共点。相离直线与圆没有公共点。教材分析一、重点难点本节教材的教学重点是能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系，以及求圆的切线方程和求直线被圆截得的弦长。难点是对坐标法的思想即通过方程组解的研究来研究曲线间的位置关系的理解，以及利用直线与圆的关系求直线方程或圆的方程。二、教材解读本节教材的理论知识有问题提出、探索求解、归纳总结三个板块组成。教材从实例出发，引出在解析几何中如何判断直线与圆的位置关系的问题，重点研究了两类问题：求圆的切线方程和求直线被圆截得的弦长。第一板块 问题提出解读一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？这里设置的一个渔船能否避开台风的实际问题，其目的有二：一是强调了数学与学生的生活、生产实际有着密切的联系，二是为了说明利用解析法研究直线与圆的位置关系的必要性。第二板块 探索求解解读在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系？提出这两个问题的目的在于说明，判断直线与圆的位置关系有两种方法：一是几何角度依据圆心到直线的距离与半径的关系；二是从代数角度看由它们的方程组成的方程组有无实数解。第三板块 归纳总结解读1、判断直线与圆的位置关系的方法1、代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解。如果有解，直线与圆C有公共点。有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离，即0直线与圆C相交；0直线与圆C相切；0直线与圆C相离。2、几何法：判断圆心到直线的距离与半径的关系，即dr直线与圆C相交；dr直线与圆C相切；dr直线与圆C相离。 2、求两曲线交点的方法曲线的交点也就是两条曲线的公共点，求曲线的交点就是求两条曲线的公共点的坐标。由曲线上点的坐标和它的方程的解之间的对应关系可知，两条曲线交点的坐标，应该是这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解，方程组有几组实数解，这两条曲线应有几个交点；方程组无实数解，那么这两条曲线就没有交点。也就是说，两条曲线有交点的条件是这两条曲线的方程所组成的方程组有实数解。拓展阅读 已知是圆上一点，是过点M的圆切线，如何求方程？方法很多，这里介绍一种：设是上的任意一点，则，所以，即，整理得，因为，所以的方程为。由此我们可得到一个结论：过圆上一点的切线的方程为- 这个结论可推广到更一般的情形，即“过圆上一点的切线的方程为”- 和“过圆上一点的切线方程为”- 以上结论中，点均在圆上，若点在圆外，情况如何呢？我们知道，自圆外一点可作圆的两条切线，其中两切点的连线叫做点关于此圆的切点弦，于是我们又可得到以下一个结论：“自圆外一点作圆的两条切线，则点关于该圆的切点弦所在的直线方程是”-事实上，设过与圆相切的两条切线的切点分别是、。、在圆上，由结论可知切线MA、MB的方程分别为、，在这两条切线上，且，即点、在直线上，过两点只能确定一条直线，因此点关于圆的切点弦所在的直线方程是。运用以上四个结论，可很方便地求解一些选择题和填空题中有关求圆的切线和切点弦的问题。网站点击 典型例题解析例1：已知直线:与圆:. (1)判断直线圆的位置关系; (2)求直线被圆所截得的弦长.点拨运用代数法或几何法求解。解答(1)解法一(代数法):由方程组 ()消去后整理，得 ,方程组()有两组不同的实数解,即直线与圆相交. 解法二(几何法):圆心(7,1)到直线的距离为,因，故直线与圆相交.(2)解法一:由方程组，得，设直线与圆C的两交点为、，则|AB|=8直线被圆所截得的弦长为32。解法二: 圆心(7,1)到直线的距离为, 又圆的半径=6， 直线被圆所截得的弦长为2=8总结1、在求解(1)、(2)时，方法一都是运用代数的方法来求解的，运算虽然烦琐了一些，但此方法是一种通法,更具有一般性，它对讨论直线与二次曲线的相关问题都适用；而方法二都是运用几何的方法来求解的，此方法只对圆适用,也是一种较为简便的方法.2、两个小题的方法二突出了“适当地利用图形的几何性质，有助于简化计算”，强调图形在解题中的辅助作用，加强了数与形的结合。变式题演练已知圆C：，直线：(2m+1)x+(m+1)y7m40(mR).(1)证明：对mR，直线与圆C恒相交于两点；（2）求直线被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值。答案：（1）由(2m+1)x+(m+1)y7m40得，(2x+y-7)m+x+y-4=0.令2x+y-70且x+y-4=0，得x=3,y=1,直线过定点P(3, 1).,直线所过的定点P(3, 1)在已知圆内。对mR，直线与圆C恒相交于两点。（2）要使直线被圆C截得的线段最短，只要圆心到此弦的弦心距最长，而要使弦心距最长，只要CP。当CP时，的斜率为2，即，解得m=，此时直线被圆C截得的线段的最短长度为.例2：从点P（4,5）向圆（x2）2y24引切线，求切线方程。点拨求已知圆的切线问题，基本思路一般有两个方面：(1)从代数特征分析；(2)从几何特征分析一般来说，从几何特征分析计算量要小些解答设切线斜率为k，则切线方程为 y5k(x4)即kxy54k0又圆心坐标为（2,0），r2因为圆心到切线的距离等于半径，即所以切线方程为21x20y160还有一条切线是x=4总结过圆外已知点的圆的切线必有两条，一般可设切线斜率为k，写出点斜式方程，再利用圆心到切线的距离等于半径，写出有关k的方程，求出k。因为有两条，所以应有两个不同的k值，当求得的k值只有一个时，说明有一条切线斜率不存在，即为垂直于x轴的直线，所以补上一条切线x=x1。变式题演练自点A（-3，3）发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆C：相切，求光线所在直线方程。（1989年全国高考题） 答案：圆C的方程为：，它关于x轴对称圆的方程为：，设光线所在的直线方程为：y-3=k(x+3)，则光线所在的直线必与圆相切，故，即，解得，光线所在直线方程为或。55ADBXOCY例3：求与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且被直线yx截得的弦长为的圆的方程。(如右图）点拨求圆的方程关键是求圆心与半径，因为圆心在直线x3y0上，故可设圆心为C（3b,b） 又圆与y轴相切，所以r3b，故求解本题的关键是求出b的值。解答因为圆心在直线x3y0上，故可设圆心为（3b,b），所求圆与y轴相切，半径r3b设直线yx被圆截得的弦为AB，过圆心C作CDAB，垂足为D，则CAr3b，AD又CDb，CD2AD2AC2即2b279b2，解得b1所求圆的方程为（x3）2(y1)29或（x3）2(y1)29总结1、因圆心在已知直线上，故在设圆心的坐标时，只需引进一个未知量，从而达到减少未知量的个数，简化计算的目的，这是解决解析几何问题时的常用技巧，应引起重视。2、涉及到圆的弦长问题时，为了简化运算，常利用垂径定理或半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形进行运算。变式题演练已知圆C的圆心在直线：xy10上，且与直线：4x+3y+14=0相切，又圆C截直线：3x4y100所得的弦长为6，求圆C的方程。答案：圆C的圆心在直线：xy10上，可设所求圆的方程为圆C与直线：4x+3y+14=0相切，圆C截直线：3x4y100所得的弦长为6，由、解得，圆C的方程为例4：求经过原点，且过圆和直线x-y+5=0的两个交点的圆的方程点拨先求出直线和圆的交点，根据圆的一般方程，由三点可求得圆的方程；或利用经过直线与圆的交点的圆系方程，由所求圆过原点这一条件确定参数，从而求得圆的方程 解答解法一：由，求得交点(-2,3)或(-4,1)设所求圆的方程为+Dx+Ey+F=0(0，0)，(-2，3)，(-4，1)三点在圆上，解得解法二：设所求圆的方程为+8x-6y+21+(x-y+5)=0总结显然解法二要比解法一简捷得多，原因在于解法二不需求出直线与圆的交点坐标，且所解的方程也仅仅是一元一次方程。对于求过已知直线与圆的交点的圆方程，常用过直线与已知圆的交点的圆系方程求解。一般地，过直线Ax+By+C=0与圆+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为+Dx+Ey+F +(Ax+By+C)=0()，其中为任意实数。当直线与圆相交时，方程()表示过其交点的一切圆；当直线与圆相切时，方程()表示与其相切于直线Ax+By+C=0和圆+Dx+Ey+F=0的切点的一切圆。变式题演练 求经过直线：及圆C：的交点，且面积最小的圆的方程。 答案：设所求圆的方程为，即，则所求圆的圆心为。要使所求圆的面积最小，只要所求圆的直径最短，即已知直线与被已知圆截得的弦即为所求圆的直径，也即所求圆的圆心在已知直线上。，解得，所求圆的方程为 。 例5、已知直线x+2y-3=0与圆+x2cy+c0的两个交点为A、B，O为坐标原点，且OAOB，求实数c的值。点拨利用条件OAOB寻找c的方程。解答设点A、B的坐标分别为A(、B(。由OAOB，知，即，=0 (1)由，得则， (2)又，代入(1)，得 (3)由(2)、(3)得，c=3总结在解析几何中，遇到两直线垂直这一条件，一般利用此两直线的斜率乘积为1来求解。在本题的解题过程中，我们可发现如下的一个结论：“若点A、B的坐标分别为A(、B(，则OAOB=0。”，这个结论在求解有关解析几何问题时很有用，要引起重视。变式题演练已知圆C：是否存在斜率为1的直线，使被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。 答案：假设存在满足条件的直线，设其方程为由，得设点A、B的坐标分别为A(、B(，则，以AB为直径的圆过原点，OAOB，即，=00，解得存在满足条件的直线，其方程为或知识结构知识点图表直线与圆的位置关系的判定方法相交相切相离几何法代数法学法指导1、在求解有关直线与圆的位置关系的问题时，要充分利用圆的几何性质，从而达到简化运算的目的：(1)当圆与直线相离时，圆心到的距离大于半径；过圆心且垂直于的直线与圆的两个交点，分别是圆上的点中到的距离的最大、最小的点。(2)当圆与直线相切时，圆心到的距离等于半径；圆心与切点的连线垂直于；过圆外一点可作两条圆的切线，且此两切线长相等。(3)当圆与直线相交时，圆心到的距离小于半径，过圆心且垂直于的直线平分被圆截得的弦；连结圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最短的弦是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的弦是过这点的直径。2、求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点在圆上还是在圆外，再设切线方程为点斜式，用圆心到直线的距离等于半径或利用=0求出切线的斜率，从而求得切线的方程，但要注意有时在求过圆外一点的切线方程时，其两条切线中往往有一条切线的斜率不存在，由此而产生漏解。3、已知圆的切线的斜率求圆的切线方程，可设切线方程为斜截式，具体操作方法同上。但此种情形的圆的切线应有两条。