2019-2020年高中数学 2.4.2二次函数的性质教学设计 北师大版必修1.doc

2019-2020年高中数学 2.4.2二次函数的性质教学设计 北师大版必修1教学分析在讨论二次函数性质的过程中，其图像显然起了重要作用，但是又不忽视解析式的作用因此教材突出数与形的有机结合本节教材先给出了抽象的字母形式的配方结果，进而从字母出发对a0时函数的单调性进行了证明与二次函数的图像一节相比，例题也比较综合，有一定的难度可以而且应该适度综合，适度抽象高中学生，已经处于思维接近成熟的阶段，有些情况下，不能就事论事，而应该适度思考一些带有综合性的问题，但不可过分对一般学生来说，分寸掌握到课本例题和习题的水平为宜程度好一些的学生，当然，也可以自选一些题目来做对于抽象的一般二次函数单调性证明，用文字表示对称轴、顶点、最大(小)值、单调区间等，教师应该带领学生尝试解决实际问题，是数学学习的重要目的，也是引起学生思考的重要方法有些例题，如例3，意在联系实际但是，编者眼界有限教师，可以而且应该具有这种意识，自己出马或发动学生根据当地实际再编写一些联系实际的问题值得注意的是课上注意组织学生动手，活动，实践教材中安排了学生的“动手实践”和“思考交流”教师，要创造性地用好它们三维目标对一般二次函数解析式配方，确定其位置，并能研究其定义域、值域、单调性、最大(小)值等性质，提高学生数形结合的能力重点难点教学重点：二次函数的性质教学难点：应用二次函数的性质解决实际问题课时安排1课时导入新课思路1.上一节课，我们学习了二次函数的图像，本节课我们来学习二次函数的性质思路2.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，人们在制造时一般是期望在它达到最高点(大约是距地面25米到30米处)时爆炸，烟花冲出去后的运动路线是抛物线形的，为了达到放烟花的最佳效果，烟花设计者按照有关的数据设定引线的长度，如果是你来设计，你可以吗？教师引出课题推进新课画出y2x24x3的图像，根据图像讨论图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.画出yx24x5的图像，根据图像讨论图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.讨论二次函数f(x)ax2bxc(a0)图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.活动：学生回顾画二次函数图像的方法，思考函数的单调性、最值的几何意义讨论结果：y2x24x32(x1)25，其图像如图1所示图1观察图像得：开口向上；顶点A(1，5)；对称轴直线x1；在(，1上是减少的，在1，)上是增加的；当x1时，函数取得最小值5.yx24x5(x2)29，其图像如图2所示图2观察图像得：开口向下；顶点A(2,9)；对称轴直线x2；在(，2上是增加的，在2，)上是减少的；当x2时，函数取得最大值9.对于二次函数f(x)ax2bxca2.(1)当a0时，其图像如图3所示图3由图像得：当a0时，它的图像开口向上，顶点坐标为，对称轴为x；f(x)在上是减少的，在上是增加的；当x时，函数取得最小值.(2)当a0时，其图像如图4所示图4由图像得：当a0时，它的图像开口向下，顶点坐标为，对称轴为x；f(x)在上是增加的，在上是减少的；当x时，函数取得最大值.下面证明当a0时，函数f(x)在上是减少的，在上是增加的证明：设a0，任取x1、x2，且x1x2，则f(x2)f(x1)(axbx2c)(axbx1c)a(xx)b(x2x1)a(x2x1)b(x2x1)因为x1，x2，所以x1x2，即a(x1x2)b.也就是a(x1x2)b0.又x2x10，所以f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)由函数单调性的定义，f(x)在上是减少的同理可证，f(x)在上是增加的显然，将f(x)ax2bxc配方成f(x)a2之后，我们就可以通过a，和直接得到函数的主要性质，并且可以依此画出函数图像思路1例1 将函数y3x26x1配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像活动：学生回顾思考如何由二次函数的解析式讨论其性质解：y3x26x13(x1)24.由于x2的系数是负数，所以函数图像开口向下；图5顶点坐标为(1,4)；对称轴为x10(或x1)；函数在区间(，1上是增加的，在区间1，)上是减少的；函数有最大值，没有最小值，函数的最大值是4.采用描点画图，选顶点A(1,4)，与x轴的交点B和C，与y轴的交点D(0,1)，再任取点E(2,1)，过这5个点画出图像，如图5.点评：从这个例题中可以看出，根据配方后得到的性质画函数图像，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图的操作更简便，使图像更精确本题主要考查二次函数的图像与性质变式训练1函数yx24x的单调递增区间是()A2，)B2，)C(，2 D(，2解析：函数yx24x(x2)24，则对称轴是x2，所以当x2时，是增函数答案：D2函数f(x)x22x3在2,4上的最大值和最小值分别为()A5，4 B3，7C无最大值和最小值 D7，4解析：画出二次函数f(x)x22x3在2,4上的图像，可得最大值为5，最小值为4.答案：A3函数f(x)2x2mx3，当x2，)时，函数f(x)为增函数，当x(，2时函数f(x)为减函数，则m等于()A4 B8C8 D无法确定解析：二次函数在对称轴的两侧的单调性相反由题意得函数的对称轴为x2，则2，所以m8.答案：B例2 绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方案：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？活动：学生仔细审题，读懂题意，教师可以提示解决应用题的关键是建立数学模型解：设销售价为x元/瓶，则根据题意(销售量等于进货量)，正好当月销售完的进货量为40400即400(92x)瓶此时所得的利润为f(x)400(92x)(x3)400(2x215x27)(元)根据函数性质，当x时，f(x)取得最大值450.这时进货量为400(92x)400600(瓶)获得最大利润为450元点评：本题主要考查二次函数及其最值，以及应用二次函数解决实际问题的能力. 变式训练渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量已知鱼群的年增长量y吨与实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k0)(1)写出y关于x的函数关系式，并求出定义域；(2)求鱼群的年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量可达到最大值时，求k所应满足的条件分析：本题解题的关键是理解题意，并将其转化为常规的数学问题二次函数问题，然后利用二次函数的知识解决该实际问题解：(1)由题意，知空闲率为1，ykx(0xm)(2)yx2kx2，0且0xm，当x时，ymax.(3)当x时，ymax，又实际养殖量不能达到最大养殖量， 此时，需要m，解得k2.又k0，0k2.思路2例1 已知函数f(x)x22x3.(1)画出f(x)的图像；(2)根据图像写出函数f(x)的单调区间；(3)利用定义证明函数f(x)x22x3在区间(，1上是增函数；(4)当函数f(x)在区间(，m上是增函数时，求实数m的取值范围分析：(1)画二次函数的图像时，重点确定开口方向和对称轴的位置；(2)根据单调性的几何意义，写出单调区间；(3)证明函数的增减性，先在区间上取x1x2，然后作差f(x1)f(x2)，判断这个差的符号即可；(4)讨论对称轴和区间(，m的相对位置图6解：(1)函数f(x)x22x3的图像如图6所示. (2)由函数f(x)的图像得，在直线x1的左侧图像是上升的，在直线x1的右侧图像是下降的，故函数f(x)的单调递增区间是(，1，单调递减区间是(1，)(3)设x1，x2(，1，且x1x2，则有f(x1)f(x2)(x2x13)(x2x23)(xx)2(x1x2)(x1x2)(2x1x2)x1、x2(，1，且x1x2，x1x20，x1x22.2x1x20.f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)函数f(x)x22x3在区间(，1上是增函数(4)函数f(x)x22x3的对称轴是直线x1，在对称轴的左侧是减函数，那么当区间(，m位于对称轴的左侧时满足题意，则有m1，即实数m的取值范围是(，1点评：本题主要考查二次函数的图像、函数的单调性及其综合应用讨论二次函数的单调性时，要结合二次函数的图像，通过确定对称轴和单调区间的相对位置来解决变式训练如果二次函数f(x)x2(a1)x5在区间上是减函数，那么f(2)的取值范围是()A(，7B(，7)C(7，) D7，)解析：本题主要考查二次函数的单调性二次函数f(x)在区间上是减函数，由于图像开口向上，对称轴.a2.故f(2)222(a1)5112a7.答案：A例2 某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益总成本利润)分析：(1)利润总收益总成本；(2)转化为求函数的最值，由于此函数是分段函数，则要求出各段上的最大值，再从中找出函数的最大值解：(1)设月产量为x台，则总成本为20 000100x，从而f(x)(2)当0x400时，f(x)(x300)225 000，当x300时，有最大值25 000；当x400时，f(x)60 000100x是减函数，又f(x)60 00010040025 000，所以，当x300时，有最大值25 000.即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25 000元点评：本题主要考查二次函数及其最值，以及应用二次函数解决实际问题的能力二次函数模型是一种常见的函数应用模型，是高考的重点和热点其解题关键是列出二次函数解析式，即建立函数模型，转化为求二次函数的最值等问题变式训练某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)4QQ2，则总利润L(Q)的最大值是_万元，这时产品的生产数量为_(总利润总收入成本)解析：L(Q)4QQ2(200Q)(Q300)2250，则当Q300时，总利润L(Q)取最大值250万元答案：2503001已知函数f(x)ax22(a2)xa4.当x(1,1)时，恒有f(x)0，则a的取值范围为()Aa2Ba2C0a2Da2且a0解析：思路1：当a0时，f(x)4x4，则此时f(x)是减函数，且f(1)0，则当x(1,1)时，恒有f(x)f(1)0，即a0符合题意，排除C，D；当a2时，f(x)2x22，由于x(1,1)，则有f(x)2x22f(1)f(1)0，即a2符合题意，排除B；故选A.思路2：当x(1,1)时，有x22x1(x1)20，又f(x)(x22x1)a4(x1)，则恒有(x22x1)a4(x1)0，即a恒成立，又x(1,1)，则2，则只需a2即可答案：A2若函数f(x)(a2)x22x4的图像恒在x轴下方，则a的取值范围是_解析：由题意得解得a.答案：3二次函数f(x)x2ax，对任意xR，总有f(1x)f(1x)，则实数a_.解析：对任意xR，总有f(1x)f(1x)，函数f(x)的对称轴是x1，则有1，a2.答案：24函数yx22(m1)x3在区间(，2上是减函数，则m的取值范围是()Am3 Bm3 Cm3 Dm3解析：结合二次函数的图像来分析二次函数yx22(m1)x3的对称轴x(m1)1m.10，开口向上，在(，2上递减，需满足对称轴x1m在区间(，2的右侧，则21m，m3.答案：A5已知f(x)x22x3，在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是_答案：1,26设f(x)x22ax2.当x1，)时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围解：当a1时，f(x)minf(1)32a，当x1，)，f(x)a恒成立f(x)mina，即32aaa3.故此时3a1.当a1时，f(x)minf(a)a22a222a2，当x1，)，f(x)a恒成立f(x)mina，即2a2aa2a202a1.故此时1a1.综上所得，实数a的取值范围是3a1.7已知f(x)x24x4，xt，t1，tR，(1)求f(x)的最小值g(t)的解析式；(2)求g(t)的最小值分析：(1)易得函数的对称轴为x2，之后分对称轴在区间t，t1左、内、右分段得出最小值的解析式(2)g(t)是分段函数，各段上最小值中的最小值是g(t)的最小值解：(1)f(x)(x2)28，f(x)的对称轴是直线x2.当2t，t1，即t2t1时，1t2，g(t)f(2)8；当2t1，即t1时，f(x)在t，t1上随x增大f(x)减小g(t)f(t1)t22t7.当t2时，f(x)在t，t1)上随x增大f(x)增大g(t)f(t)t24t4.综上可得g(t)(2)当t1时，g(t)t22t7(t1)288；当1t2时，g(t)8；当t2时，g(t)t24t4(t2)288；则g(t)的最小值是8.8通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经过实验分析，得知f(t)(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？分析：(1)转化为求函数f(t)的最大值；(2)比较f(5)，f(25)的大小；(3)结合函数f(t)的图像，求当f(t)180时，时间t的取值范围解：(1)当0t10时，f(t)t224t100(t12)2244是增函数，且f(10)240.当20t40时，f(t)7t380是减函数，且f(20)240，所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟(2)由题意得f(5)52245100195，f(25)725380205，所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中(3)函数f(t)的图像与y180交于两点，当0t10时，令f(t)t224t100180，得t4，当20t40时，令f(t)7t380180，得t28.57，由(1)函数f(t)的单调性，知4t28.57，则学生注意力在180以上所持续的时间28.57424.5724，所以经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题9已知函数f(x)ax22(a1)x2，当1a0时，恒有f(x)0成立，试求x的取值范围分析：本题如果按二次函数问题来解决会陷入繁杂的计算，当看成关于a的函数时，问题简便获解解：设h(a)ax22(a1)x2(x22x)a(22x)，当x22x0时 ，即x0或x2，若x0时，f(0)20，即x0符合题意；若x2时，f(2)20，即x2不合题意；当x22x0时，函数h(a)(x22x)a(22x)是一次函数，又一次函数h(a)是单调函数，当1a0时， 恒有h(a)0成立，所以有即解得1x0或0x.综上所得，x的取值范围是(1，)10如果函数yf(x)(xD)满足：(1)f(x)在D上是单调函数；(2)存在闭区间a，bD，使f(x)在区间a，b的值域也是a，b那么就称函数yf(x)为闭函数试判断函数yx22x(x1，)是否为闭函数，如果是闭函数，那么求出符合条件的区间a，b，如果不是闭函数，请说明理由分析：本题立意新颖，背景鲜明，设问灵活，体现了考查能力和素质的要求闭函数的概念是教材上没有的，这类问题的给出可以是新概念、新定理或新规则，其解决策略是先读懂题目，进行信息迁移，获取有用信息，再利用这个新知识作进一步的演算或推理，结合数学知识进而解决问题先证明函数yx22x(x1，)是增函数然后用反证法判断函数yx22x(x1，)是否为闭函数解：设1x1x2，则有f(x1)f(x2)(x2x1)(x2x2)(xx)2(x1x2)(x1x2)(x1x22)1x1x2，x1x20，x1x220.(x1x2)(x1x22)0.f(x1)f(x2)函数yx22x(x1，)是增函数假设存在符合条件的区间a，b，则有 即 解得或或或又1ab，函数yx22x(x1，)是闭函数， 符合条件的区间是1,0问题：怎样求二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p，q上的最值？探究：求二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p，q上的最值时，易错认为最大值是f(q)，最小值是f(p)，总是一错再错其突破方法是结合二次函数f(x)在闭区间p，q上的图像，依据函数的单调性求出我们知道，如果函数yf(x)在区间(a，b上单调递增，在区间b，c)上单调递减，则函数yf(x)在xb处有最大值f(b)；如果函数yf(x)在区间(a，b上单调递减，在区间b，c)上单调递增，则函数yf(x)在xb处有最小值f(b)因此二次函数f(x)在闭区间p，q上的最值问题转化为判断其单调性例如：求函数f(x)x22x，x2,3的最大值和最小值思路分析：画出函数的图像，写出单调区间，根据函数的单调性求出图7解：画出函数f(x)x22x，x2,3的图像，如图7所示，观察图像得，函数f(x)x22x在区间2,1上是减函数，则此时最大值是f(2)8，最小值是f(1)1；函数f(x)x22x在区间(1,3上是增函数，则此时最大值是f(2)8，最小值是f(1)1；则函数f(x)x22x，x2,3的最大值是8，最小值是1.因此可见，求二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p，q上的最值的关键是看二次项系数a的符号和对称轴x的相对位置，由此确定其单调性，再由单调性求得最值可以利用同样方法归纳出结论： 若a0，则(1)当p，即对称轴在区间p，q的左边时，画出草图如图8(1)，从图像上易得f(x)在p，q上是增函数，则f(x)minf(p)，f(x)maxf(q)；(2)当p，即对称轴在区间p，q的左端点与区间中点之间时，画出草图如图8(2)，从图像上易得f(x)在p，q上的最值情况是f(x)minf，f(x)maxf(q)；图8(3)当q，即对称轴在区间p，q的中点与右端点之间时，画出草图如图8(3)从图像上易得f(x)在p，q上的最值情况是f(x)minf，f(x)maxf(p)；(4)当q，即对称轴在区间p，q的右边时，画出草图如图8(4)，从图像上易得f(x)在p，q上是减函数，则f(x)minf(q)，f(x)maxf(p)对a0的情况，可类似得出即二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p，q上的最值：设f(x)在区间p，q上的最大值为M，最小值为m，x0(pq)结合图像，得当a0时，若p，则f(p)m，f(q)M；若px0，则fm，f(q)M；若x0q，则f(p)M，fm；若q，则f(p)M，f(q)m.当a0时，若p，则f(p)M，f(q)m；若px0，则fM，f(q)m；若x0q，则f(p)m，fM；若q，则f(p)m，f(q)M.本节我们学习了：(1)二次函数的性质；(2)解决二次函数的实际应用问题习题24A组5,6,7.本节教学设计注重了用图像探索出二次函数的性质(如单调性)，再用定义证明其正确性这样体现了由感性认识，再上升到理性认识，符合学生的认知规律并且拓展了教材的内容，以便适应高考的要求二次函数f(x)ax2bxc(a0)的性质总结1解析式(1)一般式：yax2bxc(a0)；(2)顶点式：ya(xm)2n(a0)；(3)零点式：ya(xx1)(xx2)(a0)说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有的二次函数的解析式均有零点式，只是图像与x轴有交点的二次函数才有零点式2图像(1)形状是抛物线其特征是：对于二次函数yax2bxc(a0)，当a0时，开口向上，当a0时，开口向下；对称轴是直线x；顶点；当b24ac0时，与x轴有两个交点，当b24ac0时，与x轴有一个交点，当b24ac0时，与x轴没有交点(2)画抛物线时，重点体现抛物线的特征：先确定“三点一线一开口”即顶点和与x轴交点，对称轴这条直线，开口方向再根据这些特征在坐标系中简单画出抛物线的草图3性质(1)定义域：R.(2)值域：当a0时，为，当a0时，为.(3)单调性：当a0时，单调递减区间是，单调递增区间是；当a0时，单调递减区间是，单调递增区间是.(4)最值：当a0时，有最小值f，没有最大值；当a0时，有最大值f，没有最小值(5)f(0)c.4常见结论：(1)当f(x1)f(x2)(x1x2)时，则有x1x2；(2)当二次函数f(x)在(，m和(m，)上的单调性相反时，则有m；当a0时，二次函数f(x)在(，m上为减函数，则有m，二次函数f(x)在m，)上为增函数，则有m；当a0时，二次函数f(x)在(，m上为增函数，则有m，二次函数f(x)在m，)上为减函数，则有m；(3)二次函数f(x)ax2bxc(a0)与关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)的关系：二次函数f(x)的图像与x轴交点的个数等于方程f(x)0的实数根的个数，并且当二次函数f(x)的图像与x轴有交点时，其交点的横坐标是方程f(x)0的实数根