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2019-2020年高中数学第三章导数及其应用3.3.3函数的最大小值与导数课后提升训练含解析新人教A版选修一、选择题(每小题5分,共40分) 1.(xx济南高二检测)函数f(x)=x2ex+1,x-2,1的最大值为()A.4e-1B.1C.e2D.3e2【解析】选C.f(x)=xex+1(x+2),令f(x)=0得x=-2或x=0,当f(x)0时,x0;当f(x)0时,-2x,f(x)在是减函数,是增函数,所以最小值为f=1+lna=3a=e2.【补偿训练】(xx大庆高二检测)若函数y=x3+x2+m在-2,1上的最大值为,则m等于()A.0B.1C.2D.【解题指南】先求出函数y=x3+x2+m在-2,1上的最大值,再依据题设条件可得到关于m的方程,解方程即得出m的值.【解析】选C.y=3x2+3x=3x(x+1).由y=0,得x=0或x=-1.因为f(0)=m,f(-1)=m+.f(1)=m+,f(-2)=-8+6+m=m-2,所以f(1)=m+最大.所以m+=.所以m=2.4.已知y=f(x)是奇函数,当x(0,2)时,f(x)=lnx-ax,当x(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于()A.B.C.D.1【解析】选D.因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1.当x(0,2)时,f(x)=-a,令f(x)=0得x=,又a,所以02.当0x0,f(x)在上单调递增;当2x时,f(x)4B.a4C.a4 D.a4【解析】选B.因为x(0,1,所以f(x)0,可化为a-,设g(x)=-,则g(x)=.令g(x)=0,得x=.当0x0;当x1时,g(x)m,则实数m的取值范围是()A.mB.m7C.mD.m【解析】选D. f(x)=3x2-x-2=0,解得x=1或-,f(-1)=,f=,f(1)=,f(2)=7.所以m.7.(xx武汉高二检测)函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间-3,2上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|t,则实数t的最小值是()A.20B.18C.3D.0【解析】选A.因为f(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f(x)=0,得x=1,所以-1,1为函数的极值点.又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在区间-3,2上f(x)max=1,f(x)min=-19.又由题设知在区间-3,2上f(x)max-f(x)mint,从而t20,所以t的最小值是20.8.已知函数f(x),g(x)均为a,b上的可导函数,在a,b上连续且f(x)g(x),则f(x)-g(x)的最大值为()A.f(a)-g(a)B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b)D.f(b)-g(a)【解析】选A.令u(x)=f(x)-g(x),则u(x)=f(x)-g(x)0,所以u(x)在a,b上为减函数,所以u(x)的最大值为u(a)=f(a)-g(a).二、填空题(每小题5分,共10分)9.(xx北京高二检测)函数f(x)=x3-3x2+2在区间-1,1上的最大值为.【解析】f(x)=3x2-6x=3x(x-2)令f(x)=0得x=0或x=2(舍),当-1x0;当0x1时,f(x)0,当x(-1,1)时,f(x)0时,列表如下:x-1(-1,0)0(0,2)2f(x)+0-f(x)-7a+bb-16a+b由表可知,当x=0时,f(x)取极大值,也就是函数在-1,2上的最大值,所以f(0)=3,即b=3.又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3f(-1),所以f(2)=-16a+3=-29,所以a=2.(2)当af(-1),所以f(2)=-16a-29=3,所以a=-2.综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.【警示误区】分类讨论由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论,并结合不等式的知识进行求解.12.设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值.(2)求a的取值范围,使得g(a)-g(x)0恒成立.【解析】(1)由题设知f(x)=,g(x)=lnx+,所以g(x)=,令g(x)=0得x=1.当x(0,1)时,g(x)0,故g(x)的单调递增区间是(1,+).因此,x=1是g(x)在(0,+)上的惟一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为g(1)=1.(2)由(1)知g(x)的最小值为1,所以,g(a)-g(x)0恒成立g(a)-1,即lna1,从而得0ae.故实数a的取值范围为(0,e).【能力挑战题】(xx黄山高二检测)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间.(2)若f(x)在区间-2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.【解题指南】(1)先求出函数f(x)的导函数f(x),然后令f(x)0,解得的区间即为函数f(x)的单调递减区间.(2)先求出端点的函数值f(-2)与f(2),比较f(2)与f(-2)的大小,然后根据函数f(x)在-1,2上单调递增,在-2,-1上单调递减,得到f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2,2上的最大值和最小值,建立等式关系求出a,从而求出函数f(x)在区间-2,2上的最小值.【解析】(1)f(x)=-3x2+6x+9.令f(x)0,解得x3,所以函数f(x)的单调递减区间为(-,-1),(3,+).(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)f(-2).因为在(-1,3)上f(x)0,所以f(x)在-1,2上单调递增,又由于f(x)在-2,-1上单调递减,因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2,2上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-7.
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